1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：中 考课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第03讲-数据分析与概率初步授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 了解总体、个体样本和样本容量等与统计有关的概念，体会抽样的必要性，了解简单随机抽样； 会求一组数据的平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差，能理解它们在实际问题中反映的意义，而且会运用样本估计总体的思想方法解决实际应用问题； 能从实际问题中了解概率的意义，能用列举法计算随机事件发生的概率。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理(一)、普查与抽样调查1有关概念：(1)普查：为一
2、特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查(2)抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查2调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，往往采用抽样调查3抽样调查样本的选取：(1)抽样调查的样本要有_代表性_；(2)抽样调查的样本数目要_足够大 (二)、总体、个体、样本及样本容量总体：所要考察对象的_全体_叫做总体个体：总体中的_每一个_考察对象叫做个体样本：从总体中抽取的部分_个体_叫做样本样本容量：样本中个体的_数目_叫做样本容量(三)、几种常见的统计图表1条形统计图：条形统计图就是用_长方形_的高来表示数据的图形它的特点是：(1)能够显示每组中的具体_数据_
3、；(2)易于比较数据之间的_差别_2折线统计图：用几条线段连成的_折线_来表示数据的图形来源:学,科,网Z,X,X,K它的特点是：易于显示数据的_变化趋势_3扇形统计图(1)用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占_百分比_的大小，这样的统计图叫做扇形统计图(2)百分比的意义：在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对扇形的_圆心角_的度数与360的比(3)扇形的圆心角360百分比(4)扇形统计图的制作步骤数据的采集，即各部分数据的收集；数据的整理，即计算出各部分的总和，再计算各部分所占的百分比；作图，即根据百分比计算出各部分对应圆心角的
4、大小(将百分比乘360)，再用量角器画出各个扇形；标上各部分的名称和它所占的百分比(四)、频数分布直方图1每个对象出现的_次数_叫做频数2每个对象出现的_次数_与_总次数_的比(或者百分比)叫做频率，_频数_和_频率_都能够反映每个对象出现的频繁程度3频数分布表、频数分布直方图和频数折线图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况4频数分布直方图的绘制步骤：(1)计算最大值与最小值的差；(2)决定组距与组数；(3)确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点；(4)列频数分布表；(5)用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布
5、直方图(五)、平均数、众数与中位数1平均数：(1)平均数：对于n个数x1，x2，xn，我们把(x1x2xn)叫做这组数据的算术平均数，简称_平均数_，记为.(2)加权平均数：如果有n个数x1，x2，xn，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，xk出现fk次(其中f1f2fkn)，那么(x1f1x2f2xkfk)叫做x1，x2，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，fk分别叫做x1，x2，xk的权，f1f2f3fkn.2众数：在一组数据中，出现次数_最多_的数叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)3中位数：将一组数据按_大小_依次排列，把处在_最中间_的一个数据(或最中间两
6、个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(六)、数据的波动1极差：一组数据中_最大值_与_最小值_的差，叫做这组数据的极差2方差：在一组数据x1，x2，x3，xn中，各数据与它们的平均数的差的_平方_的平均数叫做这组数据的方差，即s2(x1)2(x2)2(xn)23极差、方差和标准差都可以衡量一组数据的波动大小；方差(或标准差)越大，说明这组数据波动越大(七)、事件的有关概念1必然事件：在现实生活中_一定会_发生的事件称为必然事件2不可能事件：在现实生活中_一定不会_发生的事件称为不可能事件3随机事件：在现实生活中，有可能_发生_，也有可能_不发生_的事件称为随机事件4分类：事件(八)、用列举法求
7、概率1定义：在随机事件中，一件事发生的可能性_大小_叫做这个事件的概率2适用条件：(1)可能出现的结果为_有限_多个；(2)各种结果发生的可能性_相等_3求法：(1)利用_列表_或_画树状图_的方法列举出所有机会均等的结果；(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举(九)、利用频率估计概率1适用条件：当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等2方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个_常数_时，该_常数_就可认为
8、是这个事件发生的概率(十)、概率的应用概率是和实际结合非常紧密的数学知识，可以对生活中的某些现象作出评判，如解释摸奖，配紫色，评判游戏活动的公平性，数学竞赛获奖的可能性等等，还可以对某些事件作出决策考点一：调查方式的选择例1、 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是()A调查我市中学生每天体育锻炼的时间 B调查某班学生对“五个重庆”的知晓率C调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量D调查广州亚运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况【解析】A例2、下列调查，适合用普查方式的是()A了解贵阳市居民的年人均消费B了解某一天离开贵阳市的人口流量C了解贵州电视台百姓关注栏目的收视率D了解贵阳市某班学生
