1、高效提分 源于优学 第07讲 无理数与平方根 温故知新一、上节课重点回顾 课堂导入早在公元前，古希腊数学家毕达哥斯拉认为万物皆“数”，即宇宙间的一切现象都能归结为整数与整数之比，也就是一切现象都可以用有理数去描述，后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，他认为在生活之中还存在除有理数之外的另一种数。探究：如图，讲一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪成一个正方形，最后得到的正方形面积是多少？他的边长是整数吗？知识要点一 无理数的概念1、无理数：也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并
2、且不会循环。例如圆周率“”。2、有理数与无理数的区别：（1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数。（2）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比。 典例分析例1、下列实数中的无理数是（）A0.7 B C D8【解析】选：C例2、下列实数中，是无理数的为（）A4 B0.101001 C D【解析】故选D例3、把下列各数分别填在相应的集合中：，0，、，0.，3.14【解析】有理数集合：（，0，0.，3.14，），无理数集合：（，）例4、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“”，错误请在括号内打“”，并各
3、举一例说明理由（1）有理数与无理数的积一定是无理数（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数举一反三1、实数0、中，无理数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】B2、在，2，0中无理数个数为（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】B3、下列说法正确的是（）A带根号的数是无理数B无理数就是开方开不尽而产生的数C无理数是无限小数D无限小数是无理数【解析】C4、有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示其中正确的说法的个数是（）A1 B2 C3 D4【解析】B知识要点二 平方根与算数平方
4、根1、算术平方根的概念一般地，如果一个正数 的平方根等于 ，即 ，那么这个正数就叫做的算术平方根，记做，读作“根号”。注意：（1）特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 。（2）负数没有算术平方根，也就是说，当式子有意义时，一定表示一个非负数。（3）（ ）是一个非负数。2、平方根的概念（1）一般地，如果一个数 的平方等于 ，即 ，那么这个数 就叫做 的平方根（也叫做二次方根）。（2）一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。（3）开平方的概念：求一个数 的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数。3、 与 的性质（1） ，即当时，；当 时，。（2）。典例分析例1、（
5、2）2的平方根是（）A2 B2 C2 D【解析】C例2、用代数式表示实数a（a0）的平方根：【解析】用代数式表示实数a（a0）的平方根为：，故答案为：例3、计算（）0=（）A1 B C2 D【解析】A例4、下列等式正确的是（）A B C D【解析】D举一反三1、4的平方根是（）A2 B2 C2 D【解析】：A2、已知一个正数的平方根是2x和x6，这个数是163、一个正数的x的平方根是2a3与5a，求a和x的值【解析】一个正数的x的平方根是2a3与5a，2a3+5a=0，解得：a=2，2a3=7，x=（7）2=494、已知：与互为相反数，求（x+y）2016的平方根【解析】由已知可得：+=0，则
6、，解得，（x+y）2016=1，（x+y）2016的平方根是1学霸说（1）二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断，如，等都是二次根式。（2）像+1（a0）这样子的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式 课堂闯关初出茅庐1.在下列实数中：0，3.1415，0.343343334无理数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】B2.下列四个数中，是无理数的是（）A B C D（）2【解析】A3.3是9的（）A平方根 B相反数 C绝对值 D算术平方根【解析】A4.如果一个正数的平方根为2a+1和3a11，则a=（）A1 B1 C2 D9【解析】C5.的平方根是（）A81 B3 C
7、3 D3【解析】B6化简的值为（）A4 B4 C4 D2【解析】A7.在：，0，3.14，7.151551（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，整数集合 ，分数集合 ，无理数集合 【解析】整数集合0，；分数集合，3.14；无理数集合，7.1515518.已知一个正数的两个平方根是x7和3x1，则x的值是2【解析】一个正数的两个平方根是x7和3x1，x7+3x1=0解得：x=2故答案为：29.若正数m的两个平方根分别是a+2与3a6，则m的值为9【解析】正数m的两个平方根分别是a+2与3a6，a+2+3a6=0，解得：a=1，则a+2=3，则m的值为：9，故答案为：910.如果的平方根等于
