1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课主题第15讲-反比例函数与反比例函数图像授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是反比例函数关系；能根据已知条件确定反比例函数的表达式及作出函数图像；掌握函数图像的性质与系数k的几何意义。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）反比例与反比例函数 1、反比例 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个非零常数，那么这两个变量成反比例，用数学符号语言记为xy=k，或 (k0）。 成反比例
2、的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义 一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成。也可以写成xyk, 它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k. （2）反比例函数解析式的特征 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. 比例系数 自变量的取值为一切非零实数。 函数的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。 （二）反比例函数的图像与性质 1、图像的画
3、法：描点法 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）2、图像特征：（1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形。（3）系数的几何意义：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。典例分析 考点一：反比关系与反比例函数定义例1、下列函数关系中是反比例函数的是（ ） A.等边三角形面积S与边长的关系 B.直角三角形两锐角A与B的关系 C.长方形面积一
4、定时，长与宽的关系 D.等腰三角形顶角A与底角B的关系【解析】 C例2、下列函数是不是反比例函数，为什么？（1） （2） （3）xy21 （4） （5）（6） （7）yx4 （8）【解析】（2）（3）（5）（8）是反比例函数。例3、当m取什么值时，函数是反比例函数？【解析】m的取值必须满足两个条件，即m20且3m21；解得m2考点二：反比例函数的表达式例1、如果函数y=m是一个经过二、四象限的反比例函数，则求m的值和反比例函数的解析式【解析】m25=1，m0，解得m=2，解析式为y=例2、已知函数y=2y1y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x=1时，y=4，当x=2时，y=3，求
5、y与x的函数关系式【解析】设y1=k1（x+1），y2=y=2y1y2，y=2k1（x+1） y=（x+1）， 即y=x+考点三：反比例函数的图像与性质例1、反比例函数（m为常数）当x0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（） Am0 B C Dm【解析】根据题意得：12m0，解得：m故选：C例2、如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1y2时，x的取值范围是（） Ax2或x2 Bx2或0x2 C2x0或0x2 D2x0或x2【解析】反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，A、B两点关于原点对称，点A的横坐标为2，点B的横
6、坐标为2，故选D例3、关于x的函数y=k（x+1）和y=（k0）在同一坐标系中的图象大致是（） A B C D【解析】D考点四：系数“k”的几何意义（初步）例1、如图，直线y=x2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A，连接OA若SAOB：SBOC=1：2，则k的值为（） A2 B3 C4 D6【解析】直线y=x2与y轴交于点C，与x轴交于点B，C（0，2），B（2，0），SBOC=OBOC=22=2，SAOB：SBOC=1：2，SAOB=SBOC=1，2yA=1，yA=1，把y=1代入y=x2，得1=x2，解得x=3，A（3，1）反比例函数y=的图象过点A，
7、k=31=3故选B例2、如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作ACx轴，交OB于D点，垂足为C若ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（） A B C3 D4【解析】过点B作BEx轴于点E，D为OB的中点，CD是OBE的中位线，即CD=BE设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=，ADO的面积为1，ADOC=1，（）x=1，解得k=，故选：BP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列表达式中，表示是的反比例函数的是（ ） . 是常数， A.B. C.D.【解析】 D.2、如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（）
8、A两条直角边成正比例 B两条直角边成反比例 C一条直角边与斜边成正比例 D一条直角边与斜边成反比例【解析】B3、若是反比例函数，则、的取值是 （ ） A. B. C . D. 【解析】D.4、函数是反比例函数，则m的值是（） Am=1 Bm=1 Cm= Dm=1【解析】m10，m22=1故选：D5、已知函数y=的图象如图，以下结论：m0； 在每个分支上y随x的增大而增大；若点A（1，a）、点B（2，b）在图象上，则ab；若点P（x，y）在图象上，则点P1（x，y）也在图象上其中正确的个数是（） A4个 B3个 C2个 D1个【解析】正确，错误，故选：B6、如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的
9、分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（） An=2m Bn= Cn=4m Dn=【解析】由反比例函数的性质可知，A点和B点关于原点对称，点C的坐标为（m，n），点A的坐标为（，n），点B的坐标为（，n），根据图象可知，B点和C点的横坐标相同，=m，即n=故选：B7、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x0）上的一个动点，PBy轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（） A逐渐增大 B
10、不变 C逐渐减小 D先增大后减小【解析】设点P的坐标为（x，），PBy轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，四边形OAPB是个直角梯形，四边形OAPB的面积=（PB+AO）BO=（x+AO）=+=+，AO是定值，点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小故选：C8、如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1y2时，x的取值范围是（） Ax2或x2 Bx2或0x2 C2x0或0x2 D2x0或x2【解析】D9、某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的函数关系式为 . 【解析】y 10、已知函