9、对“创建全国卫生城市”的知晓率【解析】D考点二：统计图的应用例1、为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，配合我市“两型课堂”的课题研究，莲城中学对八年级部分学生就一学期来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如下图试根据图中提供的信息，回答下列问题：图1图2(1)求本次被调查的八年级学生的人数，并补全条形统计图；(2)若该校八年级学生共有180人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式(含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生)【解析】(1)被调查的八年级学生的人数为654，非常喜欢有5418630(人)，补全条形统计图如下：(2)180160(人)答：该校八年级支持“分
10、组合作学习”方式的学生大约有160人考点三：频数分布直方图例1、 上海世博园开放后，前往参观的人非常多.5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表表中“1020”表示等候检票的时间大于或等于10 min而小于20 min，其他类同时间分段/min频数/人频率102080.200203014a3040100.2504050b0.125506030.075合计c1.000(1)这里采用的调查方式是_；(2)求表中a，b，c的值，并请补全频数分布直方图；(3)在调查人数里，等候时间少于40 min的有_人；(4)此次调查中，中位数所在的时间段是_
11、min.【解析】(1)抽样调查(2)a0.350，b5，c40，频数分布直方图如图(3)32(4)2030例2、某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在2530之间的频率为()A0.1 B0.17 C0.33 D0.4【解析】 D考点四：平均数、众数、中位数例1、 (1)某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分，9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得分是_分(2)某文具商店共有单价分别为10元、15元和20元的3种文具盒出售，该商店统计了2012年3月份这三种文具盒的销售情况，并绘制统计图如
12、下：文具店2012年3月份3种文具盒销售情况扇形统计图 3种文具盒销售情况条形统计图请把条形统计图补充完整；小亮认为该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格为(101520)15元，你认为小亮的计算方法正确吗？如果不正确，请计算总的平均销售价格【解析】(1)9(2)不正确，平均销售价格为：(10150153602090)(15036090)8 70060014.5(元)例2、我市某一周的最高气温统计如下表：最高气温/25262728天数1123则这组数据的中位数与众数分别是()A27,28 B27.5,28 C28,27 D26.5,27【解析】 A 考点五：极差与方差例1、(1)在体育达标测
13、试中，某校初三5班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93,138,98,152,138,183，则这组数据的极差是()A138 B183 C90 D93(2)为了比较甲、乙两种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9,15.8，则下列说法正确的是()A甲秧苗出苗更整齐 B乙秧苗出苗更整齐C甲、乙出苗一样整齐 D无法确定【解析】(1)C(2)A例2、一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6分)为合格，成绩达到9分为优秀这次测验中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图(1)请补充完成下面的成绩统计分
14、析表：来源:学科网ZXXK平均分方差中位数合格率优秀率甲组6.92.491.7%16.7%乙组1.383.3%8.3%(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出三条支持乙组学生观点的理由【解析】(1)甲组：中位数7；乙组：平均分7，中位数7；(2)(答案不唯一)乙组学生的平均分高于甲组学生的平均分；乙组学生的方差低于甲组学生的方差；乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多考点六：事件的分类例1、 下列事件属于必然事件的是()A在1个标准大气压下，水加热到100 沸腾 B明天我市最高气温为56 C中秋节晚
15、上能看到月亮 D下雨后有彩虹【解析】A例2、下列事件中，为必然事件的是()A购买一张彩票，中奖 B打开电视，正在播放广告C抛掷一枚硬币，正面向上 D一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球【解析】D考点七、用列举法求概率例1、第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中的机会均等(1)请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；(2)求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；(3)求张家
16、界会展区被选中的概率【解析】(1)用列表法： 或画树状图：(2)由(1)知，共有12种等可能的结果，第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区(记为事件A)有一种可能结果，则P(A).(3)所有等可能结果中，出现张家界会展区的有6种可能结果，记张家界会展区被选中为事件B，则P(B).考点八：频率与概率例1、小明在学习了统计与概率的知识后，做了投掷骰子的试验，小明共做了100次试验，试验的结果如下：朝上的点数123456出现的次数171315232012(1)试求“4点朝上”和“5点朝上”的频率；(2)由于“4点朝上”的频率最大，能不能说一次试验中“4点朝上”的概率最大？为什么？【解析】(1)
17、“4点朝上”出现的频率是0.23. “5点朝上”出现的频率是0.20.(2)不能这样说，因为“4点朝上”的频率最大并不能说明“4点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近考点九：概率的应用例1、 小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1,2,3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张(1)请用画树状图或列表的方法(只选其中一种)，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果(2)若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜；两次抽出的纸牌数字之和为偶数，
