1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：八年级(下)课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第07讲-垂直平分线与角平分线 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及三角形三边的垂直平分线的性质定理； 掌握角平分线的性质定理、判定定理以及相关结论；授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三
2、条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。4、尺规作图5、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。7、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。考点一：线段垂直平分线的性质例1、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条高的交点 B三条角平分线的交点C三条中线的交点 D三条边的垂直平分线的交点【解析】到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边
3、的垂直平分线的交点，选：D例2、下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线A1个 B2个 C3个 D4个【解析】线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；错误；这是对线段垂直平分线的误解；有无数条，错误；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MNAB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A例3、如图，在ABC
4、中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（）A13 B15C17 D19【解析】AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，ABC的周长为23，AB+BC+AC=23，AB+BC=238=15，ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B例4、如图，在已知的ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；作直线MN交AB于点D，连接CD 若CD=AC，A=50，则ACB的度数为（）A90 B95C100 D105【解析】C
5、D=AC，A=50，ADC=A=50，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，CD=BD，BCD=B，B=ADC=25，ACB=180AB=105故选D例5、如图，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则BCE的周长为13【解析】DE是AB的垂直平分线，EA=EB，则BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有（填序号）ACBD；AC、BD互相平分；AC平分BCD；ABC=ADC=90；筝
6、形ABCD的面积为【解析】在ABC与ADC中，ABCADC（SSS）BAO=DAO，BCO=DCO，即AC平分BCD故正确；AC平分BAD、BCD，ABD与BCD均为等腰三角形，AC、BD互相垂直，但不平分故正确，错误；当AC2AB2+BC2时，ABC90同理ADC90故错误；AC、BD互相垂直，筝形ABCD的面积为：ACBO+ACOD=ACBD故正确；综上所述，正确的说法是故答案是：例7、如图，在ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，BCE的周长等于25cm（1）求BC的长；（2）若A=36，并且AB=AC求证：BC=BE【解析】（1）AB的垂直平分线M
7、N交AB于点D，AE=BE，BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，AC=15cm，BC=2515=10cm；（2）证明：A=36，AB=AC，C=（180A）=（18036）=72，AB的垂直平分线MN交AB于点D，AE=BE，ABE=A，由三角形的外角性质得，BEC=A+ABE=36+36=72，BEC=C，BC=BE考点二：角平分线的性质例1、到三角形三条边的距离相等的点是三角形（）A三条角平分线的交点 B三条高的交点C三边的垂直平分线的交点 D三条中线的交点【解析】选：A例2、如图，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M
8、，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（）A15 B30C45 D60【解析】由题意得AP是BAC的平分线，过点D作DEAB于E，又C=90，DE=CD，ABD的面积=ABDE=154=30故选B例3、如图所示，已知ABC的周长是20，OB、OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD=3，则ABC的面积是30【解析】如图，连接OA，过O作OEAB于E，OFAC于F，OB、OC分别平分ABC和ACB，OE=OF=OD=3，ABC的周长是22，ODBC于D，且OD=3，SABC=ABOE+BCOD
9、+ACOF=（AB+BC+AC）3=203=30，故答案为：30例4、如图，在ABC中，C=90，ABC的平分线BD交AC于点D，已知A=ABD，CD=1，AD=2，则（1）点D到直线AB的距离是1；（2）BC的长度为【解析】如图，过点D作DEAB于E，BD是ABC的平分线，C=90，DE=CD=1，即点D到直线AB的距离是1，故答案为：1（2）ABC=2ABD，ABD=A，ABC=2A，C=90，A=DBC=30，BC=CD=故答案为：例5、证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了
10、不完整的已知和求证已知：如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB求证：PD=PE请你补全已知和求证，并写出证明过程【解析】已知：PDOA，PEOB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE故答案为：PD=PEPDOA，PEOB，PDO=PEO=90，在PDO和PEO中，PDOPEO（AAS），PD=PEP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、到三角形三个顶点距离相等的点是（）A三条边的垂直平分线的交点 B三条高线的交点C三条边的中线的交点 D三条角平分线的交点【解析】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点故选：A2、如图，点P是ABC内
11、一点，且PD=PE=PF，则点P是（）AABC三边垂直平分线的交点 BABC三条角平分线的交点CABC三条高所在直线的交点 DABC三条中线的交点【解析】点P是ABC内一点，且PD=PE=PF，点P是ABC三条角平分线的交点故选B3、如图，OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）APC=PD BCPD=DOPCCPO=DPO DOC=OD【解析】OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C、D，PC=PD，故A正确；在RtOCP与RtODP中，OCPODP，CPO=DPO，OC=OD，故C、D正确不能得出CPD=DOP，故B错误4、如图，
12、ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为ADE的角平分线若A=58，则ABD的度数为何？（）A58 B59C61 D62【解析】BD是ADE的角平分线，1=2，DE是BC的中垂线，2=3，1=2=3，又1+2+3=180，1=2=3=60，4=C=9060=30，ABD=180A4C=180583030=62故选：D5、如图，在ABC中，BC的垂直平分线EF交ABC的平分线BD于E，如果BAC=60，ACE=24，那么BCE的大小是（）A24 B30C32 D36【解析】EF是BC的垂直平分线，BE=CE，EBC=ECB，BD是ABC的平分线，ABD=CBD，ABD=
