1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级(下)课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第01讲-等腰三角形 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握等腰三角形、等边三角形的性质、判定定理； 掌握含30角的直角三角形的性质定理及其证明； 能够用综合法证明等腰三角形的有关性质及其判定定理。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相
2、重合。即三线合一。（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。考点一：等腰三角形的性质例1、一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A12 B16 C20 D16或20
3、【解析】当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；当8为腰时，8488+4，符合题意故此三角形的周长=8+8+4=20故选C例2、如图，在ABC中，AB=AC，A=30，E为BC延长线上一点，ABC与ACE的平分线相交于点D，则D的度数为（）A15 B17.5 C20 D22.5【解析】ABC的平分线与ACE的平分线交于点D，1=2，3=4，ACE=A+ABC，即1+2=3+4+A，21=23+A，1=3+D，D=A=30=15故选A例3、一个三角形可被剖成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36度，求原三角形最大内角的所有可能值【解析】原三角形是锐角三角形，最大角是72的情况如图所示：ABC
4、=ACB=72，A=36，AD=BD=BC；原三角形是直角三角形，最大角是90的情况如图所示：ABC=90，A=36，AD=CD=BD；原三角形是钝角三角形，最大角是108的情况如图所示：原三角形是钝角三角形，最大角是126的情况如图所示：ABC=126，C=36，AD=BD=BC；原三角形是钝角三角形，最大角是132的情况如图所示：C=132，ABC=36，AD=BD，CD=CB综上，原三角形最大内角的所有可能值为72，90，108，132，126例4、如图，在ABA1中，B=20，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A
5、3，使得A2A3=A2D；，按此做法进行下去，An的度数为【解析】在ABA1中，B=20，AB=A1B，BA1A=80，A1A2=A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A1=40；同理可得，DA3A2=20，EA4A3=10，An=故答案为：例5、如图1，RtABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个
6、补充或者更换已知条件，完成你的证明1、画出将BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（ACKN，如图2）附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由【解析】DEF是等腰三角形。证明：如图，过点C作CPAC，交AN延长线于点PRtABC中AB=ACBAC=90，ACB=45PCN=ACB，BAD=ACPAMBDABD+BAM=BAM+CAP=90ABD=CAPBADACPAD=CP，ADB=PAD=CE,CE=CP,CN=CN,CPNCEN,P=CEN,CEN=ADBFDE=FEDDEF是
7、等腰三角形附加题：DEF为等腰三角形证明：过点C作CPAC，交AM的延长线于点PRtABC中AB=ACBAC=90，ACB=45，PCN=ACB=ECNAMBD，ABD+BAM=BAM+CAP=90，ABD=CAP，BADACP，AD=CP，D=PAD=EC，CE=CP，又CN=CN，CPNCEN，P=E，D=E，DEF为等腰三角形考点二：等腰三角形的判定 例1、ABC的三边长a，b，c满足关系式（ab）（bc）（ca）=0，则这个三角形一定是（）A等腰三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D无法确定【解析】ABC的三边长a，b，c，a、b、c都是正数由（ab）（bc）（ca）=0，得ab=0
8、，即a=b，ABC是等腰三角形；bc=0，即b=c，ABC是等腰三角形；ca=0，即c=a，ABC是等腰三角形；ab=0，bc=0且ca=0，即a=b=c，ABC是等边三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形综上所述，ABC一定是等腰三角形故选A例2、如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A5个 B4个 C3个 D2个【解析】共有5个（1）AB=ACABC是等腰三角形；（2）BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，EBC=ABC，ECB=BCD，ABC是等腰三角形，EBC=ECB，BCE是等腰三角形；（3）A=36，AB=AC，
