1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题 第01讲-整式的乘除授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方） 掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架二、知识概念 （一）同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（m,n都是正整数，底数不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式） 2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：都是正整数）
2、都是正整数）（二）幂的乘方与积的乘方幂的乘方 1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数）积的乘方1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如等 2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数）（三）平方差与完全平方公式1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式的推导
3、：。平方差公式的逆用即平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。2、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的变形公式： （四）整式的乘法 1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式
4、的每一项，再把所得的积相加。公式如下： 都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：都是单项式）（五）同底数幂的除法 1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为 （都是正整数）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：都是正整数）都是正整数），0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂 是正整数），此式也可逆用，即为正整数）4、用科学计数法表示小于1的正数 一般地，一个小于1的正数可以表示为的形式，其中1a10，n是负整数，且n的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零
5、）。（六）整式的除法1、单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。典例分析 考点一：同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方例1、若am=2，an=3，则am+n等于（）A5 B6 C8 D9 【解析】B例2、若5x=2，5y=，则x，y之间的关系为（）Ax，y互为相反数 Bx，y互为倒数Cx=y D无法判断 【解析】A例3、为了求1+2+22+23+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+22011+22012，则
6、2S=2+22+23+24+22012+22013，因此2SS=220131，所以1+22+23+22012=220131仿照以上方法计算1+5+52+53+52012的值是（） A520131 B52013+1 C D【解析】令S=1+5+52+53+52012 则5S=5+52+53+52012+52013 5SS=1+52013 4S=520131，则S=故选D例4、已知a=255，b=344，c=433，则a、b、c的大小关系为（）Aabc Bacb Cbca Dbac【解析】a=（25）11=3211，b=（34）11=8111，c=（43）11=6411bca故选C例5、（1）已知
7、2a=5，2b=3，求2a+b+3的值（2）已知3x+25x+2=153x4，求（x1）23x（x2）4的值【解析】（1）2a+b+3=2a2b23=538=120（2）3x+25x+2=（15）x+2=153x4x+2=3x4，解得：x=3（x1）23x（x2）4=9例6、计算：（1）（x5）x3n1+x3n（x）4 （2）（3）a4（3a3）2+（4a5）2 （4）（x2）3（x3）23【解析】（1）原式=0 （2）原式= （3）原式=25a10 （4）原式=x36考点二：平方差与完全平方公式例1、可以用平方差公式进行计算的是（）A（3a+2b）（3a+3b） B（3a2b）（3a+2b）
8、C（3a+2b）（3a+2b） D（3a2b）（3a+2b）【解析】C例2、（1）已知a+b=2，求代数式a2b2+4b的值（2）对于所有有理数，我们规定=adbc，按上述规定运算，求的值【解析】（1）a+b=2，a2b2+4b=（a+b）（ab）+4b=2（ab）+4b=2a2b+4b=2a+2b=2（a+b）=4（2）=adbc，=（x+y）（xy）（x+y）（xy）=x2y2（x2y2）=0例3、如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（ab），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A（ab）2=a22ab+b2 B
9、（a+b）2=a2+2ab+b2Ca2b2=（a+b）（ab） Da2+ab=a（a+b）【解析】正方形中，S阴影=a2b2梯形中，S阴影=（2a+2b）（ab）=（a+b）（ab）故所得恒等式为：a2b2=（a+b）（ab）故选：C例4、在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如记nk=1+2+3+（n1）+n，=（x+3）+（x+4）+（x+n）；已知+4x+m，m的值是（） A40 B70 C40 D20【解析】x2项的系数是4， n=5， （x+2）（x1）+（x+3）（x2）+（x+4）（x3）+（x+5）（x4） =（x2+x2）+（x2+x6）+（x2+x1
10、2）+（x2+x20） =4x2+4x40， （x+k）（xk+1）=4x2+4x+m， m=40故选C例5、（1）已知（a+b）2=25，（ab）2=9，求ab与a2+b2的值（2）已知 a+b=5，ab=7，求a2+b2，a2ab+b2 的值【解析】（1）（a+b）2=25，（ab）2=9a2+2ab+b2=25 ，a22ab+b2=9 + 得：2a2+2b2=34a2+b2=17 得ab=4（2）a2+b2=（a2+b2）=（a+b）2ab当 a+b=5，ab=7时a2+b2=527=a2ab+b2=（a+b）23ab当 a+b=5，ab=7时，a2ab+b2=5237=4例6、图a是一