13、DBC=ECB，BAC=60，ACE=24，ABD=DBC=ECB=（1806024）=32故选C6、如图，在ABC中，B=55，C=30，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（）A65 B60C55 D45【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故C=DAC，C=30，DAC=30，B=55，BAC=95，BAD=BACCAD=65，故选A7、如图，在ABC中，AB=BC，ABC=110，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则ABD=35度【解析】在ABC中，AB=BC，ABC=11
14、0，A=C=35，AB的垂直平分线DE交AC于点D，AD=BD，ABD=A=35，故答案为：358、如图，ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4【解析】AB=AC，D是BC的中点，CAD=BAD，ADBC，OC=OB，在ACD和ABD中，ACDABD（SAS）；同理：CODBOD，在AOC和AOB中，OACOAB（SSS）；EF是AC的垂直平分线，OA=OC，OEA=OEC=90，在RtOAE和RtOCE中，RtOAERtOCE（HL）故答案为：49、如图，在ABC中，ABAC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点
15、D，交AC于点E，BD=4，ABE的周长为14，则ABC的周长为22【解析】BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，BE=EC，BC=2BD=8；又ABE的周长为14，AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14；ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；故答案是：2210、如图，RtABC中A=90，C=30，BD平分ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是2【解析】过D作DEBC于E，BD平分ABC，A=90，DE=AD=2，故答案为：211、如图，AB=AC，A=30，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求DBC的度数【解析】AB=A
16、C，A=30，ABC=C=75，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AD=BD，ABD=A=30，DBC=ABCABD=4512、如图所示，在RtABC中，C=90，AC=BC，AD是BAC的平分线，DEAB，垂足为E求证：DBE的周长等于AB【解析】证明：C=90，AD是BAC的平分线，DEAB，DC=DE；BD+DE=BD+CD=BC；AC2=AD2CD2，AE2=AD2DE2，AC=AE，而AC=BC，BC=AE，BD+DE+BE=AE+BE=AB，即DBE的周长等于AB 课后反击1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A是边AB的中点 B在边AB的中线上C
17、在边AB的高上 D在边AB的垂直平分线上【解析】选D2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）AOE是AOB的平分线 BOC=ODC点C、D到OE的距离不相等 DAOE=BOE【解析】根据尺规作图的画法可知：OE是AOB的角平分线故选C3、如图，OP是AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定POCPOD的选项是（）APCOA，PDOB BOC=ODCOPC=OPD DPC=PD【解析】选D4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，A=50，则BDC=（）A50 B100 C120 D130【解析】DE是线段AC的垂直平分线，DA=DC，DCA=A
18、=50，BDC=DCA+A=100，故选：B5、如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，ABC的周长为19cm，ABD的周长为13cm，则AE的长为（）A3cm B6cm C12cm D16cm【解析】DE是AC的垂直平分线，AD=DC，AE=CE=AC，ABC的周长为19cm，ABD的周长为13cm，AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，AC=6cm，AE=3cm，故选A6、如图，ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=6cm【解析】MN是线段BC的垂直平分线，CD=BD，ADB的周长是10c
19、m，AD+BD+AB=10cm，AD+CD+AB=10cm，AC+AB=10cm，AB=4cm，AC=6cm，故答案为：67、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若A=40，则EBC=30【解析】DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，AE=BE，ABE=A=40，AB=AC，ABC=C=70，EBC=ABCABE=30故答案为：308、如图，ABC中，A=80，B=40，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么ADC的周长为19【解析】BC的垂直平分线交AB于点D，DB=DC，DCB=B=40，A=80，B=40，ACB=60，ACD=20，ADC=80
20、，CA=CD=DB=8，ADC的周长=AD+AC+CD=19，故答案为：199、如图，ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于点D已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是15【解析】作DEAB于E，AD平分BAC，C=90，DEAB，CD=DE=6，又BD：CD=3：2，BD=9，BC=BD+DC=15，故答案为：1510、如图，ABC中，ADBC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE（1）若BAE=40，求C的度数；（2）若ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长【解析】（1）AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，AB=AE=EC，C=CAE，BAE
21、=40，AED=70，C=AED=35；（2）ABC周长13cm，AC=6cm，AB+BE+EC=7cm，即2DE+2EC=7cm，DE+EC=DC=3.5cm直击中考1、【2016河南】如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，ABD的周长为14cm，则ABC的周长为22cm【解析】DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，AC=2AE=8cm，AD=DC，ABD的周长为14cm，AB+AD+BD=14cm，AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，故答案为：22cm2、【2015济南】如图，四边形ABDC中
22、，D=ABD=90，点O为BD的中点，且OA平分BAC（1）求证：OC平分ACD；（2）求证：OAOC；（3）求证：AB+CD=AC【解析】证明：（1）过点O作OEAC于E，ABD=90，OA平分BAC，OB=OE，点O为BD的中点，OB=OD，OE=OD，OC平分ACD；（2）在RtABO和RtAEO中，RtABORtAEO（HL），AOB=AOE，同理求出COD=COE，AOC=AOE+COE=180=90，OAOC；（3）RtABORtAEO，AB=AE，同理可得CD=CE，AC=AE+CE，AB+CD=ACS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、线段垂直平分线的性质定
23、理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。4、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。6、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。名师点拨1、不注意运用分类讨论思想，漏掉某些符合条件的情况或者结论。2、受全等思维定式的影响，不习惯用角平分线的性质定理证明。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是13
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