1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第10讲-直线和圆的位置关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 结合图形理解直线与圆的位置关系，并掌握条件； 熟练掌握切线的性质与判定定理； 掌握三角形内切圆尺规作图的方法与内心性质。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一）直线和圆的三种位置关系：相离：一条直线和圆没有公共点相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相
2、交，这条直线叫圆的割线 （二）直线与圆的位置关系判定：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d直线l和O相交dr直线l和O相切d=r直线l和O相离dr（三）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心1、注意：切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是： 直线过圆心； 直线过切点； 直线与圆的切线垂直2、切线性质的运用（常作辅助线）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直（四）切线的判定定理1、切线的判定定理：
3、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2、在应用判定定理时注意：（常用解题思路）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”（五）补充内容：弦切角定理（该部分选讲，证明过程略
4、）1、弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角2、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半 如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有PCA=PBC（PCA为弦切角） （六）三角形的内切圆与内心 1、内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点2、任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形3、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角考点一：
5、 直线与圆的位置关系判定例1、已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（）A相离 B相切 C相交 D无法确定【解析】C例2、如图，已知点A，B在半径为1的O上，AOB=60，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（）A当BC等于0.5时，l与O相离B当BC等于2时，l与O相切C当BC等于1时，l与O相交D当BC不为1时，l与O不相切【解析】D例3、如图，在平面直角坐标系中，O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正方向夹角为45，若AB与O有公共点，则x值的范围是（）A1x1 BC D0【解析】B考点二： 切线的性质例1、如图，
6、AB是O的直径，直线PA与O相切于点A，PO交O于点C，连接BC若P=40，则ABC的度数为（）A20 B25 C40 D50【解析】B例2、如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若A=30，则sinE的值为（）A B C D【解析】A例3、在O中，AB为直径，C为O上一点（）如图1过点C作O的切线，与AB的延长线相交于点P，若CAB=27，求P的大小；（）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若CAB=10，求P的大小【解析】（）连接OC，O与PC相切于点C，OCPC，即OCP=90，CAB=27，COB=2
7、CAB=54，在RtAOE中，P+COP=90，P=90COP=36；（）E为AC的中点，ODAC，即AEO=90，在RtAOE中，由EAO=10，得AOE=90EAO=80，ACD=AOD=40，ACD是ACP的一个外角，P=ACDA=4010=30考点三：切线的判定定理 例1、下列直线是圆的切线的是（）A与圆有公共点的直线 B到圆心的距离等于半径的直线C到圆心的距离大于半径的直线 D到圆心的距离小于半径的直线【解析】D例2、如图，在ABC中，BAC=28，以AB为直径的O交AC于点D，DECB，连接BD，若添加一个条件，使BC是O的切线，则下列四个条件中不符合的是（）ADEAB BEDB=
8、28CADE=ABD DOB=BC【解析】D例3、如图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，连接PB、AB，PBA=C（1）求证：PB是O的切线；（2）连接OP，若OPBC，且OP=8，O的半径为2，求BC的长【解析】（1）证明：连接OB， AC是O的直径，ABC=90，C+BAC=90，OA=OB，BAC=OBA，PBA=C，PBA+OBA=90，即PBOB，PB是O的切线；（2）解：O的半径为2，OB=2，AC=4，OPBC，C=BOP，又ABC=PBO=90，ABCPBO，即，BC=2考点四：三角形的内切圆与内心例1、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今
9、有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（）A3步 B5步 C6步 D8步【解析】C例2、如图，点O是ABC的内心，A=62，则BOC=（）A59 B31 C124 D121【解析】D例3、如图，ABC在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，且OA=OB，边AC所在直线解析式为y=x，若ABC的内心在y轴上，则tanACB的值为（）A B C D【解析】在y=x中，令y=0，则x=0，解得x=1，OA=OB，B的坐标是（0，1），AB=，OAB是等腰直角三角形
10、ABC的内心在y轴上，ABC=2ABO=90，即ABC是直角三角形，设BC的解析式是y=x+c，则把（0，1）代入得c=1，则BC的解析式是y=x+1，根据题意得：，解得：，即C的坐标是（3，2）则BC=3，则tanACB=故选BP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、在RTABC中，C=90，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则C与直线AB的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D不能确定【解析】A2、如图，已知O圆心是数轴原点，半径为1，AOB=45，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设OP=x，则x的取
