1、高效提分 源于优学 第05讲 勾股定理 温故知新1、直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。2、直角三角形的两个锐角互余。3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。4、直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半。 课堂导入（1） 小红用一张边长为3cm的正方形纸片，按对角线折叠重合，你 知道折痕长是多少吗？ （2） 如果把折叠成的直角三角形放在如图1所示的格点中（每个小 正方形的边长均为1cm）,你 能知道其斜边长是多少吗？ （3） 观察图1，完成表格 A的面积 B的面积 C的面积 问题：图1中A、B、C之间有什么关系？从图中你发现了什么？A的面积
2、B的面积C的面积图形知识要点一 勾股定理1、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。2、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 和 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有 。3、勾股数：我们把满足勾股定理的这样一组数称为够股数。常见的够股数有：3、4 、5； 5、12、13 ； 6、8、10 ； 7、24、25；8、15、 17； 9、12、15；典例分析例1、直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 6 【解析】直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，另一直角边长为=4该直角三角形的面积S=34=6故
3、答案为：6例2、在ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC中点，则AD的长为（ ）A3 B4 C5 D6【解析】 B例3、如图，RtABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则ABC的面积是 cm2【解析】如图，a2=c2+b2=25，则a=5又RtABC的周长为，a+b+c=5+3，b+c=3（cm）故答案是：5ABC的面积=bc=（c+b）2（c2+b2）2=（3）2252=5（cm2）例4、下列各组数中不是勾股数的是（ ）A3，4，5 B4，5，6 C5，12，13 D6，8，10【解析】A例5、下列几组数中，是勾股数
4、的是（ ）A1， B15，8，17 C13，14，15 D，1【解析】B举一反三1、如图所示，在RtABC中，AB=8，AC=6，CAB=90，ADBC，那么AD的长为（） A1B2C3D4.8【解析】 D2、如图，在ABC中，ACB=90，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E若AC=3，AB=5，则DE等于（）A2 B C D【解析】C3、一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）A13 B5 C13或5 D4 【解析】C4、已知直角三角形的周长是2+，斜边长为 2，则它的面积是（）A
5、 B1 C D【解析】A 学霸说1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。数学表达式：在RtABC中，AB=c,AC=b,BC=a，则（即：a2+b2c2）2.要点精析（1）勾股定理适用于任何一个直角三角形；（2）勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边（3）勾股定理的变形公式：a2c2 b2，b2= c2 a2；（4）运用勾股定理时，要分清斜边，直角边。（5）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范。 知识要点二 勾
6、股定理的证明勾股定理的常见证明：做8个全等的三角形，设他们的两条直角边分别为a,b,斜边长为c，在做三个边长为a,b,c的正方形，把他们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等。即a2+b2+4ab=c2+4ab,整理得a2+b2=c2 典例分析例1、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（ ）A13 B19 C25 D169【解析
7、】C例2、由四个全等的直角三角形如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，一个锐角为30，则图中阴影部分的面积为（ ）A1 B3 C42 D4+2【解析】C例3、在直角三角形中，两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则a2+b2=c2即两条直角边的平方和等于斜边的平方，此结论称为勾股定理在一张纸上画两个同样大小的直角三角形ABC和ABC，并把它们拼成如图形状 （点C和A重合，且两直角三角形的斜边互相垂直）请利用拼得的图形证明勾股定理【解析】证明：在直角三角形ABC中，1+2=90，1=3，2+3=90，又ACC=90，2+3+ACC=180，B、C（A）、B在同一条直线上，又B=9
8、0，B=90，B+B=180，ABCB，连接AC，过点C作CDAB交AB于点D，则四边形ABBC面积等于三个直角三角形面积，（ab）（a+b）+（a+b）b=ab+ab+c2，即a2b2+ab+b2=ab+ab+c2，a2+2ab+b2=2ab+c2，a2+b2=c2举一反三1、如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A12 B13 C144 D194【解析】C2、如图，以RtABC的三边为边分别作正方形、，已知正方形与正方形的面积分别为25和9，则正方形的面积为（）A4 B8 C16 D34【解析】C3、如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形
9、，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A1 B2 C3 D4【解析】D知识要点三 勾股定理的逆定理勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。（数学表达式：ABC中， AB=c,AC=b,BC=a。若a2+b2c2，则三角形ABC是直角三角形， 且）分析：勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a+b=c，则ABC是直角三角形。如果a+bc，则ABC是锐角三角形。如果a+bc，则ABC是钝角三角形。典例分析例1、如图，正方形网格中的ABC，若小方
10、格边长为1，则ABC的形状为（ ）A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D以上答案都不对【解析】A例2、满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是（ ）Ab2=a2c2 Ba：b：c=3：4：5CC=AB DA：B：C=3：4：5【解析】D例3、甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）A北偏西30 B南偏西30C南偏东60 D南偏西60【解析】C.举一反三1、若一个三角形的三边长为3，4，x，则使此三角形是直角三角形的值是（
11、 ）A5 B6 C D5或【解析】D2、三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2c2，则此三角形是（）A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D等边三角形【解析】C3、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A1，2，3 B， C32，42，52 D3，4，5【解析】D4、三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是 4或 【解析】当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长=4，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长=，三角形的边长分别为3，5，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为4或 学霸说1.