11、个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ （2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积方法1： （只列式，不化简）方法2： （只列式，不化简）（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗？代数式：（m+n）2，（mn）2，mn 【解析】（1）阴影部分的正方形边长是：mn 故答案为：mn；（2）阴影部分的面积就等于边长为mn的小正方形的面积，方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（mn）2=（m+n）24mn方法2：边长为m+n的大正方形的面
12、积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（mn）2=（m+n）22m2n（3）由题意可得：（m+n）2=（mn）2+4mn例7、计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） （2）（x+y）（xy）+（2x+y）（2xy）（3）（2x3y53a2b4）（2x3y53a2b4） （4）（a+3）2（a2）（a+2）（5）（2x+3y）2（2x+y）（2xy） （6）（2x+1）24（x1）（x+1）【解析】解：（1）原式=2161 （2）原式=5x22y2 （3）原式=9a4b84x6y10 （4）原式=6a+13 （5）原式= 12xy+10y2 （6）原式=4x+5考点三：同底
13、数幂的除法例1、下列计算正确的是（）Aa3+a3=a6 Ba6a3=a2 C（a2）3=a8 Da2a3=a5【解析】D例2、计算20161（2016）0的结果正确的是（）A0 B2016 C2016 D【解析】D例3、最薄的金箔的厚度为0.000000091m，0.000000091这个数学科学记数法表示正确的是（）A9.1108 B9.1107 C0.91108 D0.91107【解析】A例4、计算（1）（）1+（2）220160（）2 （2）4.41019109（2.21011）+100（3）30 （4）（）224（2016）0【解析】（1）原式=9 （2）原式=21 （3）原式= （4
14、）原式=9例5、（1）若3m=6，3n=2，求32m3n+1的值（2）已知9m32m+2=n，求n的值【解析】（1）32m=36，33n=832m3n+1=32m33n3=3683=（2）32m+2=（32）m+1=9m+19m3m+2=9m9m+1=91=（）2，n=2考点四：整式的乘法与除法、混合运算例1、下列计算正确的是（）A（xy）3=xy3 Bx5x5=xC3x25x3=15x5 D5x2y3+2x2y3=10x4y9【解析】C例2、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A3 B3 C0 D1【解析】（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m
15、）x+3m，又乘积中不含x的一次项，3+m=0 解得m=3故选：A例3、计算：（1）x2y（2xy2） （2）（4a3b6a3b210ab2）（2ab）（3）2x（2y24y+1）2x（4xy） （4）（6m2n6m2n23m2）（3m2）【解析】（1）原式= x3y3 （2）原式=2a23a2b5b（3）原式= y+2 （4）原式=2n+2n2+1例4、化简求值（1）已知4x=3y，求代数式（x2y）2（xy）（x+y）2y2的值（2）已知x25x=3，求（x1）（2x1）（x+1）2+1的值（3）已知（xy）2=9，x2+y2=5，求x（x2y2xy）y（x2x3y）x2y的值【解析】（1
16、）（x2y）2（xy）（x+y）2y2=x24xy+4y2（x2y2）2y2=4xy+3y2=y（4x3y）4x=3y原式=0（2）（x1）（2x1）（x+1）2+1=2x2x2x+1（x2+2x+1）+1=2x2x2x+1x22x1+1=x25x+1x25x=3原式=3+1=4（3）（x3y2x2yx2y+x3y2）x2y=2xy2由（xy）2=9，得x22xy+y2=9x2+y2=52xy=4xy=2原式=42=6P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、计算（a）3（a）2的结果是（）Aa6 Ba6 Ca5 Da5【解析】D2、（1）已知am=7，an=5，a
17、p=6，求am+n+an+p的值（2）已知：2x+3y4=0，求4x8y的值【解析】（1）原式=am+n+an+p=aman+anap=75+56=65（2）2x+3y4=0，2x+3y=4，4x8y=22x23y=22x+3y=24=163、基本事实：若am=an（a0且a1，m、n是正整数），则m=n试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值： 28x=27； 2x+2+2x+1=24【解析】 原方程可化为，223x=2723x+1=273x+1=7解得x=2 原方程可化为，22x+1+2x+1=242x+1（2+1）=242x+1=8x+1=3解得x=24、如图，大正方形的边长为m，小正
18、方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（xy），给出以下关系式： x+y=m； xy=n； xy= 其中正确的关系式的个数有（）A0个 B1个 C2个 D3个【解析】由图形可得： 大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，故x+y=m正确； 小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽，故xy=n正确； 大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积，故xy=正确所以正确的个数为3故选：D5、如图的图形面积由以下哪个公式表示（）Aa2b2=a（ab）+b（ab） B（ab）2=a22ab+b2C（a+b）2=a2+2ab+b2 Da2b2=（a+b）（ab）【解析】大正方形面积为：（a
