1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：中 考课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第01讲-实数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 了解实数的分类； 掌握实数的性质及应用； 掌握二次根式的概念、性质及运算。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、实数的概念及分类有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。（1）按定义分类： （2）按正负分类： 2、实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同。（1）相反数： 与 表示任意一对
2、相反数；（2）绝对值： ；（3）倒数：如果表示一个非零数，那么与 互为倒数。有关性质：（1） 与 互为相反数 ；（2） 与互为倒数；（3） ；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ；（5）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。3、实数的运算及化简：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数任然适用。4、实数与数轴的关系：每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数填满。5、利用实数轴比较实数的大小在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。正
3、实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数相比较，绝对值大的反而小。6、二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方数。7、积的算术平方根：积的算术平方根的性质： ，即积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。8、商的算术平方根：商的算术平方根的性质： 9、最简二次根式的概念一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。10、二次根式的乘法与除法二次根式的乘法法则： ：二次根式的除法法则： 11、分母有理化（1）有理化因式：两个含有根式
4、的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如： 与，和。（2）分母有理化的依据是：分式的基本性质；（3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。12、二次根式的加减法二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。（二次根式的加减与整式的加减相类似。）13、二次根式的混合运算二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最好算加减，有括号的先算括号里面的。多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。考点一：实数的概念及性质例1、把下列各数填入它所在的数集
5、内：，0.1010010001，0，（2.28），|4|，32正数集合：（2.28） 负分数集合：非正整数集合：0，|4|，32； 无理数集合：，0.1010010001【解析】故答案为：（2.28）；0，|4|，32；，0.1010010001例2、1的相反数是1，绝对值是1的算术平方根是2，的立方根的相反数是2【解析】1的相反数是 1，绝对值是 1的算术平方根是 2，的立方根的相反数是2，故答案为：1，1，2，2考点二：实数与数轴例1、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）Aa2 Ba3 Cab Dab【解析】故选：D例2、如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点
6、分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（）AP BQ Cm Dn【解析】n+q=0，n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，绝对值最大的点P表示的数p，故选A例3、已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是12a【解析】由图知：1a0，则1a0，a0，=1a+（a）=12a考点三：实数的运算例1、计算下列各式（1）+（2）0（）2+|1|； （2）|3|+（）0【解析】（1）2 （2）例2、计算下列各题（1）+4； （2）|2|（）0+（3）（+）（）； （4）（2）2【解析】（1）2； （2）31； （3）4； （4）234例3、计算：（1）|
7、2|（3）0+（1）2015（2）【解析】（1）9； （2）204考点四：二次根式的概念例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（）A x1 Bx1 Cx1 Dx1【解析】由题意得，x10，解得x1，故选：D例2、若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2【解析】二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2，故答案为：2例3、把下列各式化成最简二次根式：（1）； （2）【解析】（1）原式=； （2）原式=考点五：二次根式的化简求值及混合运算例1、观察下列二次根式的化简S1=1+，S2=+=（1）+（1）S3=+=（1）+（1）+（1）则=【解析】=1+， =1+， =1+，=1+，S1=1+
8、，S2=+=（1）+（1），S3=+=（1+）+（1）+（1），S2016=（1+）+（1）+（1）+（1+）+（1+），=2016+1=2016+，则=1+=例2、若x表示不超过x的最大整数（如=3，=4等），根据定义计算下面算式：+=2011【解析】=，而11+2所以=1，设第n+1个式子是：=1+，则=1+=1，故可求得每个式子均为1，所以所求式子的和为2011例3、先化简，再求值：，其中a=+1【解析】=，当时，原式=例4、（1）已知x=+2，求代数式（94）x2+（2）x+的值（2）先化简，再求值：（a2b+ab），其中a=+2，b=2【解析】（1）原式=（94）（+2）2+（2）（
9、2+）+=（2）原式=ab（a+1）=ab（a+1）（a+1）=ab，a=+2，b=2，上式=（+2）（2）=54=1例5、（1）计算（）2+（）0+|（2）已知a=，求的值【解析】（1）（）2+（）0+|=+1+2=3；（2）=（a1），a=2，a1=21=10，原式=（a1）=a1，把a=2代入上式得，a1=1=3P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1. 下列各组数中，互为相反数的是（）A2与 B|与C与 D与【解析】故选C2已知x2=3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（）AP1 BP4 CP2或P3 DP1或P4【解析】根据实数在数轴上表示的法方可得x2
