1、高效提分 源于优学 第02讲 一元一次不等式及不等式组 温故知新回忆：一元一次方程的一般解法：（1）去分母：将方程两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数，约去分母；（2）去括号：运用去括号法则，把有括号的方程转化为不含括号的方程；（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，把不含有未知数的项移到另一边；（4）合并：把方程转化为的形式；（5）未知数系数化为1：方程两边同除以未知数系数。 例如 ：解方程： 解：去分母得： 化简得： 去括号得： 移项得： 合并得： 未知数系数化为1，得： 课堂导入知识要点一 不等式概念及性质1、不等式的定义：一般的，用符号“ ”（或“ ”）“”(或“ ”)连接的式子
2、叫做不等式。2、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。3、不等式的其他性质（1）对称性，也叫互逆性：若 ，则 。（2）传递性：若， ，则 。（3）若 ，则 同号，反之，若 同号，则 ； 若 ，则 异号，反之，若 异号，则。（4）若 ，则，反之，若，则； 若 ，则 ，反之，若，则。 典例分析例1、下列不等式变形正确的是（）A由ab，得a2b2 B由ab，得|a|b|C由ab，得2a2b D由a
3、b，得a2b2【解答】选：C例2、下列判断中，正确的序号为若ab0，则ab0；若ab0，则a0，b0；若ab，c0，则acbc；若ab，c0，则ac2bc2；若ab，c0，则acbc【解答】答案为：例3、利用不等式的性质把下列不等式化成“xa”或“xa”的形式：（1）2x17； （2）3x7x8；（3）6x112x+6； （4）2x+17x+6【解答】（1）解得：x4；（2）解得：x2；（3）解得：x；（4）解得：x1学霸说不等式的性质是对不等式进行变形的重要依据，是学好不等式的基础和关键。（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式），不等号方向不变。如果ab，那么 。（2）不等式两边乘（或
4、除）以同一个正数，不等号的方向不变。如果ab，c0，那么 或 。（3）不等式两边乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变。如果 ，那么 或 。性质（2）和（3）可简记为“负变正不变”。民者赤裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三1下面给出了6个式子：30；4x+3y0；x=3；x1；x+23；2x0其中不等式有（）A2个 B3个 C4个 D5个【解答】解：30；4x+3y0；x+23；2x0是不等式，故选：C2下列不等式变形正确的是（）A由ab，得a2b2 B由ab，得|a|b|C由ab，得2a2b D由ab，得a2b2【解答】解：A、等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A
5、错误；B、如a=2，b=3，ab，得|a|b|，故B错误；C、不等式的两边都乘以2，不等号的方向改变，故C正确；D、如a=2，b=3，ab，得a2b2，故D错误故选：C3用适当的不等式表示下列关系：（1）a是非负数a0；（2）x与2差不足15x215【解答】解：（1）a是非负数则：a0；故答案为：a0；（2）x与2差不足15：x215故答案为：x2154将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式：（1）x175； （2）3【解答】解：（1）移项合并得：x12； （2）两边乘以2得：x6知识要点二不等式解集及解法1、不等式的解集（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（2）一个含有未知数
6、的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。（3）不等式的解与不等式的解集的区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。2、不等式解集的两种表示方法：（1）用不等式表示；（2）用数轴表示。3、一元一次不等式的概念：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。4、一元一次不等式的解法：（1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，（5）系数化1。5、一元一次不等式与一次函数：（1）利用一次函数的图象解一元一次不等式 （或 ）。（2）利用一次函数的图象解一元一次不等式 （或）6、
7、一元一次不等式组的概念：一般的，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。7、一元一次不等式组的解集的概念：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。8、一元一次不等式组的解法步骤一：根据不等式的性质求出每一个不等式的解集步骤二：将每一个不等式的解集利用数轴进行合并得到不等式组的解由两个一元一次不等式组成的不等式组，可以归结为下述四种基本类型：(表中)不等式图示解集(大大取大)(小小取小)(大小小大中间找)无解(大大小小解不了)典例分析例1、解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：（1）+1x3； （2）【解答】（1）去分母
8、得：x5+22x6，解得：x3，在数轴上表示出来为：； （2），由得：x1，由得：x2，故不等式组的解集为2x1，在数轴上表示出来为：例2、不等式组的解集是x1，则m的取值范围是（）Am1 Bm1 Cm0 Dm0【解答】不等式整理得：，由不等式组的解集为x1，得到m+11，解得：m0，故选D例3、已知不等式4xa0的正整数解是1，2，则a的取值范围是（）A8a12 B8a12C8a12 D8a12【解答】不等式4xa0的解集是x，因为正整数解是1，2，而只有当不等式的解集为x2，x2.1，x2.2等时，但x3时，其整数解才为1，2，则23，即a的取值范围是8a12，故选B例4、已知不等式组有解