11、值范围是（）A1x1 BxC0x Dx【解析】C3、如图，O=30，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（）A相离 B相交 C相切 D以上三种情况均有可能【解析】C4、如图，线段AB是O的直径，点C、D为O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若E=50，则CDB等于（）A20 B25C30 D40【解析】A5、如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tanOAB=，则AB的长是（）A4 B2 C8 D4【解析】C6、如图，已知一次函数y=x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，O的半径为1，P是线段AB
12、上的一个点，过点P作O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A2 BC D【解析】连结OM、OP，作OHAB于H，如图，当x=0时，y=x+2=2，则A（0，2），当y=0时，x+2=0，解得x=2，则B（2，0），所以OAB为等腰直角三角形，则AB=OA=4，OH=AB=2，因为PM为切线，所以OMPM，所以PM=，当OP的长最小时，PM的长最小，而OP=OH=2时，OP的长最小，所以PM的最小值为=故选D7、边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（）cmA B2 C3 D6【解析】B8、如图，O中，点A为中点，BD为直径，过A作APBC交DB的延长线于点P（1）求
13、证：PA是O的切线；（2）若，AB=6，求sinABD的值【解析】（1）证明：连结AO，交BC于点E点A是的中点，AOBC，又APBC，APAO，AP是O的切线；（2）解：AOBC，又AB=6，OA=OBABD=BAO， 课后反击1、在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45，cos30）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D以上三者都有可能【解析】A2、如图两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为1，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A8AB10 B8AB10C4AB5 D4AB5【解析】A3、如图，已知AB是O的切线，点A为切点
14、，连接OB交O于点C，B=38，点D是O上一点，连接CD，AD则D等于（）A76 B38 C30 D26【解析】D4、如图，ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为（）A2.3 B2.4C2.5 D2.6【解析】B5、如图，已知点A在圆G上，弦BC过点G，GALK，下列结论错误的是（）A在点A与圆G相切的圆有两个 B2BCA=BGACCAB=90 DLK是圆G的切线【解析】A6、如图点I是ABC的内心，BIC=130，则BAC=（）A65 B50C80 D100【解析】C7、已知：如图，在RtABC中，C=90，BD平分ABC，交AC于点D，经过B、D两
15、点的O交AB 于点E，交BC于点F，EB为O的直径（1）求证：AC是O的切线；（2）当BC=2，cosABC=时，求O的半径【解析】（1）证明：如图，连结ODOD=OB1=2BD平分ABC，1=32=3 ODBCADO=C=90ODACOD是O的半径，AC是O的切线 （2）解：在RtACB中，C=90，BC=2，cosABC=， 设O的半径为r，则AO=6rODBC，AODABC解得 O的半径为直击中考1、【2014白银】已知O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与O的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D无法判断【解析】A2、【2015滨州】若等腰直角三角形的外接
16、圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A B22 C2 D2【解析】等腰直角三角形外接圆半径为2， 此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，它的内切圆半径为：R=（2+24）=22故选B3、【2014无锡】如图，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，A=30，给出下面3个结论：AD=CD；BD=BC；AB=2BC，其中正确结论的个数是（）A3 B2 C1 D0【解析】均成立，故答案选：A4、【2009深圳】如图，AB是O的直径，AB=10，DC切O于点C，ADDC，垂足为D，AD交O于点E（1）求证：AC平分BAD； （2）若sinBEC=，求DC的长【
17、解析】（1）证明：连接OC，由DC是切线得OCDC；又ADDC，ADOC，DAC=ACO又由OA=OC得BAC=ACO，DAC=BAC即AC平分BAD（2）解：AB为直径，ACB=90又BAC=BEC，BC=ABsinBAC=ABsinBEC=6AC=又DAC=BAC=BEC，且ADDC， CD=ACsinDAC=ACsinBEC=5、【2008深圳】如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且AB=AD=AO（1）求证：BD是O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BEF的面积为8，cosBFA=，求ACF的面积【解析】（1）证明：连接BO，AB=ADD=AB
18、DAB=AOABO=AOB又在OBD中，D+DOB+ABO+ABD=180OBD=90，即BDBO，BD是O的切线；（2）C=E，CAF=EBF，ACFBEFAC是O的直径ABC=90，在RtBFA中，cosBFA=，又SBEF=8SACF=18S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 通过判断圆心到直线的距离与半径的大小，确定直线与圆的位置关系2、 切线的三条性质及切线的判定定理3、 解决与切线相关的问题时常作的辅助线与解题思路4、 三角形内切圆的性质与内心名师点拨本节内容较多，重点掌握切线的性质与判定定理，并能熟练进行证明或求解，这部分是中考必考点之一。另外，对教案“知识概念”中标出的解题辅助线与解题思路应深刻理解并多加以应用。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是13
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