9、ABC=ACB=（18036）=72，又BD是ABC的角平分线，ABD=ABC=36=A，ABD是等腰三角形；同理可证CDE和BCD是等腰三角形故选：A例3、如图，ABC中，BF、CF分别平分ABC和ACB，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF和CEF都是等腰三角形；DFB=EFC；ADE的周长等于AB与AC的和；BF=CF其中正确的是（填序号，错选、漏选不得分）【解析】DEBC，DFB=FBC，EFC=FCB，BF是ABC的平分线，CF是ACB的平分线，FBC=DFB，FCE=FCB，DBF=DFB，EFC=ECF，DFB，FEC都是等腰三角形正确；ABC不是等腰
10、三角形，DFB=EFC，是错误的；DFB，FEC都是等腰三角形DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC正确，共2个正确的；ABC不是等腰三角形，ABCACB，FBCFCB，BF=CF是错误的；故答案为：例4、如图，以ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证
11、明画出将ACM绕某一点顺时针旋转180后的图形；BAC=90（如图）附加题：如图，若以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系【解析】（1）分三种情况；当BAC=90，M是BC的中点，AM=BM=MC=，EAD=BAC=90，AE=AB，AC=AD，ABCAED，ED=BC，ED=2AM当BAC90，易得ED=2AM当BAC90，易得ED=2AM（2）已知（1）的结论，若BAC=90，可得ED=2AM附加：结合上题可得：2AM=DE，延长CA到F使AF=AC，连接BF易证ABFADE，BF=DE，2AM=BF，2AM=DEP(Pr
12、actice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A16cm B17cm C20cm D16cm或20cm【解析】选C2、如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小为（）A40 B30 C70 D50【解析】ADBC，C=1=70，AB=AC，B=C=70，BAC=180BC=40故选A3、如图，B=C，1=3，则1与2之间的关系是（）A1=22 B312=180C1+32=180 D21+2=180【解析】1=3，B=C，1+B+3=180，21+C=180，21+12=180，312=180
13、故选B4、如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：EBO=DCO；BE=CD；OB=OC；OE=OD从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定ABC是等腰三角形的是（）A B C D【解析】选可根据AAS证EBO和DCO全等，推出OB=OC，再得出CBO=BCO，两角相加得出ABC=ACB，正确；根据OB=OC，EBO=DCO，两角相加得出ABC=ACB，正确；根据SAS证EBO和DCO全等，推出EBO=DCO根据OB=OC，EBO=DCO，两角相加得出ABC=ACB，正确；不能证明出EBO和DCO全等，错误；故选D5、如图，在ABC中AB=AC，A
14、=36，BD平分ABC，则1=72度，图中有3个等腰三角形【解析】AB=AC，A=36，ABC是等腰三角形，C=ABC=72，BD为ABC的平分线，ABD=A=DBC=36，AD=BD，ADB是等腰三角形，1=1803672=72=C，BC=BD，CDB是等腰三角形，图中共有3个等腰三角形故填36、如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，把ADC沿AD对折，点C落在点C处，连接CC，则图中共有等腰三角形5个【解析】AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AD=BD=CD，ABD，ACD是等腰三角形ADC是ADC翻折变换后的图形，AC=AC，CD=CD，故ACC，与CDC是等腰三角形AD=CD，C
15、D=CD，ADC是等腰三角形故图中共有等腰三角形5个7、如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：A1C1A2=160，A2C2A3=80，A3C3A4=40，A4C4A5=20，根据上述规律请你写出An+1AnCn=（90）（用含n的代数式表示）【解析】由张角度数变化可知顶角An+1CnAn=，则An+1AnCn=（180）2=90故答案为：（90）8、如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F求证：DE=DF【解析】证明：连接ADAB=AC，点D是BC边上
16、的中点AD平分BAC（三线合一性质），DE、DF分别垂直AB、AC于点E和FDE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）9、如图，在ABC中，AD平分BAC，点D是BC的中点，DEAB于点E，DFAC于点F求证：ABC是等腰三角形【解答】证明：AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，DE=DF，在RtBDE和RtCDF中，RtBDERtCDF（HF），B=C，ABC为等腰三角形 课后反击1、已知等腰三角形的一个底角的度数为70，则另外两个内角的度数分别是（）A55，55 B70，40C55，55或70，40 D以上都不对【解析】选B2、等腰三角形顶角是84，则一腰上的高与底边所成的角