18、则小明获胜这个游戏公平吗？为什么？【解析】(1)列表如下： 或画树状图如下：1231(1,1)(1,2)(1,3)2(2,1)(2,2)(2,3)3(3,1)(3,2)(3,3)(2)可能出现的数字之和分别为2,3,4,3,4,5,4,5,6共9个，它们出现的可能性相同其中奇数共4个，偶数共5个P(小昆获胜)，P(小明获胜). ，游戏不公平P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1为了解某校2 000名师生对我市“三创”工作(创国家园林城市、国家卫生城市、全国文明城市)的知晓情况，从中随机抽取了100名师生进行问卷调查，这项调查中的样本是()A2 000名师生对“三创
19、”工作的知晓情况 B从中抽取的100名师生C从中抽取的100名师生对“三创”工作的知晓情况 D100【解析】 C2北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山最高气温/32323032303229323032则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是()A32,32 B32,30 C30,32 D32,31【解析】A316位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()A平均数 B极差 C中位数 D方差【解析】 C4某中学举行数学竞赛
20、，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛，那么九年级同学获得前两名的概率是()A B C D【解析】D5已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是()A连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C大量反复抛一枚均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次D通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的【解析】 A6在x22xyy2的空格中，分别填上“”或“”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是()A1 B C D【解析】C7一个样本为1,3,2,2，a，b，C已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为_
21、【解析】 这个样本的众数为3，a，b，c中至少有两个为3，设ab3，2，c0.s2(12)2(32)2(22)2(22)2(32)2(32)2(02)2.8如图所示，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有“3”所在区域的概率为P(3)，指针指向标有“4”所在区域的概率为P(4)，则P(3)_P(4)(填“”、“”或“”) 【解析】 9某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、
22、丙三人，投票结果统计如图(1)所示：来(1) (2)其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项成绩如下表所示：测试项目测试成绩/分甲乙丙笔试929095面试859580图(2)是某同学根据上表绘制的一个不完整的条形图请你根据以上信息解答下列问题：(1)补全图；(2)请计算每名候选人的得票数；(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照253的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？【解析】(1)(2)甲的票数：20034%68(票)，乙的票数：20030%60(票)，丙的票数：20028%56(票)(3)甲的平均成绩：185.1，乙的平均成绩：28
23、5.5，丙的平均成绩：382.7.乙的平均成绩最高，应该录取乙10某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明去听讲座(1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由【解析】(1)P(小明胜)，P(妹妹胜)，P(小明胜)P(妹妹胜)这个办法不公平来
24、源:Zxxk.Com(2)当x3时对小明有利，当x3时对妹妹有利，当x3时是公平的 课后反击1某农户一年的总收入为50 000元，如图是这个农户收入的扇形统计图，则该农户的经济作物收入为() A20 000元 B12 500元C15 500元 D17 500元【解析】 D 50 00035%17 500(元)2某居民小区开展节约用电活动，对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电情况如下表：节电量/千瓦时20304050户数10403020则4月份这100户节电量的平均数、中位数、众数分别是()A35,35,30 B25,30,20 C36,35,30 D36,30,
25、30【解析】 C3在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为()A2 B4 C12 D16【解析】 B4从2，1,2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是_【解析】 5为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为s3.6，s15.8，则_种小麦的长势比较整齐【解析】 甲6某市把中学生学习情绪的自我调控能力分为四个等级，即A级：自我调控能力很强；B级：自我调控能力较好；C级：自我调控能力一般；D级：自我调控能力较差通过对该市农村中学的初级中学生学习情
26、绪的自我调控能力的随机抽样调查，得到下面两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题(1)在这次随机抽样调查中，共抽查了多少名学生？(2)求自我调控能力为C级的学生人数；(3)求扇形统计图中D级所占的圆心角的度数；(4)请估计该市农村中学60 000名初中学生中，学习情绪自我调控能力达B级以上等级的人数是多少？【解析】(1)8016%500(名)；(2)50042%210(名)；(3)36064.8；(4)60 000(16%24%)24 000(名)7学校为了调查学生对教学的满意度，随机抽取了部分学生作问卷调查：用“A”表示“很满意”，“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”
