1、 2017年春季初二年级数学教材 A版第09讲 因式分解 温故知新回忆：运用之前所学的知识填空：（1）2（x3）_；（2）x2（3x）_；（3）m（abc）_.智慧乐园探究活动：我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式，反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本节课我们一起来探究这种变形：1、探索：你会做下面的填空吗？（1）2x6（ ）（ ）；（2）3x2x3（ ）（ ）；（3）mambmc（ ）2.2、归纳：“回忆”的是已熟悉的 运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆” ，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是 因式分解
2、 （也叫做把这个多项式 分解因式 ）知识要点一因式分解1、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。注意：（1）因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式；（2）因式分解是有范围的，现阶段在有理数范围内进行；（3）因式分解的结果要以积的形式表示，每个因式必须是整式；（4）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。2、因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看成一个变形过程，那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。 典例分析例1、将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（
3、）Aa21 Ba2+a Ca2+a2 D（a+2）22（a+2）+1【解析】选：C例2、下列从左到右边的变形，是因式分解的是（）A（3x）（3+x）=9x2 B（y+1）（y3）=（3y）（y+1）C4yz2y2z+z=2y（2zyz）+z D8x2+8x2=2（2x1）2【解析】选：D例3、（x+3）（2x1）是多项式2x2+5x3因式分解的结果【解析】（x+3）（2x1）=2x2+5x3，故答案为：2x2+5x3学霸说：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式； 举一反三1、下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A6a2b2=3ab2ab B2x2+8x1=2x（
4、x+4）1Ca23a4=（a+1）（a4） D【解析】选C2、多项式x2+mx+6因式分解得（x2）（x+n），则m=5【解析】答案为：53、若多项式2x25x+m有一个因式为（x1），那么m=3【解析】答案为：3知识要点二因式分解的方法 一、提公因式法1、公因式的定义： 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。2、确定公因式的方法： 确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式的第一项系数是负数，应把公因式的符号取“”；（2）确定公因式的数字因数：当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；（3）确定公因式的字母及其指数：取多项式各项都含有的相同字母（或
5、因式），其指数取最低次。3、提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式法的依据是乘法的分配律，它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”。二、公式法1、用平方差公式因式分解把乘法公式中的反过来，就可得： 2、用完全平方公式因式分解把乘法公式中的完全平方公式反过来，就可得： 3、因式分解的一般步骤步骤：（1）有公因式先提公因式；（2）没有公因式，可以尝试公式法因式分解；（3）如果上述方法都不可以，可以先整理多项式，然后分解；（4）必须分解到最后。 典例分析例1、把a24a多项式分
6、解因式，结果正确的是（）Aa（a4） B（a+2）（a2）Ca（a+2）（a2） D（a2）24【解析】a24a=a（a4），故选：A例2、多项式4x24与多项式x22x+1的公因式是（）Ax1 Bx+1 Cx21 D（x1）2【解析】选：A例3、把多项式x26x+9分解因式，结果正确的是（）A（x3）2 B（x9）2 C（x+3）（x3） D（x+9）（x9）【解析】x26x+9=（x3）2，故选A例4、把8a38a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A2a（4a24a+1） B8a2（a1）C2a（2a1）2 D2a（2a+1）2【解析】选：C例5、如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出
7、一个正确的等式am+bm+cm=m（a+b+c）【解析】由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）例6、分解因式：（m+1）（m9）+8m=（m+3）（m3）【解析】（m+1）（m9）+8m=m29m+m9+8m=m29=（m+3）（m3）答案为：（m+3）（m3）例7、（1）因式分解：（xy）（3xy）+2x（3xy）；（2）设y=kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x2？求出所有满足条件的k的值若不能，请说明理由【解析】（1）原式=（3xy）（xy+2x）=（3xy）（3xy）=（3xy）2；（2）将y=kx代入上式得：（3xkx）2=（
8、3k）x2=（3k）2 x2；令（3k）2=1，3k=1，解得：k=4或2例8、因式分解：（1）6xy29x2yy3 （2）（p4）（p+1）+3p【解析】（1）6xy29x2yy3=y（y26xy+9x2）=y（3xy）2； （2）（p4）（p+1）+3p=p23p4+3p=（p+2）（p2） 举一反三1、把（xa）3（ax）2分解因式的结果为（）A（xa）2（xa+1） B（xa）2（xa1）C（xa）2（x+a） D（ax）2（xa1）【解析】原式=（xa）3（xa）2=（xa）2（xa1），选B2、分解因式：4x24xy+y2=（2xy）2【解析】4x24xy+y2=（2x）222xy
9、+y2=（2xy）23、先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值（2）求（2xy）（2x+y）（2y+x）（2yx）的值，其中x=2，y=1【解析】（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=222=8；（2）原式=4x2y2（4y2x2）=5x25y2，当x=2，y=1时，原式=522512=15课堂闯关 初出茅庐 l 建议用时：10分钟1、下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）Ax（ab）=axbx Bx21+y2=（x1）（x+1）+y2Cy21=（y+1）（y1） Dax+by+c=x（a+b）
