1、第11讲 全等三角形（二） 温故知新（一）三角形全等的条件（1）三角形全等条件1：三条边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。符号语言：已知ABC与DEF的三条边对应相等。在ABC与DEF中，ABCDEF（SAS）（2）三角形的稳定性：由“SSS”结论可知，三角形三条边的长度确定了，三角形的大小和形状也就确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。（3）三角形全等条件2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 符号语言：如下图，已知D=E，ADAE，BADCAE求证：ABDACE证明：在ABD和ACE中，D=EAD=AEBADCAEABDACE（ASA）
2、 智慧乐园知识要点一 三角形全等的判定条件（二）（一）三角形全等的条件（1）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,C=B求证：ACDABE证明：在ACD和ABE中C=BA=ADC=EBACDABE（AAS）注意：“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。（2）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。符号语言：在ABC与DEF中，ABCDEF（SAS）注意：应用“SAS”时，必须满足相等的角是对应相等两
3、边的夹角，即“两边夹一角”。（3）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 符号语言：在RtABC与RtDEF中， ABC=DEF=90，RtABCRtDEF（HL）注意：应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学过的判定方法在直角三角形中仍然适用。 典例分析例1、如图，在ABC和DEF中，已知AB=DE，BC=EF，根据（SAS）判定ABCDEF，还需的条件是（ ）AA=D BB=E CC=F D以上三个均可以【解析】B例2、如图，在
4、OBC中，延长BO到D，延长CO到A，要证明OD=OA，则应添加条件中错误的是（）AABCDCB BOB=OC，A=DCOB=OC，AB=DC DA=D，ABC=DCB【解析】C例3、如图，在ABC中，AB=AC，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BDAE于D，CEAE于E，AD=CE，则BAC的度数是（）A45 B60 C90 D120【解析】C例4、如图所示，C，F在BE上，AD，ACDF，BFEC求证：ABDEABCFED【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BCEF，应用AAS可得ABCDEF，进而得出结论证明：ACDF，ACEDFB.又ACEACB180，
5、DFBDFE180，ACBDFE.又BFEC，BFCFECCF，即BCEF.在ABC与DEF中，ABCDEF（AAS）ABDE例5、如图，AE=CF，ADBC，AD=CB求证：ADFCBE【解析】根据平行线的性质及全等三角形的判定定理“SAS”证得结论证明：AE=CF，AEEF=CFEF，即AF=CE又ADBC，A=C在ADF与CBE中，ADFCBE（SAS）学霸说：（1）“AAS”中的“S”是有限制条件的，必须是两组对应等角中一组等角的对边。（2）应用“SAS”时，必须满足相等的角是对应相等两边的夹角，即“两边夹一角”（3）“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一的方法，前面学
6、过的判定方法在直角三角形中仍然适用。 举一反三1、如图，用“HL”判定RtABC和RtABC全等的条件是（ ）AAC=AC，BC=BC BA=A，AB=ABCAC=AC，AB=AB DB=B，BC=BC【解析】C2、如图，已知ABCD，垂足为B，DE=AC，若直接应用“HL”判定ABCDBE，则需要添加的一个条件是_【解析】AB=DB或BE=BC3、如图，在ABC中，AB=AC，ABC=40，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则ECA的度数为（）A30 B35 C40 D45【解析】在BC上截取BF=AB，连DF则有ABDFBD（SAS）DF=DA=DE又ACB=ABC=40，
7、DFC=180A=80FDC=60EDC=ADB=180ABDA=18020100=60DCEDCF（SAS）故ECA=DCB=40故选：C4、已知ABN和ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求证：BD=CE（2）求证：M=N【解析】（1）证明：在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BD=CE；（2）证明：1=2，1+DAE=2+DAE，即BAN=CAM，由（1）得：ABDACE，B=C，在ACM和ABN中，ACMABN（ASA），M=N5、已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G