11、数 y=（5m3）x2n+（n+m），（1）当m，n为何值时是一次函数？（2）当m，n为何值时，为正比例函数？（3）当m，n为何值时，为反比例函数？【解析】（1）当函数是一次函数时，2n=1，且5m30，解得：n=1且m； （2）当函数y=（5m3）x2n+（m+n）是正比例函数时，解得：n=1，m=1（3）当函数y=（5m3）x2n+（m+n）是反比例函数时，解得：n=3，m=311、如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k0）的图象交于A（1，a），B两点（1）求反比例函数的表达式（及点B的坐标）；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及
12、PAB的面积【解析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=x+4，得a=1+4，解得a=3，A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y=，得k=3，反比例函数的表达式y=，两个函数解析式联立列方程组得，解得x1=1，x2=3，点B坐标（3，1）；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，D（3，1），设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，解得m=2，n=5，直线AD的解析式为y=2x+5，令y=0，得x=，点P坐标（，0），SPAB=SABDSPBD=222=2= 课后反击1、若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间
13、的关系是（） A. 成正比例 B. 成反比例 C. 不成正比例也不成反比例 D. 无法确定【解析】B2、有以下判断：圆面积公式S=r2中，面积S与半径r成正比例；运动的时间与速度成反比例；当电压不变时，电流强度和电阻成反比例；圆柱体的体积公式V=r2h中，当体积V不变时，圆柱的高h与底面半径r的平方成反比例，其中错误的有（） A1个 B2个 C3个 D4个【解析】B 正确，错误3、下列函数，y=2x，y=x，y=x-1，y=是反比例函数的个数有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个【解析】 B4、函数是反比例函数，则m的值为（） A0 B1 C0或1 D0或1【解析】 m2+m1=1且m+1=0
14、，故选： A5、已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（） A3 B3 C3 D【解析】B6、在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x10x2，y1y2，则m的取值范围是（） Am Bm Cm Dm【解析】B7、若ab0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（） A B C D【解析】B8、若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y=图象上的点，并且y10y2y3，则下列各式中正确的是（） Ax1x2x3 Bx1x3x2 Cx2x1x3 Dx2x3x1【解析】D9、一批零件300个
15、，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为_【解析】y10、已知关于x的一次函数y=kx+1和反比例函数y=的图象都经过点（2，m），则一次函数的解析式是_【解析】y=x+111、已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若OAB的面积为6，求m的值【解析】（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m70，则m7；（2）点B与点A关于x轴对称，若OAB的面积为6，OAC的面积
16、为3设A（x，），则x=3，解得m=1312、如图，点A（1，a）在反比例函数（x0）的图象上，AB垂直于x轴，垂足为点B，将ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到RtDEF，点D落在反比例函数（x0）的图象上（1）求点A的坐标；（2）求k值【解析】（1）把点A（1，a）代入反比例函数（x0）得a=3，则A点坐标为（1，3），（2）因为将ABO沿x轴向右平移2个单位长度，得到RtDEF，所以D点坐标为（3，3），把D（3，3）代入y=得k=33=9直击中考 1、【2013安顺】）若是反比例函数，则a的取值为（） A1 B1 Cl D任意实数【解析】A2、【2014天津】已知反比例函数y=，当1
17、x2时，y的取值范围是（） A0y5 B1y2 C 5y10 Dy10有【解析】C3、【2009日照】已知点M (2，3 )在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A(3，-2 ) B(-2，-3 ) C(2，3 ) D(3，2) 【解析】A4、【2009漳州】）矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）【解析】B5、【2014抚州】如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y=（x0）和y=（x0）的图象交于点P、点Q（1）求点P的坐标；（2）若POQ的面积为8，求k的值【解析】（1）PQx轴，点P的纵坐标为2，把y=
18、2代入y=得x=3，P点坐标为（3，2）；（2）SPOQ=SOMQ+SOMP，|k|+|6|=8，|k|=10，而k0，k=106、【2015邵阳】如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A，B两点（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求AOB的面积；（3）当k=1时，OAB的面积记为S1，当k=2时，OAB的面积记为S2，依此类推，当k=n时，OAB的面积记为Sn，若S1+S2+Sn=，求n的值【解析】（1）当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+1和y=，解得，A（1，2），B（2，1），（2）当k=2时，直线y=x+k和双曲线y=化为：y=x+
19、2和y=，解得，A（1，3），B（3，1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，直线AB的解析式为：y=x+2直线AB与y轴的交点（0，2），SAOB=21+23=4；（3）当k=1时，S1=1（1+2）=，当k=2时，S2=2（1+3）=4，当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，S1+S2+Sn=，（+n2）+（1+2+3+n）=，整理得：，解得：n=6S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、反比例函数的定义 2、反比例函数的表达式特征与待定系数法 3、反比例函数的图像与性质 4、系数k的几何意义名师点拨 熟练掌握反比例函数的定义与表达式特征及函数图像的性质是解题的关键；在利用k的几何意义解题时需要仔细观察图形特征；反比例函数知识点与其他知识点综合时需要善于发现问题的本质，寻找解题思路。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 14
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