17、的度数是（）A42 B60 C36 D46【解析】如图：ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高A=84，且AB=AC，ABC=C=（18084）2=48；在RtBDC中，BDC=90，C=48；DBC=9048=42故选A3、如图，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44，则P的度数为（）A44 B66 C88 D92【解析】PA=PB，A=B，在AMK和BKN中，AMKBKN，AMK=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44，P=180AB=92，故选：D4、如图，D是直角ABC斜边BC上一点，AB=AD，
18、记CAD=，ABC=若=10，则的度数是（）A40 B50 C60 D不能确定【解析】AB=AD，B=ADB，=10，ADB=+C，C=10，BAC=90，B+C=90，即+10=90，解得=50，故选B5、如图，在ABC，A=36，B=72，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D，E，则图中等腰三角形的个数为（）A2个 B3个 C4个 D5个【解析】A=36，B=72，ACB=1803672=72，ACB=B，AB=AC，ABC是等腰三角形，DE垂直平分AC，EA=EC，ACE=A=36AE=CE，ACE是等腰三角形，AEC=1803636=108，BEC=72BEC=B，CE=BCBEC是
19、等腰三角形，等腰三角形有ABC，ABE，BEC，故选：B6、如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线，若ABD的周长为12，ABC的周长为16，则AD的长为4【解析】ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线，BD=CDABD的周长为12，AB+BD+AD=12，2AB+2BD+2AD=24，AB+AC+BC+2AD=24，ABC的周长为16，AB+AC+BC=16，16+2AD=24，AD=4故答案为47、如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序
20、号写出一种情形）：【解析】由条件可判定ABC是等腰三角形证明：EBO=DCO，EOB=DOC，（对顶角相等），BE=CD，EBODCO，OB=OC，OBC=OCB，ABC=ACB，ABC是等腰三角形8、如图，BAC=（090），现只用4根等长的小棒将BAC固定，从点A1开始依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1，则角的取值范围是1822.5【解析】A1A2=AA1，1=A2A1A3=2，2=A2A4A3=+2=3，3=A2A4A3+=4，由题意得：，1822.59、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成
21、两个小等腰三角形为此，请你解答问题（1）（1）已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=36，直线BD平分ABC交AC于点D求证：ABD与DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图、也具有这种特性请你在图、图中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形）（4）请
22、你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征【解析】（1）证明：在ABC中，AB=AC，ABC=C，A=36，ABC=C=（180A）=72，BD平分ABC，1=2=36，3=1+A=72，1=A，3=C，AD=BD，BD=BC，ABD与BDC都是等腰三角形（2） 解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：直角三角形（直角边不等）；特征二：2倍内角关系，在ABC中，A=2B，0B45，其中，B30；直击中考1、【2015长沙】下列条件中，不能判定ABC是等腰三角形的是（）Aa=3，b=3，c=4 Ba：b：c=2：3：4CB=50，C=80 DA：B：C=1：1：2【解析】选
23、B2、【2016山东】如下图中，将ABC沿BD对折，使得点C落在AB上的点C处，且C=2CBD，已知 A=36（1）求BDC的度数；（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）【解析】由折叠的性质可得：CBD=CBD，ABC=2CBD，C=2CBD，C=ABC，ABC中，A=22，C=ABC=72，CBD=36，BDC=180336=72（2）C=ABC=BDC=BDC=BCD=72，AB=AC，BC=BD=BC，ABC，BCD，BCD是等腰三角形，ABC=BDC=BDC=BCD=72，ABD=ADC=A=36，AD=BD，AC=DC，ABD，ADC是等腰三角形所以等腰三角形有ABC，ABD，B
24、CD，BDC，ADCS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。（4）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。名师点拨1、涉及等腰三角形腰上的高的问题时，需要注意分类讨论；2、等腰三角形“三线合一”的成立的条件一定要明确；3、等腰三角形需要满足一般三角形的性质。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14
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