1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级(下)课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第02讲-直角三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握直角三角形的性质与判定方法； 进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。4、逆命题、逆
2、定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。考点一：直角三角形全等的判定例1、在如图中，AB=AC，BEAC于E，CFAB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）AABEACF B点D在BAC的平分线上CBDFCDE D点D是BE的中点【解析】选D例2、如图，AB=1
3、2，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后CAP与PQB全等【解析】CAAB于A，DBAB于B，A=B=90，设运动x分钟后CAP与PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12x）m，分两种情况：若BP=AC，则x=4，AP=124=8，BQ=8，AP=BQ，CAPPBQ；若BP=AP，则12x=x，解得：x=6，BQ=12AC，此时CAP与PQB不全等；综上所述：运动4分钟后CAP与PQB全等；故答案为：4例3、如图，A=B=90，E是AB上的一点，且AE=BC，1=2（1）RtAD
4、E与RtBEC全等吗？并说明理由；（2）CDE是不是直角三角形？并说明理由【解析】（1）全等，理由是：1=2，DE=CE，A=B=90，AE=BC，RtADERtBEC；（2）是直角三角形，理由是：RtADERtBEC，3=4，3+5=90，4+5=90，DEC=90，CDE是直角三角形例4、CD经过BCA顶点C的一条直线，CA=CBE，F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若BCA=90，=90，则BE=CF；EF=|BEAF|（填“”，“”或“=”）；如图2，若0BCA180，请添加一个关于与BCA关系
5、的条件+BCA=180，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，=BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）【解析】（1）BCA=90，=90，BCE+CBE=90，BCE+ACF=90，CBE=ACF，CA=CB，BEC=CFA；BCECAF，BE=CF；EF=|CFCE|=|BEAF|所填的条件是：+BCA=180证明：在BCE中，CBE+BCE=180BEC=180BCA=180，CBE+BCE=BCA又ACF+BCE=BCA，CBE=ACF，又BC=CA，BEC=CFA，BCECAF（AAS）BE=CF，CE=AF
6、，又EF=CFCE，EF=|BEAF|（2）猜想：EF=BE+AF证明过程：BEC=CFA=，=BCA，BCA+BCE+ACF=180，CFA+CAF+ACF=180，BCE=CAF，又BC=CA，BCECAF（AAS）BE=CF，EC=FA，EF=EC+CF=BE+AF考点二：直角三角形的性质例1、如图，AOB=40，OC平分AOB，直尺与OC垂直，则1等于（）A60 B70 C50 D40【解析】如图所示：根据题意得：1=2=3，OC平分AOB，AOC=AOB=20，3=9020=70，1=70；故选：B例2、如图，已知AOD=30，点C是射线OD上的一个动点在点C的运动过程中，AOC恰好
7、是直角三角形，则此时A所有可能的度数为60或90【解析】在AOC中，AOC=30，AOC恰好是直角三角形时，分两种情况：如果A是直角，那么A=90；如果ACO是直角，那么A=90AOC=60故答案为60或90例3、如图，在ABC中，CE，BF是两条高，若A=70，BCE=30，求EBF与FBC的度数【解析】在RtABF中，A=70，CE，BF是两条高，EBF=20，ECA=20，又BCE=30，ACB=50，在RtBCF中FBC=40考点三：含30度角的直角三角形例1、如图，ABC中，C=90，A=30，AB=12，则BC=（）A6 B6 C6 D12【解析】C=90，A=30，AB=12，B
8、C=AB=12=6，选A例2、如图所示，两块完全相同的含30角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30有以下四个结论：AF丄BC；ADGACF；O为BC的中点；AG：DE=：4，其中正确结论的序号是【解析】两块完全相同的含30角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30CAF=30，GAF=60，AFB=90，AF丄BC故正确；AD=AC，DAG=CAF，D=C=60，ADGACF故正确；ADGACF，AG=AF，AO=AO，AGO=AFO=90，AGOAFO（HL），OAF=30，OAC=60，AO=CO=AC，BO=CO=AO，O为BC的中点故正确；假设DG=x，DAG=30，AG=x，GE=3
