1、第12讲 生活中的轴对称 温故知新三角形全等的条件（二）（1）三角形全等条件3： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。 符号语言：如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,C=B求证：ACDABE证明：在ACD和ABE中 ACDABE（AAS）（2）三角形全等条件4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。符号语言：在ABC与DEF中，ABCDEF（SAS）（3）直角三角形全等条件：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。符号语言：在RtABC与RtDEF中，ABC=DEF=90
2、， RtABCRtDEF（HL） 智慧乐园中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术。观察下列剪纸，你觉得它们有什么特征？与同伴进行交流知识要点一。轴对称（一）轴对称的定义（1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。（2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（3）轴对称与轴对称图形的区别：成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。（二）轴对
3、称的性质（1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。（2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。（3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。（4）轴对称-最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点 典例分析例1、下列图形中不
4、是轴对称图形的是（）A B C D【解析】C例2、如图，是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为（）A B C D 【解析】C 例3、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（） A1号袋B2号袋 C3号袋 D4号袋【解析】B例4、把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，重叠部分为EBD，下列说法错误的是（）AAB=CD BBAE=DCE CEB=ED DABE一定等
5、于30【解析】D例5、如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，B=50，A=26，将ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A，则AEA的度数是（）A145 B152 C158 D160【解析】B例6、已知直线l的同侧有A，B两点（图1），要在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小小明同学的做法如图2：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PA+PB=AP+PB=AB，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点请问小明同学的做法是否正确？说明理由【解析】小明的做法正确，根据两点之间线段最短分析即可答：小明的做法正确，理由如下：点A和点A关于直线l对称，且点P在l上，PA
6、=PA，又AB交l与P，且两条直线相交只有一个交点，PA+PB最短，即PA+PB的值最小学霸说：（1）对称轴是一条直线，不是线段，也不是射线；（2）轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有多条。 举一反三1、下列各图中，为轴对称图形的是（）A B C D【解析】C2、如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM周长的最小值为（）A6 B8 C10 D12【解析】连接AD，ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABC=BCAD=4AD=16，解得AD=8，EF是线段AC的垂
7、直平分线，点C关于直线EF的对称点为点A，AD的长为CM+MD的最小值，CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+4=8+2=10故选C3、如图，MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点若GH的长为10cm，求PAB的周长为（）A5cm B10cm C20cm D15cm【解析】B4、如图，ABC中，A=60，将ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A处如果AEC=70，那么ADE的度数为【解析】655、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，求证：BF=DF；【解析】由折叠的性
8、质知，CD=ED，BE=BC四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD，BAD=90，AB=DE，BE=AD，在ABD与EDB中，ABDEDB（SSS），EBD=ADB，BF=DF6、如图，直线l同侧有A、B两点，请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小（不写作法，保留作图痕迹）【解析】作A点关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则P点为所求知识要点二简单的轴对称图形（一）等腰三角形定义：三角形中有两边相等的三角形叫做等腰三角形。特征：（1）等腰三角形是轴对称图形。（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（也称“等腰三角形的三线合一”），“三线”所