8、（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明【解析】（1）证明：点D是AB中点，AC=BC，ACB=90，CDAB，ACD=BCD=45，CAD=CBD=45，CAE=BCG又BFCECBG+BCF=90又ACE+BCF=90ACE=CBG在AEC和CGB中，AECCGB（ASA），AE=CG（2）解：BE=CM证明：CHHM，CDEDCMA+MCH=90，BEC+MCH=90CMA=BEC又ACM=CBE=45在BCE和CAM中，BCECAM（AAS）BE=C知识要点二全等三角形的应用、尺规作三角形（
9、一）全等三角形的应用由于两个三角形全等，对应边相等，因此利用全等三角形可以测量不能到达或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，其根据是全等三角形的对应边相等。（二）尺规作三角形（1）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“边角边”来作图的，具体做法如下：已知：线段a， c， （2）已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体做法如下：已知： ，线段c求作：ABC，使A= ，B= ，AB=c 典例分析例1、如图所示，要测量河两岸上对岸两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再在BF的垂
10、线DE上取点E，使A、C、E在同一条直线上，可以得到ABCEDC，得DE=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定ABCEDC的理由是（）ASSS BASA CSAS DHL【解析】B例2、如图，将两根等长钢条AA、BB的中点O连在一起，使AA、BB可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径AB，那么判定OABOAB的理由是（）A边边边 B边角边 C角边角 D角角边【解析】B例3、在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算
11、AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）【解析】（1）见图：（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD测量DC的长度即为AB的长度；（3）设DC=mBO=CO，AOB=COD，AO=DOAOBCOD （SAS）AB=CD=m例4、动手画一画按下列所给条件画ABC，使A=，B=，AB=c【解析】画一条线段AB等于c，分别以A，B为顶点利用作一个角等于已知角的方法作A=，B=即可如图所示： 举一反三1、如图，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等，若ABC=32，则DF
12、E的度数为（）A32 B28 C58 D45【解析】C2、如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离：现在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度（1）求证：DE=AB；（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？【解析】（1）证明：在CDE和CAB中，CDECAB（SAS），DE=AB；（2）DE=AB，DE=8m，AB=8m答：AB的长度是8m3、尺规作图：已知线段a，求作三角形ABC，使AB=BC=CA=a（要求保留作图痕迹）菁优网版【分析】先作AB=a，再分别以点
13、A、B为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点C，然后连结AC、BC即可得到ABC【解析】如图，ABC为所作学霸说：（1）利用全等三角形测距离，其关键是构造两个全等三角形，其根据是全等三角形的对应边相等。（2）复杂的尺规作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作（3）平行线的定义可以作为判定两直线平行的依据 课堂闯关 初出茅庐1、如图，已知DAC=BAC，添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC的是（）AAB=AD BBCA=DCA CCB=CD DADC=ABC
14、【解析】C2、如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A4 B5 C1 D2【解析】C3、如图，AD是ABC的中线，E、F分别是AD及AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF、CE则下列结论中正确的有（）BDFCDE；CE=BF；ABD和ACD的面积相等；BFCEA1个 B2个 C3个 D4个【解析】D4、如图，H是ABC的高AD、BE的交点，且DH=DC给出下列结论：BD=AD；BC=AC；BH=AC；CE=CD其中正确的是（）A B C D【解析】D5、如图，AC=BC，CAB=CBA=45，D为AB边上一个