9、x，DE=DG+GE=4xAG：DE=：4故正确；故答案为：例3、如图，在ABC中，ACB=90，B=30，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使ABP为等腰三角形时，BP的长度为4或6【解析】ACB=90，CDAB，ADAB，ACD=ABC=30，AC=BC=2，AD=AC=，当AP=AB=4时，PD=3，BD=BC=3，PB=6，当PB=AB=4，综上所述：PB=4或6故答案为：4或6考点四：直角三角形斜边上的中线例1、如图，在RtABC中，BAC=90，AB=6，D是斜边BC的中点，若AD=5，则AC等于（）A8 B64 C5 D6【解析】在RtBAC中，B
10、AC=90，D为斜边BC的中点，AD=5，BC=2AD=10，由勾股定理得：AC=8，故选A例2、如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于30度【解析】在RtABC中，CE是斜边AB的中线，AE=CE，A=ACE，CED是由CBD折叠而成，B=CED，CEB=A+ACE=2A，B=2A，A+B=90，A=30故答案为：30例3、如图，在RtABC中，BAC=90，AD是BC边上的中线，EDBC于D，交BA延长线于点E，若E=35，求BDA的度数【解析】EDBC，E=35，B=55 在RtABC中，BAC=90，AD是BC边上的中线，AD=B
11、D BAD=B=55BDA=70例4、如图，在ABC中，BA=BC，B=120，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC【解析】如图，连接DBMN是AB的垂直平分线，AD=DB，A=ABD，BA=BC，B=120，A=C=（180120）=30，ABD=30，又ABC=120，DBC=12030=90，BD=DC，AD=DC例5、在ABC中，ACB=90，M是AB的中点，E、F分别是AC、BC延长线上的点，且CE=CF=AB，则EMF的度数为45【解析】连接CM，ACB=90，M是AB的中点，CM=AB，AM=BM=AB，CE=CF=AB，CE=MC，CF=MC，1=E，2=F，1+E
12、=4，2+F=3，1=4，2=3，1+2=（4+3）=90=45，即：EMF=45故答案为：45P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A一锐角对应相等 B两锐角对应相等 C一条边对应相等 D两条直角边对应相等【解析】选：D2、如图，若要用“HL”证明RtABCRtABD，则还需补充条件（）ABAC=BAD BAC=AD或BC=BDCAC=AD且BC=BD D以上都不正确【解析】从图中可知AB为RtABC和RtABD的斜边，也是公共边跟据“HL”定理，证明RtABCRtABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=
13、BD，故选B3、如图，BD平分ABC，CDBD，D为垂足，C=55，则ABC的度数是（）A35 B55 C60 D70【解析】CDBD，C=55，CBD=9055=35，BD平分ABC，ABC=2CBD=235=70故选D4、如图，ABC中，CDAB于D，且E是AC的中点若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A5 B6 C7 D8【解析】ABC中，CDAB于D，ADC=90E是AC的中点，DE=5，AC=2DE=10AD=6，CD=8故选D5、如图，ACBC，ADDB，要使ABCBAD，还需添加条件AC=BD或BC=AD或DAB=CBA或CAB=DBA（只需写出符合条件一种情况）【解析】AC
14、BC，ADDB，C=D=90AB为公共边，要使ABCBAD添加AC=BD或BC=AD或DAB=CBA或CAB=DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定ABCBAD6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），AON=30，当A=60或90时，AOP为直角三角形【解析】若APO是直角，则A=90AON=9030=60，若APO是锐角，AON=30是锐角，A=90，综上所述，A=60或90故答案为：60或907、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则B等于30【解析】CD是斜边AB上的中线，CD=AD，又CD=AC，ADC是等边三角形，A=60，B=90A
15、=30故答案为：308、底角为30，腰长为a的等腰三角形的面积是a2【解析】如图，过点A作ADBC于D，ABC是等腰三角形，BC=2BD，底角B=30，AD=AB=a，由勾股定理得，BD=a，BC=2BD=a，三角形的面积=aa=a2故答案为a29、如图，在ACB中，ACB=90，CDAB于D（1）求证：ACD=B；（2）若AF平分CAB分别交CD、BC于E、F，求证：CEF=CFE【解析】证明：（1）ACB=90，CDAB于D，ACD+BCD=90，B+BCD=90，ACD=B；（2）在RtAFC中，CFA=90CAF，同理在RtAED中，AED=90DAE又AF平分CAB，CAF=DAE，
16、AED=CFE，又CEF=AED，CEF=CFE10、已知：如图，在ABC中，AB=AC=2，B=15过点C作CDBA，交BA的延长线于点D，求ACD的周长【解析】如图，在ABC中，AB=AC=2，B=15，B=ACB=15，DAC=2B=30又CDBA，CD=AC=1，根据勾股定理得到AD=，ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3答：ACD的周长是+3 课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）有两条直角边对应相等； 有两个锐角对应相等； 有斜边和一条直角边对应相等； 有一条直角边和一个锐角相等； 有斜边和一个锐角对应相等； 有两条边相等A6个 B5个 C4个 D3个