10、=3，x=，根据实数在数轴上表示的法方可得P1或P4故选D3如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A BB C D【解析】故选：A4若二次根式有意义，则a的取值范围是（）Aa2 Ba2 Ca2 Da2【解析】二次根式有意义，a20，即a2，则a的范围是a2，故选A5要使式子有意义，则a的取值范围是（）Aa0 Ba2且 a0 Ca2或 a0 Da2且 a0【解析】由题意得，a+20，a0，解得，a2且 a0，故选：D6把下列各数填入相应的大括号内0.302，0，160（1）无理数集合：，（2）正有理数集合：0.302，（2）负实数集合：，160
11、【解析】（1）无理数集合：，；（2）正有理数集合：0.302，；（2）负实数集合：，1607计算：（1）+； （2）+；（3）（2+3）（23）【解析】（1）原式=； （2）原式=+； （3）原式=218计算下列各题（1）+3； （2）+4（3）； （4）（21）2【解析】（1）原式=32； （2）原式=2； （3）原式=1； （4）原式=1349已知x=，y=+，则xy的值为2【解析】xy=（+）=2故答案为210若m2=100，|=1，则m+=13或7【解析】m2=100，|=1，m=10，n=3，n2=9，m+=10+3，即m+=13或m+=7，故答案为：13或711若最简二次根式与是同
12、类二次根式，则a的值为4【解析】最简二次根式与是同类二次根式，2a3=5，解得：a=412化简求值：（），其中x=【解析】原式=将x=代入，得原式=13若a、b都是实数，且b=，试求的值【解析】b=，a=，把a=代入b=，得b=，把a=，b=，代入=14阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）=（二）=1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：=1（四）（1）请用不同的方法化简（2）参照（三）式得=；参照（四）式得=（3）化简：+【解析】（1）=，=；（2）原式=+=+= 课后反击1实数a，
13、b互为相反数，则下列结论正确的是（）Aa+b=0 Bab=1 Cab=l Da0，b0【解析】由a，b互为相反数，得a+b=0，故选：A2已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）Aab0 Ba+b0 C|a|b| Dab0【解析】故选：D3如图，实数3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（）A点M B点N C点P D点Q【解析】故选：D4要使代数式有意义，则x的取值范围是（）Ax2 Bx2 Cx2 Dx2【解析】故选B5指出下列数中的有理数和无理数：，3，3.1415926，0.121121112有理数有：，3.141592
14、6，；无理数有：，3，0.121121112【解析】有理数有：，3.1415926，；无理数有：，3，0.1211211126如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为2【解析】设点C表示的数是x，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，点A是BC的中点，=1，解得x=2故选D7计算：（1）+； （2）（3）（2）3（）2【解析】（1）原式=53+=2； （2）原式=2=1； （3）原式=8443=368计算（1）+3； （2）1（3）（5+2）2； （4）5+（5）（2+3）（23）【解析】（1）原式=1+3；（2）原式=2；（3）原式=37+20；（
15、4）原式=；（5）原式=69若xy=1，xy=，则代数式（x1）（y+1）的值为1【解析】原式=（xy+xy1）=（+11）=110已知x+=，那么x=3【解析】x+=，（x+）2=13，x2+2=13，x2+=11，x2+2=（x）2=9，x=3 11已知a2+b24a2b+5=0，求的值【解析】a2+b24a2b+5=0；（a2）2+（b1）2=0a=2，b=1，=7+12化简求值：，其中x=4，y=【解析】原式=+2+=+3，当x=4，y=时，原式=+3=1+1=213已知x=（+），y=（），求x22xy+y2和+的值【解析】x=（+），y=（），x+y=，xy=，xy=（53）=，x
16、22xy+y2=（xy）2=（）2=3；+=814先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b=m，ab=n，使得，那么便有：（ab）例如：化简解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，43=12即，=（1）填空：=，=（2）化简：【解析】（1）=；=；（2）原式=2直击中考1【2016宁夏】化简求值：（），其中a=2+【解析】原式=+=+=，当a=2+时，原式=+12【2016永州】计算：（3）0|3+2|【解析】（3）0|3+2|=211=03【2016澄城】已知，且x为偶数，求的值【解析】由题意得，解得：6x9，x为偶数，x=8原式=（1
17、+x）=（x+1）=当x=8时，原式=S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、实数的概念及分类有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。（1）按定义分类： （2）按正负分类： 2、实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全相同。（1）相反数： 与 表示任意一对相反数；（2）绝对值： ；（3）倒数：如果表示一个非零数，那么与 互为倒数。有关性质：（1） 与 互为相反数 ；（2） 与互为倒数；（3） ；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，即 ；（5）正数的倒数是正数，负数的倒数是
18、负数，零没有倒数。3、二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方数。4、积、商的算术平方根： ， 5、分母有理化（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如： 与，和。（2）分母有理化的依据是：分式的基本性质；（3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。名师点拨注意：（1）带根号的数不一定是无理数；（2）在数轴上找到确定的无理数一般是借助勾股定理；（3）被开方数是小数时，先化成分数，再化成最简二次根式；（4）二次根式的化简与求值，一般先将二次根式化为最简二次根式，再与多项式的乘法法则类比进行计算，在计算过程中可以逐步化简，再求得结果。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是17
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