1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第12讲-相似三角形的判定授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握相似三角形的三种判定方法； 熟练应用三种判定方法进行解题； 提高学生几何综合证明的能力。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、知识框架 二、知识概念（一）相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形 1、相似三角形是相似多边形中的一种； 2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； 3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； 4、相似用“”表示，读作“相似于
2、”； 5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。（二）相似三角的判定方法 1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 （三）相似三角形基本类型 1、平行线型：常见的有如下两种，DEBC，则ADEABC 2、相交线型：常见的有如下四种情形 （1）如图，已知1=B，则由公共角A得，ADEABC （2）如下左图，已知1=B，则由公共角A得，ADCACB
3、 （3）如下右图，已知B=D，则由对顶角1=2得，ADEABC 3、旋转型：已知BAD=CAE，B=D，则ADEABC， 右图为常见的基本图形 4、母子型：已知ACB=90，ABCD，则CBDABCACD 5、斜交型： 如图：其中1=2，则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 典例分析 考点1：三角形相似判定方法的运用例1、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分线，求证：ABCBCD【解析】证明相似三角形应先找相等的角，显然C是公共角，而
4、另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。例2、如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，则图中相似三角形共有（） A1对 B2对 C3对 D4对【解析】ABCACD，ACDCBD，ABCCBD，所以有三对相似三角形例3、如图，下列条件不能判定ADBABC的是（） AABD=ACB BADB=ABC CAB2=ADAC D=【解析】 D 根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可例4、已知：在梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC（1）点F是DC上一点，连接EF
5、，交AC于点O（如图1），求证：AOECOF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形【解析】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得AOECOF； （2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由ABE=90，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形考点2：网格图中相似三角形的判定例1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（） A B C D【解析】B. 此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用例2、在研究相似问题时，甲、乙同学的
6、观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似对于两人的观点，下列说法正确的是（） A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对【解析】A例3、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC和DEF的顶点都在方格纸的格点上（1）判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与ABC相似（要
7、求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）【解析】（1）首先根据小正方形的边长，求出ABC和DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例.（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；DP2P5，P5P4F，DP2P4，P5P4D，P4P5P2，FDP1考点3：动态探究问题 例1、如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与ABC相似，则点E的坐标不可能是（） A（6，0） B（6，3） C（6，5） D（4，2）【解析】B例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B
8、以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0t6），那么当t为何值时，APQ与ABD相似？说明理由【解析】由题意可设AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值， 当 =时，APQABD，=，解得：t=3； 当=时，APQADB，=，解得：t=1.2当t=3或1.2时，APQ与ABD相似P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列命题中，是真命题的为（） A锐角三角形都相似 B直角三角形都相似 C等腰三角形都相似 D等边三角形都相似【解析】D2、如图，
9、给出下列条件，其中不能单独判定ABCACD的条件为（） AB=ACD BADC=ACB C=D=【解析】C此题属于基础题，要求学生应熟练掌握 3、如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F过点E作EGBC，交AB于G，则图中相似三角形有（） A4对 B5对 C6对 D7对【解析】图中相似三角形有ABCCDA，AGEABC，AFECBE，BGEBAF，AGECDA共5对4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（） A B C D【解析】C5、如图，已知AB=AC，A=36，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M下列结论：