17、【解析】故选B2、如图，O是BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则AEOAFO的依据是（）AHL BAAS CSSS DASA【解析】OEAB，OFAC，AEO=AFO=90，又OE=OF，AO为公共边，AEOAFO故选A3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（）A90 B135 C120 D45或135【解析】如图：AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，OAB+OBA=902=45，两角平分线组成的角有两个：BOE与EOD这两个角互补，根据三角形外角和定理，BOE=OAB+OBA=45，EOD=18045=135，故选B4、如图，在RtABC中，ACB=90，A=6
18、0，过点C的直线与AB交于点D，且将ABC的面积分成相等的两部分，则CDA=（）A30 B45 C60 D75【解析】如图，在RtABC中，ACB=90，A=60，AC=AB，又过点C的直线与AB交于点D，且将ABC的面积分成相等的两部分，AD=BDAC=AD，A=60，ADC是等边三角形，CDA=605、如图，ABC中，AB=AC=10，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A10 B6 C8 D5【解析】AB=AC=10，AD平分BAC，BD=DC，E为AC的中点，DE=AB=10=5，故选D6、如图，已知ABCD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”
19、判定ABCDBE，则需要添加的一个条件是AC=DE【解析】AC=DE，理由是：ABDC，ABC=DBE=90，在RtABC和RtDBE中，RtABCRtDBE（HL）故答案为：AC=DE7、如图，在RtABC中，ACB=90，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB，若B=50，则ACB=10【解析】ACB=90，B=50，A=40，ACB=90，CD是斜边上的中线，CD=BD，CD=AD，BCD=B=50，DCA=A=40，由翻折变换的性质可知，BCD=BCD=50，ACB=BCDDCA=10，故答案为：108、如图，在ABC中，C=90，B=30，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D
20、，若CD=3，则BD的长为6【解析】DE是AB的垂直平分线，AD=BD，DAE=B=30，ADC=60，CAD=30，AD为BAC的角平分线，C=90，DEAB，DE=CD=3，B=30，BD=2DE=6，故答案为：69、如图所示，ABBC，DCAC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由【解析】AC=ED，理由如下：ABBC，DCAC，EDBC，B=EFC=DCE=90A+ACB=90，CEF+ACB=90A=CEF在ABC和ECD中，ABCECD（ASA）AC=ED（全等三角形的对应边相等）10、在直角ABC中，A
21、CB=90，B=30，CDAB于D，CE是ABC的角平分线（1）求DCE的度数（2）若CEF=135，求证：EFBC【解析】B=30，CDAB于D，DCB=90B=60CE平分ACB，ACB=90，ECB=ACB=45，DCE=DCBECB=6045=15；（2）CEF=135，ECB=ACB=45，CEF+ECB=180，EFBC11、已知：如图，在ABC，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC的中点，BFCA延长线于点F求证：CBF=ADE【解析】证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，ADC=90，又E是AC的中点，AE=DE，ADE=EAD=90C，BFCA延长线于点F，CBF=9
22、0C，CBF=ADE12、在等腰ABC中，AB=AC=8，BAC=100，AD是BAC的平分线，交BC于D，点E是AB的中点，连接DE（1）求BAD的度数；（2）求B的度数；（3）求线段DE的长【解析】（1）AD是BAC的平分线，BAD=CAD，BAC=100，BAD=50；（2）AB=AC，B=C，；（3）AB=AC，AD平分BAC，AD是等腰ABC底边BC上的高，即ADB=90在直角三角形ABD中，点E是AB的中点，DE为斜边AB边上的中线，DE=直击中考1、【2016丹东】如图，四边形ABCD中，ADBC，A=90，BD=BC，CEBD于点E求证：AD=BE【解析】证明：ADBC，ADB
23、=DBCCEBD，BEC=90A=90，A=BECBD=BC，ABDBCEAD=BE2、【2016秋靖江】如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MNBD【解析】证明：（1）ABC=ADC=90，M是AC的中点，BM=AC，DM=AC，DM=BM；（2）由（1）可知DM=BM，N是BD的中点，MNBDS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。名师点拨1、在运用勾股定理的逆定理判定直角三角形时，误认为a,b一定是直角边，c一定是斜边。2、在直角三角形中，不能确定第三边是直角边还是斜边时，需要分类讨论。3、忽略用HL定理证明三角形全等的前提条件。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15
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