27、表示“不满意”，如图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：(1)本次问卷调查，共调查了多少名学生？(2)将图甲中“B”部分的图形补充完整；(3)如果该校有学生1 000人，请你估计该校学生对教学感到“不满意”的约有多少人？【解析】(1)4020%200(名)，共调查了200名学生(2)补充图形如下：(3)1 000(150%20%25%)50(人)估计该校学生对教学感到“不满意”的约有50人8. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，(1)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；(2)
28、若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率【解析】(1)列表法如下：甲乙丙丁甲乙甲丙甲丁甲乙甲乙丙乙丁乙丙甲丙乙丙丁丙丁甲丁乙丁丙丁所有可能出现的情况有12种，其中甲、乙两位同学组合的情况有两种，所以P.(2)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，选中乙的情况有一种，所以P(恰好选中乙同学).直击中考1【2016深圳】数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（ ）A B C D【解析】第3个小组被抽到的概率是，故选：A2【2015深圳】在以下数据75，80，80，85
29、，90中，众数、中位数分别是（ ）A75，80 B80，80 C80，85 D80，90【解析】数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次，这组数据的众数是80；把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得75，80，80，85，90，所以这组数据的中位数是80故选：B3【2016深圳】已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数是 【解析】x1，x2，x3，x4的平均数为5x1+x2+x3+x4=45=20，x1+3，x2+3，x3+3，x4+3的平均数为：（x1+3+x2+3+x3+3+x4+3）4=（
30、20+12）4=8，故答案为：84【2016深圳】深圳市政府计划投资1.4万亿元实施东进战略为了解深圳市民对东进战略的关注情况某校数学兴趣小组随机采访部分深圳市民，对采访情况制作了统计图表的一部分如下：关注情况频数频率A高度关注M0.1B一般关注1000.5C不关注30ND不知道500.25（1）根据上述统计图可得此次采访的人数为 人，m= ，n= ；（2）根据以上信息补全条形统计图；（3）根据上述采访结果，请估计在15000名深圳市民中，高度关注东进战略的深圳市民约有 人 【解析】（1）此次采访的人数为1000.5=200（人），m=0.1200=20，n=30200=0.15；（2）如图所
31、示；（3）高度关注东进战略的深圳市民约有0.115000=1500（人） S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾(一)、普查与抽样调查1有关概念：(1)普查：为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查(2)抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查2调查的选取：当受客观条件限制，无法对所有个体进行普查时，往往采用抽样调查3抽样调查样本的选取：(1)抽样调查的样本要有_代表性_；(2)抽样调查的样本数目要_足够大 (二)、平均数、众数与中位数1平均数：(1)平均数：对于n个数x1，x2，xn，我们把(x1x2xn)叫做这组数据的算术平均数，简称_平均数_，记
32、为.(2)加权平均数：如果有n个数x1，x2，xn，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，xk出现fk次(其中f1f2fkn)，那么(x1f1x2f2xkfk)叫做x1，x2，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，fk分别叫做x1，x2，xk的权，f1f2f3fkn.2众数：在一组数据中，出现次数_最多_的数叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)3中位数：将一组数据按_大小_依次排列，把处在_最中间_的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(三)、数据的波动1极差：一组数据中_最大值_与_最小值_的差，叫做这组数据的极差2方差：在一组数据x1，x2，x3
33、，xn中，各数据与它们的平均数的差的_平方_的平均数叫做这组数据的方差，即s2(x1)2(x2)2(xn)23极差、方差和标准差都可以衡量一组数据的波动大小；方差(或标准差)越大，说明这组数据波动越大（四)、用列举法求概率1定义：在随机事件中，一件事发生的可能性_大小_叫做这个事件的概率2适用条件：(1)可能出现的结果为_有限_多个；(2)各种结果发生的可能性_相等_3求法：(1)利用_列表_或_画树状图_的方法列举出所有机会均等的结果；(2)弄清我们关注的是哪个或哪些结果；(3)求出关注的结果数与所有等可能出现的结果数的比值，即关注事件的概率列表法一般应用于两个元素，且结果的可能性较多的题目
34、，当事件涉及三个或三个以上元素时，用树形图列举(五)、利用频率估计概率1适用条件：当试验的结果不是有限个或各种结果发生的可能性不相等2方法：进行大量重复试验，当事件发生的频率越来越靠近一个_常数_时，该_常数_就可认为是这个事件发生的概率名师点拨1、在大量重复试验中，随着统计数据的增大，频率稳定在某个常数左右，将该常数作为概率的估计值，两者的区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性，二者并不完全相同2.用列举法求概率，无论是简单事件还是复杂事件，都先列举所有可能出现的结果，再代入P(A)计算3在用列举法解题时，一定要注意各种情况出现的可能性务必相同，不要出现重复、遗漏等现象4判断游戏的公平性，在相同的条件下，应考虑随机事件发生的可能性是否相同，可能性大的获胜机会就大学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是18
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