10、+c【解析】选：C2、对多项式3x23x因式分解，提取的公因式为（）A3 Bx C3x D3x2【解析】3x23x=3x（x1），则对多项式3x23x因式分解，提取的公因式为3x，故选C3、下列因式分解正确的是（）Ax2+9=（x+3）2 Ba2+2a+4=（a+2）2Ca34a2=a2（a4） D14x2=（1+4x）（14）【解析】故选C4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）x210x+25；4a2+4a1；x22x1；A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选：C5、把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为【解析】由x2+4mx+5因式分解得（x+
11、5）（x+n），得x2+4mx+5=（x+5）（x+n），（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，x2+4mx+5=x2+（n+5）x+5n4m=n+5，5n=5解得n=1，m=，m+n=1+=，故答案为：6、如果把多项式x23x+n分解因式得（x1）（x+m），那么m=2，n=2【解析】x23x+n分解因式得（x1）（x+m），得x23x+n=x2+（m1）xmm1=3，n=m解得m=2，n=2，故答案为：2，27、分解因式：2a（b+c）3（b+c）=（b+c）（2a3）【解析】原式=（b+c）（2a3），故答案为：（b+c）（2a3）8、分解因式：x24x+4=（x2）2【解析】
12、x24x+4=（x2）2 优学学霸 l 建议用时：15分钟1、在实数范围内分解因式：x25【解析】x25=（x）（x+）2、阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单如：（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+13=（x+1）（x+3）；（2）x24x5=x2+（15）x+1（5）=（x+1）（x5）请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x27x18【解析】x27x18=x2+（9+2）x+（9）2=（x9）（x+2） 3、若a、b
13、、c为ABC的三边（1）判断代数式a22abc2+b2的值与0的大小关系，并说明理由；（2）满足a2+b2+c2=ab+ac+bc，试判断ABC的形状【解析】（1）a22abc2+b2=（ab）2c2=（ab+c）（abc）a+cb，ab+c，ab+c0，abc0，a22abc2+b20（2）a2+b2+c2=ab+ac+bc，2a2+2b2+2c22ab2ac2bc=0，a22ab+b2+b22bc+c2+a22ac+c2=0，（ab）2+（bc）2+（ac）2=0，ab=0，bc=0，ac=0，a=b=c，ABC是等边三角形考场直播1、【2016春祁阳县期末】下列从左到右的变形：是因式分解
14、的个数是 （）（1）15x2y=3x5xy； （2）（a+b）（ab）=a2b2；（3）a22a+1=（a1）2； （4）x2+3x+1=x（x+3+）A0个 B1个 C2个 D3个【解析】选B2、【2014秋瑞金市期末】若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x1）（x3），则k+b的值为1【解析】由题意得：x2+kx+b=（x1）（x3）=x24x+3，k=4，b=3，则k+b=4+3=1故答案为：13、【2017春萧山区校级月考】分解因式：x2（x3）2=3（2x3）【解析】原式=（x+x3）（xx+3）=3（2x3），故答案为：3（2x3）套路揭密：（1）掌握因式分解的定义及意义
15、；（2）因式分解中，提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。自我挑战l 建议用时：30分钟 1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）Ax29+6x=（x+3）（x3）+6x B（x+5）（x2）=x2+3x10Cx28x+16=（x4）2 D6ab=2a3b【解析】选：C2、若（x3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为（）A15 B2 C8 D2【解析】（x3）（x+5）=x2+2x15，p=2，q=15；故选D3、把多项式a29a分解因式，结果正确的是（）Aa（a9） Ba（a+3）（a3） C（a+3）（a3） D（a3）29【解析】原式=a（a9）故选：A4、因式分解2x+x3的
16、正确结果是（）A2（x+x3） Bx（2+x2） C2x（1+x） Dx（2+x3）【解析】2x+x3=x（2+x2）故选：B5、下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）Ax2+y2+2x+2y Bx2+y2+2xy2 Cx2y2+4x+4y Dx2y2+4y4【解析】选A6、分解因式：16x2=（）A（4x）（4+x） B（x4）（x+4）C（8+x）（8x） D（4x）2【解析】16x2=（4x）（4+x）故选：A7、下列分解因式正确的是（）Amam=m（a1） Ba21=（a1）2Ca26a+9=（a3）2 Da2+3a+9=（a+3）2【解析】选C8、甲、乙两个同学分解因式x2+a
17、x+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=15【解析】分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，a=6，同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，b=9，因此a+b=15故应填159、如果x3是多项式2x211x+m的一个因式，则m的值15【解析】把x=3代入方程2x211x+m=0中得1833+m=0，解得：m=15故答案为：1510、因式分解：x22x=x（x2）【解析】原式=x（x2），故答案为：x（x2）11、把下列各式分解因式：（1）2
18、m（mn）28m2（nm）（2）8a2b+12ab24a3b3（2）直接提取公因式4ab，进而分解因式得出答案【解析】（1）2m（mn）28m2（nm）=2m（mn）（mn）+4m=2m（mn）（5mn）；（2）8a2b+12ab24a3b3=4ab（2a3b+a2b2）12、已知：x+y=2，xy=7，求x3y+xy3的值【解析】x+y=2，xy=7，x3y+xy3=xy（x2+y2）=xy（x+y）22xy=7（2227）=7013、已知x2+y24x+6y+13=0，求x26xy+9y2的值【解析】x2+y24x+6y+13=（x2）2+（y+3）2=0，x2=0，y+3=0，即x=2，y=3，则原式=（x3y）2=112=121思考乐优学产品中心 初中组11
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