9、在的直线就是等腰三角形的对称轴。（3）等腰三角形的两腰相等、两底角相等。判定方法：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形，这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”（二）等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。特征：（1）等边三角形是轴对称图形。（2）等边三角形的三条边相等，三个内角都相等且都为60判别方法：（1）三边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。（三）线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，垂直且平分线段的直线就是它的对称轴。（2）线段的垂直平分线
10、定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称中垂线。如上图，直线AB，且AC=BC，则直线叫做线段AB的垂直平分线。（3）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。如上图，则AP=BP.（4）尺规作线段的垂直平分线：（四）角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴。（2）角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。如图，OP是AOB的角平分线，PDOA、PEOB，则DP=EP.（3）尺规作已知角的角平分线：如右上图 典例分析例1、如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC
11、与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（）A15 B17.5 C20 D22.5【解析】A例2、如图，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，A=50，则CDE的度数为（）A50 B51 C51.5 D52.5【解析】D例3、等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则APE的度数是（）A45 B55 C60 D75【解析】C例4、如图，在ABC中，B=55，C=30，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A65 B60 C55 D45【解析】A例5、如图，在RtAB
12、C中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（）A15 B30 C45 D60【解析】B例6、在RtABC中，ACB=90，A=22.5，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？说明理由DE=BF，DEBF理由如下：【解析】连接BD，延长BF交DE于点G点D在线段AB的垂直平分线上，AD=BD，ABD=A=22.5在RtABC中，ACB=9
13、0，A=22.5，ABC=67.5，CBD=ABCABD=45，BCD为等腰直角三角形，BC=DC在ECD和FCB中，RtECDRtFCB（SAS），DE=BF，CED=CFBCFB+CBF=90，CED+CBF=90，EGB=90，即DEBF 举一反三1、如图，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）DEF=DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分EDF；（4）EF垂直平分AD其中正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】C2、已知：如图，在ABC中，D为BC的中点，ADBC，E为AD上一点，ABC=60，ECD=40，则ABE
14、=（）A10 B15 C20 D25【解析】C3、如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（）A13 B15 C17 D19【解析】B4、如图，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直若AD=8，则点P到BC的距离是（）A8 B6 C4 D2【解析】C5、如图，已知BD平分ABC，AB=AD，DEAB，垂足为E（1）求证：ADBC；（2）若DE=6cm，求点D到BC的距离；当ABD=35，DAC=2ABD时，求BAC的度数【解析】（1）证明：BD平分ABC，ABD=DBC 又AB=ADD=ABDD
15、=DBC，ADBC；（2）解：作DFBC于FBD平分ABC，DEAB，DFBC，DF=DE=6（cm），BD平分ABC，ABC=2ABD=70，ADBC，ACB=DAC=70，BAC=180ABCACB=1807070=40学霸说：（1）利用中垂线的性质带来线段的相等，结合等腰三角形的性质，进行等量代换，解决线段相等问题（2）要善于利用已知条件，得到等腰三角形或等边三角形，从而进一步利用它们的性质解题。（3）平行线的定义可以作为判定两直线平行的依据 课堂闯关 初出茅庐1、如图，直线l1l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC若ABC=67
16、，则1=（） A23 B46 C67 D78【解析】B2、MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若MON=35，则GOH=（）A60 B70 C80 D90【解析】B3、如图，在已知的ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；作直线MN交AB于点D，连接CD 若CD=AC，A=50，则ACB的度数为（）A90 B95 C100 D105【解析】D4、如图，四边形ABCD中，B=90，ABCD，M为BC边上的一点，且AM平分BAD，DM平分ADC求证：（1）AMDM；（2）M为
17、BC的中点【解析】（1）ABCD，BAD+ADC=180，AM平分BAD，DM平分ADC，2MAD+2ADM=180，MAD+ADM=90，AMD=90，即AMDM；（2）作NMAD交AD于N，B=90，ABCD，BMAB，CMCD，AM平分BAD，DM平分ADC，BM=MN，MN=CM，BM=CM，即M为BC的中点 优学学霸1、如图，过边长为1的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 【解析】过P作PFBC交AC于FPFBC，ABC是等边三角形，PFD=QCD，APF是等边三角形，AP=PF=AF，PEAC，AE=E