9、，则n的取值范围是n1【解答】不等式组有解，则n的取值范围是 n1，故答案为：n1例5、关于x的两个不等式1与13x0（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式的解都是的解，求a的取值范围【解答】（1）由得：x，由得：x，由两不等式的解集相同，得=，解得：a=1；（2）由不等式的解都是的解，得到，解得：a1例6、直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+30的解集是（）Ax3 Bx3 Cx3 Dx0【解答】选A例7、如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+bkx+6的解集是x3【解答】当x3时，x+bkx+4，即不等式x+bkx+4的解
10、集为x3故答案为：x3例8、如图，函数y=2x+3与y=x+m的图象交于P（n，2）（1）求出m、n的值；（2）直接写出不等式x+m2x+3的解集；（3）求出ABP的面积【解答】（1）y=2x+3过P（n，2）2=2n+3，解得：n=，P（，2），y=x+m的图象过P（，2）2=+m，解得：m=；（2）不等式x+m2x+3的解集为x；（3）当y=2x+3中，x=0时，y=3，A（0，3），y=x中，x=0时，y=，B（0，），AB=3；ABP的面积：AB=举一反三1不等式x40的正整数有（）A1个 B2个 C3个 D无数多个【解答】解：移项，得x4则正整数解是1，2，3共有3个故选C2不等式组
11、的解表示在数轴上，正确的是（）ABCD【解答】解：解不等式组得1x2，所以在数轴上表示为故选D3已知不等式组的解集如图所示（原点没标出），则a的值为（）A1 B0 C1 D2【解答】解：的解集为：2xa1，又，2x1，a1=1，a=2故选D4如图，一次函数y=ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，1）两点，则关于x的不等式ax+b0的解集是x2【解答】解：由一次函数y=ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，1）两点，根据图象可知：x的不等式ax+b0的解集是x2，故答案为：x25如图，直线y=kx+b与y=x交于A（3，1）与x轴交于B（6，0），则不等式组0的解集为3x6【解答】解：与直
12、线y=x交于点A，点B的解析式为（6，0），不等式组0kx+bx的解集为3x6故答案为：3x66若不等式（m2）xm2的解集是x1，则m的取值范围是m2【解答】解：原不等式系数化1得，x，又不等式的解集为x1，m20，即m27不等式组的解集是xm2，则m的取值应为m3【解答】解：因为不等式组的解集是xm2，根据“同小取小”的原则，可知m22m+1，解得，m38已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是6a5【解答】解：由不等式组可得：ax1因为有6个整数解，可以知道x可取5，4，3，2，1，0，因此6a5故答案为：6a59解下列不等式（1）5x62（x+3）（2）1【解答】解：（1
13、）去括号，得：5x62x+6，移项，得：5x2x6+6，合并同类项，得：3x12，系数化为1得：x4；（2）去分母，得：3（3x2）5（2x+1）15，去括号，得：9x610x+515，移项，得：9x10x515+6，合并同类项，得：x4，则x4知识要点三 不等式应用题1、一元一次不等式组的应用列不等式组解决实际问题的一般步骤（1）找：找出问题中的不等关系；（2）设：设出未知数；（3）列：根据前面的不等关系列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）答：检验后答出结果。 典例分析例1、某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第
14、二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：，解得：，A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31m）株，B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，31m2m，解得：m，m是正整数，m最小值=11，设购买树苗总费用为W=20m+5（31
15、m）=15m+155，k0，W随x的减小而减小，当m=11时，W最小值=1511+155=320（元）答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元例2、为了更好地治理木兰溪水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A B两种设备，A B单价分别为a万元/台 b万元/台 月处理污水分别为240吨/月 200吨/月，经调查 买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元（1）求a、b的值（2）经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若每月处理的污水不
16、低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案【解答】（1）由题意，得，解得：答：a=12，b=10；（2）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10x）台，由题意，得：012x+10（10x）105，解得：0x2.5，x为非负整数，x=0，1，2 有三种购买方案：方案1：购买A种设0台，购买B种设备10台，方案2：购买A种设1台，购买B种设备9台，方案1：购买A种设2台，购买B种设备8台，（3）由题意，得240x+200（10x）2040，解得：x1，设购买需要的总费用为W万元，由题意，得W=12x+10（10x），=2x+100k=20，W随x的增大而增大，当x=1时，W最