15、动点，CE=CD，CDE=CED=45（1）求证：ACDBCE；（2）求证：ABE是定值【解析】（1）CAB=CBA=45，CDE=CED=45，ACB=DCE=90，ACD=BCE=90DCB，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）；（2）ACDBCE，A=45，CBE=A=45，ABC=45，ABE=ABC+CBE=45+45=90，即ABE是一个定值，是906、已知：在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于H，且BH=AC，证明：DH=DC【解析】证明：ADBC于D，BEAC于E，BDH=ADC=90DBH+DHB=90，DAC+AHE=90，BHD=AHE（对顶角相
16、等），DBH=DAC（等角的余角相等），在BHD和ACD中，BHDACD（AAS）DH=DC 优学学霸1、如图，ABC中，AB=AC，BAC=90，P是BC中点，EPF=90，给出四个结论：B=BAP；AE=CF；PE=PF；S四边形AEPF=SABC其中成立的有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】D2、如图，在等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连CF，交AB于点G、交AD于点M，连DG（1）求证：ADCF；（2）求证：ADC=BDG；【解析】（1）证明：ABC为等腰直角三角形，ACB=90CAB=45，
17、BFAC，CBF=ACB=90，ABF=CBA=45，即BE平分DBF，而DEAB，AB垂直平分DF，BD=BF，D点为BC的中点，DC=DB，CD=BF，在ACD和CBF中，ACDCBF（SAS），2=1，1+3=90，2+3=90，AMC=90，ADCF；（2）证明：在BGD和BFG中，BDGBFG（SAS）BDG=BFG，ACDCBF，ADC=CFB，ADC=BDG；考场直播1、【2015深圳校级期中】如图，射线AM与ABC的BC边交于点D，BEAM，CFAM，垂足分别为E，F，当点D在什么位置时，BE=CF？请说明理由 【解析】当点D在BC的中点时，BE=CF，理由如下：BEAM，CF
18、AM，垂足分别为E，F， BED=CFD=90，D是BC中点，BD=CD，BDE=CFD，在BED和CFD中BEDCFD（AAS）BE=CF2、【2016深圳校级期末】已知如图，BD=CD，ADB=ADC，DE、DF分别垂直于AB是AC交延长线于E、F试问BE=CF吗？请说明理由【解析】在ABD与ACD中， ABDACD（SAS）， BAD=DAC，AB=AC， AEED，AFDF， AED=AFD=90， 在AED与AFD中， ， AEDAFD（AAS）， AE=AF， AB=AC， BE=CF套路揭密：（1）全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理“ASA”，“AAS”，“SSS”
19、，“SAS”是解题的关键自我挑战1、如图所示，由D=C，BAD=ABC推得ABDBAC，所用的判定定理的简称是（）AAAS BASA CSAS DSSS【解析】A2、如图，已知B=DEF，AB=DE，请添加一个条件使ABCDEF，则需添加的条件是 【解析】BC=EF或A=D或ACB=DFE3、如图，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，CE、BD相交于O，则图中全等的直角三角形有（）A1对 B2对 C3对 D4对【解析】C4、如图，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，在ADEBDEBDC，则A的度数是（）A15 B20 C25 D30【解析】D5、如图，AD是ABC的中线，E是AC上的
20、一点，BE交AD于F，已知AC=BF，DAC=35，EBC=40，求C的度数【解析】如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM在BDM和CDA中，BDMCDA，BM=AC=BF，M=CAD=35，C=DBM，BF=AC，BF=BM，M=BFM=35，MBF=180MBFM=110EBC=40DBM=MBFEBC=70C=DBM=706、（1）填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由已知：如图1，BCEF，AB=DE，BC=EF，试说明C=F解：BCEF（已知）ABC=E（两直线平行，同位角相等）在ABC与DEF中ABCDEF（）C=F（ ）【解析】E，两直线平行，同位角相等，SAS，全等三角形的对应角相等（2）如图2，A、B、E三点在同一条直线上，ABC和BDE都是等边三角形，AD交BC于F，CE分别交BD、AD于G、H，请在图中找出三对全等三角形【解析】（2）ABDCBE，EBGDBF，ABFCBG，理由是：ABC和DBE都是等边三角形，AB=BC，BD=BE，CBA=DBE，CBA+CBD=DBE+CBD，即ABD=CBE，在ABD和CBE中，ABDCBE，ADB=CEB，ECB=DAB，CBA=DBE=60，CBD=1806060=60=DBE，在EBG和DBF中，EBGDBF，同理ABFCBG思考乐优学产品中心初中组17
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