10、BD是ABC的平分线；BCD是等腰三角形；ABCBCD；AMDBCD正确的有（）个 A4 B3 C2 D1【解析】B正确；错误 首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得ABD是等腰三角形，即可求得ABD的度数，又由AB=AC，即可求得ABC与C的度数，则可求得所有角的度数，可得BCD也是等腰三角形，则可证得ABCBCD 此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质等知识此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用6、若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边
11、形A1B1C1D1的最小边长是_.【解析】12.7、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则AGD 。【解析】EGC，EAB8、如图，点C是线段AB上一点，ACD和BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F（1）求证：ACEDCB； （2）求证：ADFBAD【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等9、如图，AB=3AC，BD=3AE，又BDAC，点B，A，E在同一条直线上（1
12、）求证：ABDCAE；（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长【解析】BC=2a （1）由BDAC，得EAC=B；由此可根据SAS判定两个三角形相似（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定D=E=90；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在RtBEC中，根据勾股定理求出BC的长. 课后反击1、下列命题中，真命题是（）同旁内角互补，两直线平行三角形任意两边之和不小于第三边；两条对角线平分的四边形是平行四边形；两边及其中一角对应相等的两个三角形全等；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 A B C D【解析】A2、已
13、知ABCDEF，AB=6cm，BC=4cm，AC=9cm，且DEF的最短边边长为8cm，则最长边的边长为（）A16cm B18cm C4.5cm D13cm【解析】B 3、如右图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP与ECP相似的是（） A. APBEPC B. APE90 C. P是BC的中点 D. BPBC23【解析】C 4、已知：如图在ABC中，AE=ED=DC，FEMDBC，FD的延长线交BC的延长线于N，则为（）A B C D【解析】C5、如图，在ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长
14、线于点H，则图中的相似三角形共有（）A2对B3对C4对D5对【解析】AGBFGH，HEDHBC，HEDBEA，AEBHBC，共4对故选C6、下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（） A B C D【解析】B7、如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N下列结论错误的是（） A四边形EDCN是菱形 B四边形MNCD是等腰梯形 CAEM与CBN相似 DAEN与EDM全等【解析】D 首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BECD，ADBC，ACDE，AC=AD=BE，根据有一组邻边相等
15、的平行四边形是菱形即可证得A正确，根据等腰梯形的判定方法即可证得B正确，利用SSS即可判定D正确，利用排除法即可求得答案8、如图，已知ADC=BAC，BC=16cm，AC=12cm，求DC的长【解析】根据已知可得出ADCBAC，再利用相似三角形的性即可得出答案ADC=BAC，C=C，ADCBAC，BC=16cm，AC=12cm，DC=9cm9、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长【解析】（1）利用正方形的性质，可得A=D，根据已知可得，根据有两边对应成比
16、例且夹角相等三角形相似，可得ABEDEF；（2）ABCD为正方形，EDBG， ，又DF=DC，正方形的边长为4，ED=2，CG=6，BG=BC+CG=10直击中考 1、【2015海南】如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（） A0对 B1对 C2对 D3对【解析】四边形ABCD是平行四边形，ABDC，ADBC，EAPEDC，EAPCBP，EDCCBP，故有3对.2、【2014贵阳】如图，在方格纸中，ABC和EPD的顶点均在格点上，要使ABCEPD，则点P所在的格点为（） AP1 BP2 CP3 DP4【解析】C3、【2011深圳】如图，每个小正
17、方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC相似的是（） AB C D【解析】B4、【2014宿迁】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（） A1个 B2个 C3个 D4个【解析】C. 由于PAD=PBC=90，故要使PAD与PBC相似，分两种情况讨论：APDBPC，APDBCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数设AP的长为x，则BP长为8x若AB边上存在P点，使PAD与PBC相似，那么分两种情况：若APDBPC，
18、则AP：BP=AD：BC，即x：（8x）=3：4，解得x=；若APDBCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8x），解得x=2或x=6满足条件的点P的个数是3个，5、【2014昆明】如图，在ABC中，ACAB，点D在AC边上，（点D不与A、C重合），若再增加一个条件就能使ABDACB，则这个条件可以是_【解析】ABD=C或ADB=ABC或6、【2015云南】已知：如图，在ABC中，ACB的平分线CD交AB于D，过B作BECD交AC的延长线于点E（1）求证：BC=CE；（2）求证：【解析】证明：（1）CD平分ACB，ACD=BCD又BECD，CBE=BCD，CEB=ACDACD=BCD，CBE=CEB故BCE是等腰三角形，BC=CE（2）BECD，根据平行线分线段成比例定理可得=，又BC=CE，=S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、相似三角形的概念及三种判定方法； 2、常见三角形相似的类型有： 平行线型、相交线型、旋转型、母子型、斜交型、垂直型名师点拨 1、熟练掌握相似三角形三种判定方法的特征及条件是学好本部分内容的关键所在； 2、本部分内容综合性较强，灵活度较高，是中考必考重点内容，具有不畏难、战胜困难的心态是前提。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 13
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