1、 中小学课外辅导领军品牌_第二讲 因动点产生的四边形例1：（两点固定求满足要求的四边形问题）如图，在直角梯形中，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；（2）求的面积；（3）求过，三点的抛物线的解析式；MCBOAMCBOA（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该抛物线上的点，且以，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标【解答】解：（1）如图，作CGAO与x轴交于点G，则CB=AG，OA=2CB，OA=2AG，AO=4，OG=2，由于AB为4，CBOA，则C点纵坐标为4，C（2，4）（2）AO=2CB，2SCBO=SAOB，S梯形ABCO=（C
2、B+AO）AB=（2+4）4=12，SCBO=12=4，CBAO，CMBAMO，=，=，则=，SCOM=SCOB=4=；（3）O（0，0），A（4，0），C（2，4），设解析式为y=a（x0）（x4），将（2，4）代入解析式得，4=a（20）（24），解得a=1则解析式为y=（x0）（x4）=x2+4x由图可知F点横坐标为2+4=6，将x=6代入y=（x0）（x4）=x2+4x得，y=36+46=12，故F（6，12）由图可知F1点横坐标为24=2，将x=2代入y=（x0）（x4）=x2+4x得，y=36+46=12，故F1（2，12）当F与C重合时，F2（2，4）故F点的坐标为：（6，12）
3、，F1（2，12），F2（2，4）【点评】此题考查了二次函数的性质和梯形及平行四边形的性质，将坐标与图形相结合，使得这道题充分体现了数形结合的重要性，同时要注意分类讨论例2：如图抛物线经过A（1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B(1) 求此地物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且MPQ=45，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H问四边形EFHG能否为平行四边形? 若
4、能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由【解答】四边形EFHG是平行四边形，EF=GH，m2-2m+1=n2-2n+1，（m+n-2）（m-n）=0；由题意知mn，m+n=2（m1）；因此四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0m2且m1） 例3：如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交轴于点和点，点是直线上的一个动点（1）求点的坐标（2）当为等腰三角形时，求点的坐标AyxDCOB（3）在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直线写出的值；如果不存在，请说明理由【解答】例4：如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于
5、点A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一元二次方程x218x+72=0的两根（OAOC），BE=5，tanABO=（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）x2-18x+72=0x1=6，x2=12OAOC，OA=12，OC=6A（12，0），C（-6，0）；（2） tanABO=，=，OB=16在RtAOB中，由勾
6、股定理，得AB=20BE=5，AE=15如图1，作EMx轴于点M，EMOBAEMABO，EM=12，AM=9，OM=12-9=3，E（3，12），12=，k=36例5： 如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DBDC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQy轴与抛物线交于点Q. (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线
7、的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：能否成为菱形；能否成为等腰梯形？，若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.【解答】解：（1）在RtBDC中，ODBC，由射影定理，得：OD2=OBOC；则OB=OD2OC=1；B（-1，0）；B（-1，0），C（4，0），E（0，4）；设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）（a0），则有：a（0+1）（0-4）=4，a=-1；y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4；（2）因为A（-2，0），D（0，2）；所以直线AD：y=x+2；联立抛物线的解析式可求得F（1- ，3- ），G（1+ ，3+ ）；设P点坐标为（x，x+2）（
8、1- x1+ ），则Q（x，-x2+3x+4）；PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2；易知M（ ， ），若以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似，则PQM为等腰直角三角形；以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|xM-xP|，即：-x2+2x+2=2（ -x），解得x=2- ，x=2+ （不合题意舍去）P（2- ，4- ）；以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|xM-xQ|，即：-x2+2x+2= -x，解得x= ，x= （不合题意舍去）P（ ， ）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2- ，4- ）或（ ， ）；（3）易知N（ ， ），M（ ， ）；设P点坐标为（m，m+2），则Q（
9、m，-m2+3m+4）；（1- m1+ ）PQ=-m2+2m+2，NM= ；若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：MN=PQ，即：-m2+2m+2= ，解得m= ，m= （舍去）；当m= 时，P（ ， ），Q（ ， ）此时PM= MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；由于当NQPM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQMN；依题意，则有： （yN+yM）= （yP+yQ），即 + =-m2+3m+4+m+2，解得m= ，m= （舍去）；当m= 时，P（ ， ），Q（ ， ），此时NQ与MP不平行，四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点
10、坐标为（ ， ）1已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA0，n0），连接DP交BC于点E。 当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。 又连接CD、CP，CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）解：（1）OC2=OAOB，OAOB=4，又OA+OB=5，且OAOB，解得，OA=1，OB=4，A（-1，0），B（4，0），C（0，2），设过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），把C点坐标代入得，；（2）当BDE为等腰三角形时，点E的坐
11、标分别为，存在，过点D作直线DM垂直于x轴交CP于点M，可求得直线CP的解析式为：y=；（i）当点P在直线DM右侧时，如图（1）所示，此时2m4，把x=2代人直线CP的解析式，得又P（m，n）在抛物线上，所以SCDP= SPDM+SCDMDM2=DM=m+n-2，即当时，CDP的面积最大，最大面积为；（ii）当点P在直线DM左侧时，如图（2）所示，此时0m2，SCDP= SCDM- SDPM，当m=2时，SCDP=3，综上所述，当时CDP的面积最大，其最大面积为，此时。2.如图，在平面直角坐标系中，已知RAOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OAOB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个根线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 15
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