8、2，那么a=16【解析】（2）2=4，=4，a=（）2=16故答案为：1611.已知+|2x3|=0（1）求x，y的值；（2）求x+y的平方根【解析】（1）0，|2x3|0，+|2x3|=0，2x+4y5=0，2x3=0，则x=，y=（2）x+y=+=2，则x+y的平方根为12.已知a，b为实数，且（b1）=0，求a2015b2016的值【解析】（b1）=0，+（1b）=0，1b0，1+a=0，1b=0，解得a=1，b=1，a2015b2016=（1）201512016=11=213.若5a+1和a19是数m的平方根，求m的值【解析】当（5a+1）+（a19）=0，解得：a=3，则m=（5a+
9、1）2=162=256当5a+1=a19时，解得：a=5，则m=（25+1）2=576故m的值为256或576优学学霸1若实数x，y满足（x）（y）=2016（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x22y2+3x3y2017的值【解析】解：（1）（x）（y）=2016，x=y+，同理得：x+=y，+得：2x=2y，x=y，（2）把x=y代入得：x=x+，x2=2016，则3x22y2+3x3y2017，=3x22x2+3x3x2017，=x22017，=20162017，=12已知a，b为正实数，试比较+与+的大小【解析】解：作差，得：（+）（+）=（）+（） =+= =a、b为正实数 0+
10、3如图，数轴上有A、B两点，AB=12，原点O是线段AB上的一点，OA=2OB（1）写出A，B两点所表示的实数；（2）若点C是线段AB上一点，且满足AC=CO+CB，求C点所表示的实数；（3）若动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动当t为何值时，2OPOQ=4；当点P到达点O时，动点M从点O出发，以每秒3个单位长的速度也向右运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止时，点M也停止运动，求在此
11、过程中，点M行驶的总路程和点M最后位置在数轴上对应的实数【解答】解：（1）AB=12，AO=2OB，AO=8，OB=4，A点所表示的实数为8，B点所表示的实数为4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：点C在线段OA上时，则x0，如图1，AC=CO+CB，8+x=x+4x，3x=4，x=；点C在线段OB上时，则x0，如图2，AC=CO+CB，8+x=4，x=4（不符合题意，舍）；综上所述，C点所表示的实数是；（3）当0t4时，如图3，AP=2t，OP=82t，BQ=t，OQ=4+t，2OPOQ=4，2（82t）（4+t）=4，t=1.6，当点P与点Q重合时，如图4，2t=12+t，t=12
12、，当4t12时，如图5，OP=2t8，OQ=4+t，则2（2t8）（4+t）=4，t=8，综上所述，当t为1.6秒或8秒时，2OPOQ=4；当点P到达点O时，82=4，此时，OQ=4+t=8，即点Q所表示的实数为8，如图6，设点M运动的时间为t秒，由题意得：2tt=8，t=8，此时，点P表示的实数为82=16，所以点M表示的实数也是16，点M行驶的总路程为：38=24，答：点M行驶的总路程为24和点M最后位置在数轴上对应的实数为16 考场直播1【2016深圳】若ABC的三边a、b、c满足|a15|+（b8）2+=0，试判断ABC的形状，并说明理由【解析】ABC是直角三角形，理由如下：由题意得，
13、a15=0，b8=0，c17=0，解得，a=15，b=8，c=17，a2+b2=225+64=289，c2=289，a2+b2=c2，ABC是直角三角形2【2016深圳】已知a、b、c满足2|a1|+c2c+=0求a+b+c的值【解析】2|a1|+c2c+=0即2|a1|+（c）2=0a1=0，2b+c=0，c=0，a=1，c=，b=，a+b+c= 自我挑战1.下列各数是无理数的是（）A0 B1 C D【解析】C2.64的平方根为（）A8 B8 C8 D4【解析】B3.若=2a，则a的取值范围是（）Aa=2 Ba2 Ca2 Da2【解析】D4.的值等于（）A4 B4 C4 D【解析】A5.下列
14、计算正确的是（）A（）2=9 B=2 C（2）0=1 D|53|=2【解析】 A6.把下列各数填入相应的集合内：，1.14141，|7|，【解析】有理数集合，1.14141，|7|，无理数集合，7（0.7）2的平方根是0.7【解析】（0.7）2=（0.7）2，（0.7）2的平方根是0.7故答案为：0.78已知一个正数的两个平方根分别为3a4和125a，则a=4【解析】一个正数的两个平方根分别为3a4和125a，3a4+125a=0解得：a=4故答案为：49一个实数的两个平方根分别是m5和3m+9，则这个实数是36【解析】m5+3m+9=0，解得m=1，所以m1=6，所以这个实数是（6）2=36，故答案为：3610已知（2x+y）2+=0，求x2y的平方根【解析】，解得，于是 x2y=12（2）=5，5的平方根是11若|x1|+（y+3）2+=0，求4x2y+3z的平方根【解析】由题意得，x1=0，y+3=0，x+y+z=0，解得x=1，y=3，z=2，所以，4x2y+3z=412（3）+32=4+6+6=16，（4）2=16，4x2y+3z的平方根是412求下列式子中的x28x263=0【解析】由28x263=0得：28x2=63，x2=，x= 13 思考乐优学产品中心初中组
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