12、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2.要点精析（1）勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或者直角边；（2）如果三角形的三边长a，b，c，满足a2 b2=c2，那么这个三角形同样是直角三角形，只是这是a为斜边。3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别于联系： 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4.易错警示：（1）a2+b2c2只是一种表现形式，不能根据a2+b2c2就认为这个三角形不是直角三角
13、形，如a=3，b=5，c=4，它同样是直角三角形，只有当较短边的平方和不等于最长边的平方时，它才不是直角三角形。（2）只考虑直角三角形而忽视等腰三角形。 课堂闯关初出茅庐1、如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A76 B72 C68 D52【解析】A2、下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（ ）Aa=1.5，b=2，c=2.5 Ba：b：c=3：4：5CA+B=C DA：B：C=3：4：5【解析】 D3、在ABC中，若
14、a=n21，b=2n，c=n2+1，则ABC是（ ）A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D直角三角形【解析】D4、已知ABC的三边长分别为a，b，c且a+b=4，ab=1，c=，则ABC的形状为（ ）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定【解析】C5、以下各组数不能作为直角三角形的边长的是（ ）A5，12，13 BC7，24，25 D8，15，17 【解析】：B6、在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ABC的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程【解析】如图，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=
15、14x，由勾股定理得：AD2=AB2BD2=152x2，AD2=AC2CD2=132（14x）2，故152x2=132（14x）2，解之得：x=9AD=12 SABC=BCAD=1412=84优学学霸1、如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABBC，对角线ACCD，点E在边BC上，且AEB=45，CD=10（1）求AB的长；（2）求EC的长【解析】解：（1）在RtACD中，D=60，CD=10，AC=，DAC=30，又ADBC，ACB=DAC=30，在RtACB中，AB=AC=（2）在RtABE中，AEB=45，BE=AB=，由（1）可知，BC=AB=15，EC=BCBE=2、如图，在ABC中
16、，AB=AC=5，BC=6，点D在BA的延长线上，且CD=CB，求AD的长【解析】解：过A点作AEBC于E，过C点作CFAB于F，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，BE=BC=3，AE=4，64=5CF，解得CF=4.8，在RtBCF中，BF=3.6，CD=CB，BD=7.2 AD=BDAB=2.23、大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2（1）请你结合图形来证明：h1+h2
17、=h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3，l2：y=3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是求点M的坐标【解析】（1）证明：连接AM，由题意得h1=ME，h2=MF，h=BD，SABC=SABM+SAMC，SABM=ABME=ABh1，SAMC=ACMF=ACh2，又SABC=ACBD=ACh，AB=AC，ACh=ABh1+ACh2，h1+h2=h（2）解：如图所示：h1h2=h（3）解：在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=4，所以A（4，0）
18、，B（0，3）同理求得C（1，0）AB=5，AC=5，所以AB=AC，即ABC为等腰三角形（）当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：+My=OB，My=3=，把它代入y=3x+3中求得：Mx=，所以此时M（，）（）当点M在CB延长线上时，由h1h2=h得：My=OB，My=3+=，把它代入y=3x+3中求得：Mx=，所以此时M（，）综合（）、（）知：点M的坐标为M（，）或（， 考场直播1、【2015深圳校级期中】如图，从高8米的电杆AC的顶部A处，向地面的固定点B处拉一根铁丝，若B点距电杆底部的距离为6米现在准备一根长为9.9米长的铁丝，够用吗？请你说明理由【解析】解：在ABC中，C=90，
19、AB=10109.9所以绳子不够长2、【2015秋深圳校级期中】如图，铁路上A，B两点相距23km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=8km现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？【解析】解：使得C，D两村到E站的距离相等DE=CE，DAAB于A，CBAB于B，A=B=90，AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=x，则BE=ABAE=（23x），DA=15km，CB=8km，x2+152=（23x）2+82，解得：x=8，AE=8km答：E站应建
20、在离A站8km处3、【2016秋深圳校级期中】一架方梯AB长2.5米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙OB为0.7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的底端右滑了0.8米，那么梯子的顶端在竖直向下方向滑动了几米？（3）以O为原点建立直角坐标系，求AB所在直线的解析式【解析】解：（1）由题意可得，AO=2.4（米），即这个梯子的顶端距地面有2.4米；当梯子的底端右滑了0.8米，梯子顶端距地面的距离为：=2（米），2.42=0.4（米），即梯子的顶端在竖直向下方向滑动了0.4米；（3）由题意可得，点A（0，2），点B（1.5，0），设过A、B的直线的解析式为y=kx+b，解得，
21、自我挑战1、如图，在44方格中作以AB为一边的RtABC，要求点C也在格点上，这样的RtABC能作出（ ）A2个 B3个C4个 D6个【解析】D2、如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（ ）A0 B1 C D【解析】B3、在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）AA=BC BA：B：C=1：1：2Ca：b：c=4：5：6 Da2c2=b2【解析】C4、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形【解析】C5、下组给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）A3，4，6 B15，8，17 C21，16，18 D9，12，17【解析】B6、下面各组数是三角形的三边的长，则能构成直角三角形的是（ ）A2，2，3 B60，80，100 C4，5，6 D5，6，7【解析】B7、如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH为a，BH为b，则ab= 【解析】AB=10，EF=2，大正方形的面积是100, 小正方形的面积是4.
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