17、小=102，购买A种设1台，购买B种设备9台最省钱例3、某蔬菜培育中心决定向某灾区配送无辐射蔬菜和水果共3200箱，其中水果比蔬菜多800箱（1）求水果和蔬菜各有多少箱？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批水果和蔬菜全部运往该乡中小学已知每辆甲种货车最多可装水果400箱和蔬菜100箱，每辆乙种货车最多可装水果和蔬菜各200箱，则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费4000元，乙种货车每辆需付运费3600元运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设水果有x箱，则蔬菜有（x800）箱，则
18、x+（x800）=2300，解得x=2000，则x800=1200答：水果和蔬菜分别为2000箱和1200箱（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车（8a）辆根据题意，得，解得：2a4因为a为整数，所以a=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案设计方案分别为：甲车2辆，乙车6辆；甲车3辆，乙车5辆；甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：24000+63600=29600元；34 000+53600=30000元；44000+43600=30400元故方案的运费最少，最少运费是29600元所以，运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是29600元举一反三1某产品生
19、产车间有工人10名已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适【解答】解：设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品根据题意可得，12x100+10（10x）18015600，解得；x4，10x6，至少要派6名工人去生产乙种产品才合适2为了能以“更新、更绿、更洁、更宁”的城市形象迎接2011年大运会的召开，深圳市全面实施市容市貌环境提升行动某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时
20、有两张绿化方案：甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元；乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍（1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元？（2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？【解答】解：（1）设A型花和B型花每枝的成本分别是x元和y元，根据题意得：解得：所以A型花和B型花每枝的成本分别是5元和4元（2）设按甲方案绿化的道路总长度为a米，根据题意得：1500a2aa500则所需工程的总成本是52a+43a+5（1500a）+4
21、5（1500a）=10a+12a+75005a+3000020a=375003a当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少w=375003500=36000（元）当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元 课堂闯关初出茅庐1、如果ab，那么下列不等式不成立的是（）Aa5b5 B5a5b C D0.5a0.5b【解答】选：B2、不等式无解，则a的取值范围是（）Aa2 Ba2 Ca2 Da2【解答】选：C3、若关于x的不等式2xm0的正整数解只有4个，则m的取值范围是（）A8m10 B8m10 C8m10 D4m5【解答】关于x的不等式
22、2xm0的正整数解只有4个，不等式2xm0的4个正整数解只能为1、2、3、4，4m5，8m10故选B4、若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（）Aab0 Bab0 Ca2+b0 Da+b0【解答】选C5、若关于x不等式组有且只有四个整数解，且一次函数y=（k+3）x+k+5的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k有（）个A4 B3 C2 D1【解答】解不等式组得，x2，不等式组有且只有四个整数解，其整数解为：1，0，1，2，21，即4k2一次函数y=（k+3）x+k+5的图象不经过第三象限，解得5k3，4k3，k的整数解只有4故选D6、下列各式中，正确的
23、有（把所有正确的答案都写上）由ab可得acbc；由2x6可得x3；由xz2yz2可得xy；由xy可得xz2yz2；由2x=2可得x=0；由2x2可得x0【解答】答案为7、如图，已知函数y=ax+2与y=bx3的图象交于点A（2，1），则根据图象可得不等式axbx5的解集是x2【解答】axbx5，ax+2bx3，从图象上看，在交点的左边，相同自变量的取值，y=ax+2的函数值大于y=bx5的函数值，axbx5的解集是：x2优学学霸8、已知关于x、y的方程组的解满足不等式3x2y，求实数a的取值范围【解答】方程组的解为：3x2y，3，解得：a19、如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）当
