1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第10讲-直角三角形与锐角三角函数 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练掌握直角三角形的性质与判定； 熟练掌握特殊角的三角函数值； 熟练应用锐角三角函数计算高度。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一）直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（二）直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直
2、角三角形2有两角_的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三角形是直角三角形（三）锐角三角函数定义在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，CA的正弦：sin A_；A的余弦：cos A_；A的正切：tan A_.它们统称为A的锐角三角函数锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形（四）特殊角的三角函数值（五）解直角三角形1定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共
3、有5个元素，即3条边和2个锐角)2直角三角形的边角关系：在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，C(1)三边之间的关系：_；(2)锐角之间的关系：_；(3)边角之间的关系：sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B.3解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，A)，其解法为：B90A，c，b(或b)；(2)已知斜边和一个锐角(如c，A)，其解法为：B90A，acsin A，bccos A(或b)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c，由tan A，得A，B90A；(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b，由sin
4、A，求出A，B90A（六）解直角三角形的应用（测高）1仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角2坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点_与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_考点一： 直角三角形的性质例1、ABC中，A，B，C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（）AA+B=C BA：B：C=1：2：3Ca2=c2b2 Da：b：c=3：4：6【解析】D例2、如图，在RtABC中，ACB=90，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰
5、好为AB的中点，则B的度数是（）A60 B45 C30 D75【解析】C例3、如图，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（）A20 B12 C14 D13【解析】C例4、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A16 B17 C18 D19【解析】设正方形S1的边长为x，AB=BC，DE=DC，ABC=D=90，sinCAB=sin45=，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，AC=BC=2CD，又AD=AC+CD=6，CD=2，EC2=22+22，即EC
6、=2；S1的面积为EC2=22=8；MAO=MOA=45，AM=MO，MO=MN，AM=MN，M为AN的中点，S2的边长为3，S2的面积为33=9，S1+S2=8+9=17故选B考点二：锐角三角函数 例1、如图，在RtABC中，BAC=90，ADBC于点D，则下列结论不正确的是（）A BC D【解析】C例2、一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A米2 B米2C（4+）米2 D（4+4tan）米2【解析】在RtABC中，BC=ACtan=4tan（米），AC+BC=4+4tan（米）
7、，地毯的面积至少需要1（4+4tan）=4+4tan（米2）；故选：D例3、已知a是锐角，且sin（a+15）=，计算4cos（3.14）0+tan+的值【解析】sin60=，+15=60，=45，原式=241+1+3=3考点三： 利用锐角三角函数测高例1、如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45，则建筑物MN的高度等于（）A8（）m B8（）mC16（）m D16（）m【解析】A例2、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘
8、正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45，测得B处发生险情渔船的俯角为30，此时渔政船和渔船的距离AB是（）A3000m B3000（）mC3000（）m D1500m【解析】C例3、如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A20海里 B40海里 C20海里 D40海里【解析】C例4、某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45，沿山坡向上走到B处测得宣传牌
9、底部C的仰角为30已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度【解析】过B作BFAE，交EA的延长线于F，作BGDE于G在RtABF中，i=tanBAF=，BAF=30，BF=AB=5，AF=5BG=AF+AE=5+15在RtBGC中，CBG=30，CG：BG=，CG=5+5在RtADE中，DAE=45，AE=15，DE=AE=15，CD=CG+GEDE=5+5+515=（55）m答：宣传牌CD高约（55）米P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC的形状为（）A直角三角形 B锐
10、角三角形C钝角三角形 D以上答案都不对【解析】A2、如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A10m B15m C5m D20m【解析】B3、如图，已知AOB=60，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A3 B4 C5 D6【解析】C4、如图，ABC中，AB=AC=5，BC=6，AE平分BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则BDE的面积是（）A3 B6 C10 D12【解析】ABC中，AB=AC，AE平分BAC交BC于点E，AEBC，且BE=CE，AE=4，SAB
11、C=BCAE=64=12，点D为AB的中点，DE是ABC的中位线，DEAC，且DE=AC，=，SBDE=SABC=12=3，故选A5、ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PDAB于点D，PEAC于点E，则PD+PE的长是（）A4.8 B4.8或3.8 C3. 8 D5【解析】过A点作AFBC于F，连结AP，ABC中，AB=AC=5，BC=8，BF=4，ABF中，AF=3，83=5PD+5PE，12=5（PD+PE）PD+PE=4.8故选：A6、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南
12、偏东30方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A60海里 B45海里 C20海里 D30海里【解析】D7、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（xy），下列四个说法：x2+y2=49，xy=2，2xy+4=49，x+y=9其中说法正确的是（）A B C D【解析】正确，错误故选B8、如图，ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DEAB于E，FDBC于D，G是FC的中点，连接GD求证：GDDE【解析】AB=AC，B=C，DEAB，FDBC，BED=FDC=90，1+B=
13、90，3+C=90，1=3，G是直角三角形FDC的斜边中点，GD=GF，2=3，1=2，FDC=2+4=90，1+4=90，2+FDE=90，GDDE9、如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角DCE=30，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45，其中点A、C、E在同一直线上（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）【解析】（1）在RtDCE中，DC=4米，DCE=30，DEC=90，DE=DC=2米；（2）过D作DFAB，交AB于点F，BFD=90，BDF=45，BFD=45，即BFD为等腰直角三角形，设BF=
