1、高效提分 源于优学 第06讲 勾股定理的应用 温故知新一、上节课重点回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有 。2、勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 课堂导入一、 问题导入知识要点一 勾股定理的应用1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理可以解决
2、直角三角形的边长问题。（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知三角形的一边及另外两边的关系求未知边。2、勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形，通过数量关系来研究图形中的位置关系。3、建立勾股定理及逆定理的模型解决实际问题： 用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是建立直角三角形号的模型，即将实际问题转化为数学问题，这里特别要注意弄清楚实际语言与数学语言间的关系。 典例分析例1、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12
3、m处，旗杆折断之前的高度是（）A5m B12mC13m D18m【解析】 D例2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，则A，B两点间的距离是（）A200m B20mC40m D50m【解析】 C例3、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了0.5米【解析】在直角ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，AC=2米，在直角CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，CE=1.5米，AE=2米1.5米
4、=0.5米答案为：0.5例4、一个零件的形状如图所示，已知ACAB，BCBD，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，求CD的长【解析】在RtABC中，BC2=AB2+AC2=42+32=25，在 RtBCD中，CD2=BC2+BD2=25+122=169，CD=13（cm）答：CD的长为13cm举一反三1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cm【解析】D2、放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度
5、都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A600米B800米C1000米D1300米【解析】D3、有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢的顶端飞到另一棵树的树梢的顶端，至少飞了米（用含根号的式子表示）4、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要612元钱5、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力如图，有一台风中心沿东西方向AB由A驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、
6、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？【解析】（1）海港C受台风影响，理由：过点C作CDAB，AC=300km，BC=400km，AB=500km，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，ACBC=CDAB，300400=500CD，CD=240（km），以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，海港C受台风影响；学霸说规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股
7、定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误.4. 应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解赤裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。知识要点二 立体图形的最短路径在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短。在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段长，而是应该将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线。常见立体图形平面化例如：求AC、两点的最短距离，可将长方
8、体表面展开，利用勾股定理即可求例如：求AB两点的最短距离，可将圆柱体表面展开，利用勾股定理即可求。典例分析例1、如图，一圆柱高8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A6cm B8cmC10cm D12cm【解析】 C例2、如图，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（取3）（）A20cm B30cmC40cm D50cm【解析】B例3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它
9、所走的最短路线长度为125cm【解析】展开图为：则AC=100cm，BC=153+103=75cm，在RtABC中，AB=125cm所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm故答案为：125cm举一反三1、如图，圆柱的底面半径是40，高为30，一只蚂蚁在圆柱的侧面爬行，请问蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是（）A50 B50C500 D500【解析】A2、如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A20 B25 C30 D32【解析】B3、如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm若一只蚂蚁从P点开
10、始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少cm？ 课堂闯关初出茅庐1、如图，是台阶的示意图已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A195cm B200cmC205cm D210cm【解析】A2、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A12cm B11cmC10cm D9cm【解析】C3、如图所示的一块地，已知ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为96m24、你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的
11、再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需1.5m长5、如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm6、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由【解析】（1）在RtABC中，AC=60m，AB=100m，且AB为斜
12、边，根据勾股定理得：BC=80（m）；（2）这辆小汽车没有超速理由：805=16（m/s），平均速度为：16m/s，16m/s=57.6km/h，57.670，这辆小汽车没有超速优学学霸1、已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是多少？【解析】解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，则：=23，其中r=3，n=180，如图所示：由题意可知，ABAC，且点P为AC的中点，在RtABP中，AB=6，AP=3，BP=3cm，故蚂蚁沿线段Bp爬行，路程最短，最短的路程是3cm2、如图，一只杯子的上下底面分别是
13、直径为5cm和7.5cm的圆，母线AB的长为15cm（1）求杯子的侧面积（2）从点B出发，绕着杯子两圈画一条装饰线，终点为A，求装饰线的最短长度【解析】解：（1）纸杯的侧面展开如图所示：延长AB，AB交于点O，设O的度数是n，则7.5=，5=，解得：OA=45cm，n=30，BO=4515=30cm，（2）如图所示，将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，连接BD，则BD的长度是装饰线的最短长度过B作BEOD于E，则RtBOE中，OB=30，BOE=60，OE=15cm，BE=15cm，DE=4515=30（cm），在RtBDE中，BD=15（cm）故装饰线的最短长度为15cm3、有一个如图所示的长
14、方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处面包屑（1）该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；（2）求蚂蚁爬行的最短路线长【解析】解：（1）如图所示作点A关于BC的对称点A，连接AG交BC与点Q，蚂蚁沿着AQG的路线爬行时，路程最短（2）在直角AEG中，AE=80cm，EG=60cm，AQ+QG=AQ+QG=AG=100cm最短路线长为100cm 考场直播1、【2015秋深圳校级中考】一只小虫从A点出
15、发，沿着图中折线到F点取食，请你计算一下，它一共走了多少路程（写出过程）【解析】解：由勾股定理得：AB=5，BC=5，DE=5，EF=5，AB+BC+CD+DE+EF=54+5=25，答：它一共走了25个单位长度的路程2、【2015秋深圳校级月考】如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD=2.3米，CD=2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由【解析】解：车宽1.6米，卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高在RtOEF中，由勾股定理可得：EF=0.6（m），
16、EH=EF+FH=0.6+2.3=2.92.5，卡车能通过此门 自我挑战1、如图，从电线杆离地面3米高处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有（）米A2 B3 C4 D5【解析】C2、如图，学校有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）步，却踩伤了花草（假设2步为1米）A2 B4 C5 D6【解析】B3、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在高竹子底端3尺处，则折射处高地面的高度为（）（这是我国古代数学著作九章算术中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）A3尺 B4尺C4.55尺 D5尺【解析】C4、如图
17、，在底面半径为2，（取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（）A10 B8C5 D4【解析】A5、已知蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A8 B10C12 D16【解析】B6、木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面合格（填”合格”或”不合格”）7、有一块土地的形状如图所示，B=D=90，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为234m28、如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，
18、过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是多少？【解析】在RtABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：BC=40（m），故小汽车的速度为v=20m/s故答案为：209、如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需多少元？【解析】如图所示：在RtABC中，由勾股定理可知：BC=4米地毯的总长=BC+AC=4+3=7米地毯的面积=71.5=10.5平方米地毯的总价=4010.5=420元故答案为：420元10、在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CACB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明【解析】如图，过C作CDAB于D，BC=400米，AC=300米，ACB=90，根据勾股定理得AB=500米，ABCD=BCAC，CD=240米240米250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁 11 思考乐优学产品中心初中组
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