19、+b）2，大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2故选：C6、计算：（1）（）5（）3（）2 （2）30（1）2+13（3）（）0+（）2+（）2 （4）（5）（2x3y）（3y+2x）（4y3x）（3x+4y） （6）2x（x2y）（2xy）2【解析】（1）原式= （2）原式= 3 （3）原式=5 （4）原式=6 （5）原式=13x225y2 （6）原式=2x2y27、（1）如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值 （2）a2+2a1=0，求a2+的值【解析】（1）36x2+（m+1）xy+25y2=（6
20、x）2+（m+1）xy+（5y）2，（m+1）xy=26x5ym+1=60m=59或61（2）a2+2a1=0a=2两边平方得：（a）2=a2+2=4，则a2+=68、化简求值（1）当x=6，y=时，求（x）9（y）32y3的值（2），其中，（3）（a+b）（ab）+（4ab38a2b2）4ab，其中a=2，b=1【解析】（1）（x）9（y）32y3=x9y6y3的=（xy）9当x=6，y=时，原式=1（2）原式=3x23x2+xy+xy2y3=xy+xy2y3当x=，y=时，原式=（3）原式=a2b2+b22ab=a22ab当a=2，b=1时，原式=44=09、若m1，m2，m2015是从0
21、，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+m2015=1525，（m11）2+（m21）2+（m20151）2=1510，则在m1，m2，m2015中，取值为2的个数为510【解析】（m11）2+（m21）2+（m20151）2=1510m1，m2，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数m1，m2，m2015中为1的个数是20151510=505m1+m2+m2015=15252的个数为（1525505）2=510个 课后反击1、已知xa=2，xb=3，则x3a+2b=（）A17 B72 C24 D36【解析】B2、当m是正整数时，下列等式成立的有（）（1）a2m=（am）2；（2
22、）a2m=（a2）m；（3）a2m=（am）2；（4）a2m=（a2）mA4个 B3个 C2个 D1个【解析】B3、如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片3张【解析】（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，则需要C类卡片3张，故答案为：34、计算：（1） （2）32+（）1+（2）3+（892890）0（3） （4）【解析】（1）原式= （2）原式= （3）原式= - 6 （4）原式=145、（1）已知4m+n=90，2m3n=10，求（m+2n）2（3mn）2的值（2）已知实数a、b满足（a+b）2=3，
23、（ab）2=23，求a2+b2+ab的值【解析】（1）4m+n=90，2m3n=10（m+2n）2（3mn）2=（m+2n）+（3mn）（m+2n）（3mn）=（4m+n）（3n2m）=900（2）（a+b）2=3，（ab）2=23a2+2ab+b2=3，a22ab+b2=23 + 得，2（a2+b2）=26a2+b2=13 得，4ab=20ab=5 a2+b2+ab=13+（5）=86、已知x22（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，求m的值【解析】x22（m+1）x+m2+5是一个完全平方式m2+5=（m+1）2解得：m=27、化简：（1）（2ab）（3a22ab4b2） （2） 5a（
24、a2+2a+1）（2a+3）（a5）（3） （4）（2ab）2（8a3b4a2b2）2ab【解析】（1）原式=6a3b+4a2b2+8ab3 （2）原式=5a3+8a2+12a+15（3）原式=2x4 （4）原式= b22ab8、先化简，再求值：（1）（4ab38a2b2）4ab+（2a+b） （2ab），其中a=2，b=1（2）已知x=7，求1xx（1x）x（1x）2x（1x）2009的值【解析】（1）原式=b22ab+4a2b2=2a（2ab）当a=2，b=1时，原式=22（221）=12（2）1xx（1x）x（1x）2x（1x）2009=（1x）1xx（1x）x（1x）2x（1x）200
25、8=（1x）（1x）1xx（1x）2x（1x）2007=（1x）2010=（17）2010=62010直击中考 1、【2015成都】下列计算正确的是（） Aa2+a2=a4 Ba2a3=a6 C（a2）2=a4 D（a+1）2=a2+1【解析】C2、【2016 常州】先化简，再求值（x1）（x2）（x+1）2，其中x=【解析】（x1）（x2）（x+1）2=x22xx+2x22x1=5x+1 当x=时，原式=5+1=3、【2013 义乌】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中
26、阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式【解析】（1）大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，S1=a2b2，S2=（2a+2b）（ab）=（a+b）（ab）；（2）（a+b）（ab）=a2b2S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 幂的乘方 1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如是3个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方。 2、幂的乘方的运算性质：都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为都是正整数）积的乘方1、积的乘方的意义：积的乘方指底数
27、是乘积形式的乘方，如等 2、积的乘方的运算性质：是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为是正整数）名师点拨 1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式的推导：。平方差公式的逆用即平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。2、完全平方公式： 即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。完全平方公式的变形公式： 学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 20
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