18、F，AP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD和QCD中，PFDQCD（AAS），FD=CD，AE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DE=AC，AC=1，DE=2、如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN（1）求证：AE=BD；（2）求证：MNAB【解析】（1）ACD和BCE是等边三角形，AC=DC，CE=CB，DCA=60，ECB=60，DCA=ECB=60，DCA+DCE=ECB+DCE，ACE=DCB在ACE与DCB中，ACEDCBAE=BD（2）由（1）得，AC
19、EDCBCAM=CDN，ACD=ECB=60，而A、C、B三点共线DCN=60在ACM与DCN中，ACMDCN（ASA）MC=NCMCN=60MCN为等边三角形NMC=DCN=60NMC=DCAMNAB考场直播1、【2016深圳校级期末】如图，在等腰ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO=CO，求证：（1）ABE=ACD；（2）DO=EO【解析】（1）AB=AC，ABC=ACB，OB=OC，OBC=OCB，ABCOBC=ACBOCB，即ABE=ACD（2）在DOB和EOC中，DOBEOC，DO=EO2、【2014深圳校级期末】（1）如图1，已知以ABC的
20、边AB、AC分别向外作等腰直角ABD与等腰直角ACE，BAD=CAE=90，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE=DC，且BEDC请补充完整证明“BE=DC，且BEDC”的推理过程；证明：ABD和ACE都是等腰直角三角形（已知）AB=AD，AE=AC（等腰直角三角形定义）又BAD=CAE=90（已知）BAD+BAC= （等式性质）即： ABEADC（ ）BE=DC（全等三角形的对应边相等）ABE=ADC（全等三角形的对应角相等）又BFO=DFA（ ）ADF+DFA=90（直角三角形的两个锐角互余）ABE+BFO=90（等量代换） 即BEDC（2）探究：若以A
21、BC的边AB、AC分别向外作等边ABD与等边ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出BOD的度数？【解析】（1）CAE+BAC，DAC=BAE，SAS，对顶角相等，BOF=DAF=90；（2）证明：如图2，以AB、AC为边分别向外做等边ABD和等边ACE，AD=AB，AE=AC，ACE=AEC=60，DAB=EAC=60，DAB+BAC=EAC+BAC，DAC=BAE，在DAC和BAE中，DACBAE（SAS），CD=BE，BEA=ACD，BOC=ECO+OEC=DCA+ACE+OEC=BEA
22、+ACE+OEC=ACE+AEC=60+60=120BOC=60套路揭密：（1）等腰三角形或等边三角形可以给我们带来角、线段的相等，这些条件是判定全等三角形重要的条件，综合利用这些性质，可以给我们带来丰富的解题思路。自我挑战1、如图，ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60其三条角平分线交于点O，则SABO：SBCO：SCAO= 【解析】4：5：62、如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E若EDC的周长为24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 【解析】DE是BC边上的垂直平分线， BE=CEEDC的周长为24，ED+DC+E
23、C=24，ABC与四边形AEDC的周长之差为12，（AB+AC+BC）（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）（AE+DC+AC）DE=12，BE+BDDE=12，BE=CE，BD=DC，得，DE=63、如图，C、E和B、D、F分别在GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18，则GEF的度数为（）A75 B80 C85 D90【解析】D4、如图，APB与CDP是两个全等的等边三角形，且PAPD，有下列四个结论：PBC=15；ADBC；直线PC与AB垂直其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个【解析】D5、如图所示，ABC中，ACB的平分线交AB于点D，过点D作BC的平行
24、线交AC于点E，交ACB的外角平分线于点F求证：（1）DCF是直角三角形；（2）DE=EF【解析】（1）DC平分ACB，CF平分ACMACD=ACB，ACF=ACMDCF=ACD+ACF=（ACB+ACM）=90DCF是直角三角形；（2）DFBCEDC=BCD，F=FCMDC平分ACB，CF平分ACMACD=BCD，ACF=FCMEDC=ACD，F=ACFED=EC，EC=EFDE=EF6、如图，在等边ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟（1）你能用t表示BP和
25、BQ的长度吗？请你表示出来（2）请问几秒钟后，PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？解：（1）等边ABC，BC=AB=9cm，点P的速度为2cm/s，时间为ts，CP=2t，则PB=BCCP=（92t）cm；点Q的速度为5cm/s，时间为ts，BQ=5t；（2）若PBQ为等边三角形，则有BQ=BP，即92t=5t，解得t=，所以当t=s时，PBQ为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得：5t2t=18，解得t=6，则6s时，两点第一次相遇当t=6s时，P走过得路程为26=12cm，而91218，即此时P在AB边上，则两点在AB上第一次相遇思考乐优学产品中心初中组18
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