24、x1时，kx+bmxn；（2）不等式kx+b0的解集是x3；（3）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组：的解；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、 y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积【解答】（1）当x1时，kx+bmxn；（2）不等式kx+b0的解集为x3；（3）交点P的坐标（1，1）是二元一次方程组 的解；（4）把A（0，1），P（1，1）分别代入y=mxn得，解得，l1的解析式为y=2x1，当y=0时，2x1=0，解得x=，所以M点的坐标为（，0）；把P（1，1）、B（3，0）分别代入y=kx+b得，解得，直线l2的解析式为y=x+，当x=0时
25、，y=x+=，则N点坐标为（0，），所以四边形OMPN的面积=SONBSPMB=3（3）1=1 考场直播1、【2016丰台】下列不等式变形正确的是（）A由ab，得a2b2 B由ab，得abC由ab，得 D由ab，得acbc【解答】选B2、【2016泉港】如图，经过点B（2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（1，2），4x+2kx+b0的解集为（）Ax2 B2x1Cx1 Dx1【解答】经过点B（2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（1，2），直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（1，2），直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B（2，0），又当x1时
26、，4x+2kx+b，当x2时，kx+b0，不等式4x+2kx+b0的解集为2x1故选B 自我挑战1、若xy，则下列不等式中不一定成立的是（）Ax+1y+1 B2x2y C Dx2y2【解答】选D2、若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）Aa3 Ba3 Ca3 Da3【解答】关于x的不等式组无解，a3故选：A3、已知不等式2xa0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是（）Aa10 B10a12 C10a12 D10a12【解答】解得：xa根据题意得：5a6，解得：10a12故选D4、直线l的解析式是y=kx+2，其中k是不等式组的解，则直线l的图象不经过（）A第一象限 B第
27、二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解得：k9，直线l的解析式是y=kx+2，k0，20，直线l的图象不经过第，三象限，故选C5、己知一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：k0；a0；关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3；x3时，y1y2正确的个数是（）A1 B2 C3 D4【解答】根据图示及数据可知：k0正确；a0，原来的说法错误；方程kx+b=x+a的解是x=3，正确；当x3时，y1y2正确故正确的个数是3故选：C6、已知2x+y3且1xy4，则z=2x3y的取值范围是1z11【解答】2x+y3 ，1xy4 ，设a（x+y）+b（xy）=2x3y，则有，解得
28、：a=， b=故z=，即（3）+1z所以1z11故答案为：1z117、如图，直线y=x+m与y=nx+4n（n0）的交点的横坐标为2，则关于x的不等式x+mnx+4n0的整数解是3【解答】直线y=x+m与y=nx+4n的交点的横坐标为2，关于x的不等式x+mnx+4n0的解集为4x2，整数解可能是3故答案为：38、已知x=1满足不等式组，求a的取值范围【解答】3x52x4a，解得x54a；解3（xa）4（x+2）5，解得x33a由x=1满足不等式组，得，解得a1，a的取值范围是a19、观察如图，对照图象，请回答下列问题：（1）当x取何值时，2x5=x+1？（2）当x取何值时，2x5x+1？（3
29、）当x取何值时，2x5x+1？【解答】（1）由图象可知，直线y=2x5与直线y=x+1的交点的横坐标是2，所以当x取2时，2x5=x+1；（2）由图象可知，当x2时，直线y=2x5落在直线y=x+1的上方，即2x5x+1；（3）由图象可知，当x2时，直线y=2x5落在直线y=x+1的下方，即2x5x+110、某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，已知：购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4120元；购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7000元（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品50台，其中电脑机箱不少于24台根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元试问：该经销商有几种进货方案？【解答】（1）设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，根据题意得：，解得：答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元（2）设购进电脑机箱a台，则购进液晶显示器（50a）台，根据题意得：，解得：24a26又a为整数，a=24，25，26故该经销商有3种进货方案21 思考乐优学产品中心 初中组
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