1、精锐教育辅导讲义学员姓名： 学科教师：徐泽文年 级：初三 辅导科目：数学授课日期时 间主 题第4讲 相似三角形的判定（二）学习目标1掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理；2运用所学的定理判定三角形相似，进行相关证明与计算教学内容讨论：不用证明，判断一下哪两个三角形相似可以得出要证明的关系式案例1已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证: 案例2 已知：如图，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DEDF。 归纳总结：“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段
2、的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。【知识梳理1】等线段代换法例题1如图3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E求证：DEBECE 教法指导：遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线
3、段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。参考答案：证明：联结AE，EF垂直平分AD，所以AE=DE易证 ,从而，又AE=DE，所以有 试一试 已知AD是BC的垂直平分线，CG/AB,求证:教法指导：要证明的关系式在同一条直线上，用等线段代换法参考答案联结EC，则BE=EC，易证,从而，所以有【知识梳理2】 等比代换法例题1如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，联结分别交、于点、。（1）求证：；教法指导：当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑
4、利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。【参考答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， 即， ， 试一试 如图4，在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F求证：. 教法指导：用等比代换法解决题目参考答案：易证从而由，得，从而可证【知识梳理3】 等积代换法例题1如图，在ABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BEAG，垂足为E，交CD于点F 求证：CD2DFDG教法指导：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推
5、出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。参考答案：易求，再证，从而有，即可证试一试 如图，在ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DFAB于F，交AC的延长线于H，交BE于G，求证：(1)FG ：FAFB ： FH (2)FD是FG与FH的比例中项 教法指导：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换 参考答案：和上题类
6、似【知识梳理4】 【燕尾型】如图，是的边上的点，是的中点，连结并延长交于 ，求：的值. 教法指导：找不到相似又没有平行线，得不出比例线段，不妨从关键点做辅助线参考答案分析：过点作交于点 ，. ，. 方法二：过点作交于点 解析：，. 方法三：过点作交于点. 解析：， 方法四： 解析：试一试：己知分别是的边、上的高，高、所在的直线相交于点。 （1）当是锐角时，求证：；（2）当是钝角时，（1）中的结论还成立吗？直接写出结论，无需说明理由；教法指导：双垂燕尾形参考答案1）证明：如图，分别是的边上的高， 又， 又， （2）当是钝角时，(1)中的结论依然成立 试一试 如图，中，点、分别在和上，点是边上一点
7、，且，联结（1）求证：；（2）求证： 参考答案（1）证明：， （2）证明：， ， ， GBAABE 【知识梳理5】 【旋转型】例 已知：如图，在中，.（1）求证：； （2）当时，求证：.参考答案（1）ADE=B，BAC=DAE，ABCADE （2）BAC=DAE，BAD=CAE，ABDACE B=ACEBAC=90，B+ACB=90ACE+ACB=90，即BCE=90ECBC 【知识梳理6】 【其他】例题 四边形是平行四边形，是对角线上一点，射线分别交射线、于点、（1）如图，如果点在边上，点在边的延长线上，求证：；（2）如果点在边的延长线上，点在边上，试写出与之间的一种等量关系，并给出证明A（
8、备用图）BCDG图8EFCDAB参考答案（1）证明：四边形是平行四边形，（2）解：与之间的等量关系是证明：四边形是平行四边形，试一试 如图，中，为底边上一点，是中点，联结并延长交于（1）求的值；（2）若，求证：参考答案（1）；（2）略【A型和反A】例1 在，（1）如图1，若，求的长，（2）如图2，若，求的长.参考答案解析：（1） （2） 【子母型】2 如图，在中，是的中点，联结，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，求证：是和的比例中项参考答案证明：是斜边的中点， ，. 又， ，因此. 在与中， ， 也就是说是和的比例中项 试一试 如图，已知在中，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点（1）求证
9、：；（2）求证：DEFCBA参考答案1），ACD+DCB=B=DCB=90ACD=B- 是的中点 DE=EC ACD=FDCFCD=B FDCFBD(2) FDCFBD 在和中，-【双垂直子母型】4、 如图，在中，于点求证：（1） ；（2） （2）；（3），；（4）参考答案解析：（1）由于， 所以，且，所以 得，所以； （本题也可以由三角形面积公式来证） （2）在（1）中已证， 所以得，即； （3）在（1）中已证得，即 同理可证，得 （4）由（3）知，将这两式相除， 得55、如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC交AC于F，过F作FGAB交AE于G求证： 参考答案：先证明 ,在证明从
10、而得到 即证1、已知：在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，AB=AD=25，BC=32连接BD，AEBD，垂足为点E（1）求证：ABEDBC； （2）求线段AE的长（教法指导：题考查相似三角形判定及应用；（1）证明：AB=AD=25，1 =2.ADBC，1=3.2=3. AEBD， AEB=C=90. ABEDBC. （2）解：AB=AD，又AEBD，BE=DE.BD=2BE.由ABEDBC，得. AB=AD=25，BC=32，.BE=20 1232、如图11，在中，点在边上，且，与交于点求证：（1）； （2） ABCDEF图11参考答案：证明：（1），； ，；，即，；，；又，；，即（2
11、），； 又，；，；，；，；又，；即3、如图9，在直角梯形中， 为的中点，联结并延长交的延长线于；（1）联结，求证（2）联结交于，当，时，求的长ABCDFEM图9参考答案(1)ABCD为直角梯形，A=B=90，ADBCDAE=CFE ADE=FCE E为CD的中点，DE=CE DAECFE, AE=FEAD=FC在直角三角形ABF中BE= AE=FE (2) AM=EM ，AE=FE， AM=FMADBC， =过D作DHBF于H， 易证ABHD为矩形，AD=BH， AD=CH， 在直角三角形CDH中，CH=AD=1，DH=AB=2，CD= 源:Z,xx,k.Com4、已知：如图，点E是四边形AB
12、CD的对角线BD上一点，且BAC=BDC=DAE.求证：ABEACD；求证：；EA第23题DACBA参考答案（1）BAC=DAE BAE=DAC BAC=BDC，BOA=DOCABE=ACDABEACD(2) ABEACD BAC=DAE ABCAED5如图，点是四边形的对角线上的一点，；（1）求证：；（2）求证：；参考答案：（1）BAE=DAC BAE+EAC =DAC+EAC 即BAC=EAD ABC=ABE +CBD AED=ABE +BAE CBD=BAEABC=AED ABCAED （2）ABCAED 即BAE=DACABEACDAEB=ADC AED +AEB =180AED+ADC=1806、已知如图，在中，平分交于点，点在上，且；（1）求证：； （2）求证：；参考答案【证明】（1）BD平分ABC, ABD=CBD, ,EBDDBC,BDE=C;(2) BDE=C,DBC+C=BDE+ADE,DBC =ADE,ABD=CBD,ABD=ADE,即. 17 / 17
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