14、DF=x米，四边形DEAF为矩形，AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在RtABC中，ABC=30，BC=米，BD=BF=x米，DC=4米，DCE=30，ACB=60，DCB=90，在RtBCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+4，则AB=（6+4）米 课后反击1、如图，在ABC中，ACB=90，CD是AB边上的高线，图中与A互余的角有（）A0个 B1个 C2个 D3个【解析】C2、如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A8米 B10米 C12米 D14米【解析】B3、如图，在ABC中，C=90，B
15、=30，AD平分CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）ACAD=30 BAD=BD CBD=2CD DCD=ED【解析】D4、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A2.5 B C D2【解析】连接AC、CF， H是AF的中点，CH=AF=2=选：B5、如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，若AC=6，C=45，tanABC=3，则BD等于（）A2 B3 C3 D2【解析】A6、如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向
16、外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S2016的值为（）A（）2013 B（）2014 C（）2013 D（）2014【解析】正方形ABCD的边长为2，CDE为等腰直角三角形，DE2+CE2=CD2，DE=CE，S2+S2=S1观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，Sn=当n=2016时，S2016=故选C7、如图，ABC中AB=AC=4，C=72，D是AB中点，点E在AC上，DEAB，则cosA的值为（）A B C D【解析】ABC中，AB=AC=4，C=72，ABC=C=72，A=36，D是AB中点，DEAB，AE=BE，ABE=A=
17、36，EBC=ABCABE=36，BEC=180EBCC=72，BEC=C=72，BE=BC，AE=BE=BC设AE=x，则BE=BC=x，EC=4x在BCE与ABC中，BCEABC，=，即=，解得x=22（负值舍去），AE=2+2在ADE中，ADE=90，cosA=故选C8、已知，如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点（1）求证：ACEBCD；（2）求证：2CD2=AD2+DB2【解析】证明：（1）ABC和ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD，在ACE和BCD中，AECB
18、DC（SAS）；（2）ACB是等腰直角三角形，B=BAC=45度ACEBCD，B=CAE=45；DAE=CAE+BAC=45+45=90，AD2+AE2=DE2由（1）知AE=DB，AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB29、如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45，求建筑物AB的高（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解析】过点E作EFBC于点F，过点E作ENAB于点N，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，设EF=x，则FC=x，CE
19、=20米，x2+（x）2=400，解得：x=10，则FC=10m，BC=25m，BF=NE=（25+10）m，AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10=（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m直击中考1、【2014泰州】如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A1，2，3 B1，1， C1，1， D1，2，【解析】D2、【2010苏州】如图，在菱形ABCD中，DEAB，BE=2，则tanDBE的值（）A B2 C D【解析】设菱形ABCD边长为tBE=2，AE=t2cosA=，=t=5A
20、E=52=3DE=4tanDBE=2故选B3、【2015日照】如图，在直角BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tanCAD的值（）A B C D【解析】：如图，延长AD，过点C作CEAD，垂足为E，tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，CDE=BDA，CED=BAD，CDEBDA，CE=x，DE=，AE=，tanCAD=故选D4、【2016攀枝花】如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在A上，BD是A的一条弦，则sinOBD=（）A B C D【解析】连接CD，OBD=OCD，sinOBD=sinOCD=故选：D5、【2014威海】如图，在下
21、列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB的正弦值是（）A B C D【解析】D6、【2011黄石】计算： 【解析】27、【2013威海】操作发现：将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决：将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图（1）求证：CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长【解析】（1）证明：由图知BC=DE，BDC=BCD，DEF=30，BDC=BCD=75，ACB=45，DCO+BCO=75DCO=30；DCO+CDO
22、+DOC=180，DOC=30+45=75，DOC=BDC，CDO是等腰三角形；（2）解：作AGBC，垂足为点G，DHBF，垂足为点H，在RtDHF中，F=60，DF=8，DH=4，HF=4，在RtBDF中，F=60，DF=8，DB=8，BF=16，BC=BD=8，AGBC，ABC=45，BG=AG=4，AG=DH，AGBC，DHBF，AGDH，又ADBF，AGC=90，四边形AGHD为矩形，AD=GH=BFBGHF=1644=1248、【2016昆明】如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30，测得大楼顶端A的仰角为45（点B，
23、C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：1.414，1.732）【解析】过点D作DFAB于点F，过点C作CHDF于点H则DE=BF=CH=10m，在直角ADF中，AF=80m10m=70m，ADF=45，DF=AF=70m在直角CDE中，DE=10m，DCE=30，CE=10（m），BC=BECE=70107017.3252.7（m）答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m9、【2016乐山】如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船
24、，正在沿南偏东75方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间【解析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时； 由题意得：ABC=45+75=120，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作ADCB的延长线于点D，在RtABD中，AB=12，ABD=60，BD=ABcos60=AB=6，AD=ABsin60=6，CD=10x+6在RtACD中，由勾股定理得： ，解得：（不合题意舍去）答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 直角三角形的性质与判定2、 锐角三角函数及其应用名师点拨该部分是中考考查的热点之一，主要考查直角三角形的判定和性质的应用、运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力；运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是重中之重。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14
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