1、对数函数第7讲函数8级幂函数与复合函数初步满分晋级 函数7级对数函数函数6级对数及其运算新课标剖析 当前形势函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查515分高考要求内容要求层次具体要求ABC对数函数的概念及其性质通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点指数函数与对数函数互为反函数（且）知道指数函数与对数函数互为反函数（且）北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）第2题 5分第
2、13题 5分第3题5分第13题5分第6题 5分第14题 5分第6题 5分第8题 5分第13题 5分第14题 5分在上节课我们已经讲了对数，而且我们也知道对数式其实是由指数式转换而来的，那对数函数是否就是由指数函数转换而来的呢？什么是对数函数呢？对数函数的图象和性质又都是什么样的呢？今天我们就来看一下对数函数：7.1对数函数及其性质我们先来看一下对数函数的定义：考点1：对数函数的定义知识点睛对数函数：我们把函数且）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是，值域为实数集【教师备案】教材中是说：“函数叫做对数函数，它的定义域是正实数集，值域是实数集”可知，在指数函数和对数函数中，两个变量之间的关系
3、是一样的.所不同的只是在指数函数里，作为自变量，当做因变量，而在对数函数中，当做自变量，是因变量，习惯上，常用表示自变量，表示因变量，因此对数函数又通常写成.对数函数的形式与指数函数的形式一样，也必须是纯粹的.如：都不是对数函数.现在我们已经知道什么是对数函数了，那对数函数的图象是怎么画的呢？它又具有什么样的性质呢？下面我们就来看一下对数函数的图象和性质：考点2：对数函数的图象与性质知识点睛对数函数的图象与性质：图象定义域值域性质 过定点，即时，当时，；当时，当时，；当时，在上是增函数在上是减函数【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，依
4、然可以让学生自己动手画函数的图象，如：先画，从这个图象上让学生体会对数函数的增长速度很慢.并且从图象上看出函数的定义域为，值域为，且过定点让学生再画一个比较这两个图象.可以发现，当时，越大，第一象限图象离轴越远由的结论老师可以提问，若，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数试试观察发现，与的图象关于轴对称，所以与的图象也关于轴对称，如图，所以当时，越大，第一象限图象离轴越远. 老师按照上面的方式讲完对数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习：练习1：如图若曲线，是对数函数，的图象，则，分别代表哪个对数函数？【解析】 由图象可以直接看出，或者也可以作直线，则与四条曲线的交点就是对数函数的底数.
5、【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：所有的对数函数也分为两类：和对数函数的单调性：时，是增函数；时，是减函数，而且越大，第一象限的图象离轴越远 对数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完对数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例，例主要考察对数函数的图象，虽然涉及到指数的图象，但现在还没讲指数与对数的关系，所以完全可以从指数的图象和对数的图象上去讲解，没必要把指对的关系引进来.经典精讲【例1】 如图是对数函数的图象，已知值取，则相应于，的值依次是（ ）A， B，C， D，当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）函数与在同一坐标系中的图象形状只能是（
6、）【解析】 A； ； ； 在指数函数一讲我们已经讲了幂的比较大小，那对数应该如何比较大小呢？下面我们就来看一下对数值比较大小：考点3：对数值的大小比较知识点睛 如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数为增函数；为减函数）比较 如果两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（，） 当时，当时，；当时， 当时，当时，；当时，【教师备案】方法一：图象法两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线右侧的部分是“底大图低”，它们的图象在位于直线左侧的部分是“底大图高”见下图： 方法二：取倒数转化为同底数的对数的大小比较；. 如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较经典精讲【教师备案
7、】老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，是底数相同真数不相同的对数；是底数不同真数相同的对数；是底数与真数都不相同的对数；老师可以由铺垫得出对于底相同真数不同应该如何比较大小，对于底不同真数相同应该如何比较大小，对于底和真数都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例2了.【铺垫】比较下列各题中两个值的大小与；与；和；和；和；和；和；与；与；与；和.【解析】 ；【教师备案】由我们可以得出“如何看对数的正负”：把，都分为区间和，若，都在同一个区间，则是正的，若分别在两个区间则是负的.；【例2】 比较大小（填“”，“”或“”）_；_；_； _； _； _若，则（ ）ABCD若
8、，则（ ）ABCD【解析】 ；A； ； 【拓展】设，则的大小顺序是（ ） ABCD设，则的大小顺序是（ ） ABCD【解析】 ； ；指数和对数之间有着千丝万缕的稀奇古怪的不可告人的关系，那么指数函数和对数函数之间也一定有着稀奇古怪的，偷偷摸摸的关系，那么我们就把他们的这个关系公诸于世.考点4：对数函数与指数函数的关系知识点睛1.反函数：当一个函数是一一映射时，可以把一个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.【教师备案】因为高考基本不考反函数，只需让学生知道同底的指数和对数是互为反函数的就可以了，所以本讲也不重点讲解反函数，但是如
9、果老师要讲解反函数，那老师可以按照下面的顺序讲解“反函数”，下面主要讲了反函数的定义和反函数的性质： 1.反函数的定义：在第2节课的时候我们就讲了映射.下面我们来看一下这个是不是映射？ 根据映射的定义，我们知道它是一个的映射，若现在我们把它改一下，把它从改为从，那这个还是不是映射？如果是映射那又叫什么映射？如果是映射那它的对应法则又是什么？ 根据映射的定义，我们知道这也是一个映射，只不过它的对应法则为“开立方”.既然它是上边那个映射反过来的，所以这个映射我们可以记为.我们也管这种映射叫做“逆映射”.那是不是所有的映射都有逆映射？我们来看一下下面的例子： 根据映射的定义，我们知道它是一个映射，现
10、在我们看一下它的逆映射： 根据映射的定义，我们知道它不是一个映射. 再比如，我们知道下面一个是映射，如： 但是，它的逆映射就不是映射，如： 只有一一映射，才有逆映射.因为函数是一个特殊的映射，若把原来的映射构成的函数叫做原函数，那么它的逆映射构成的函数叫做反函数，原函数与反函数是成对出现的，原函数与反函数互为反函数，反函数的反函数将是原函数.2.反函数的性质反函数的定义域是原函数的值域，即原函数与反函数的定义域和值域相互交换若原函数经过一个点，则反函数经过点，与在平面直角坐标系中关于对称原函数的图象和反函数的图象关于对称.单调性：若原函数是，则反函数的单调性如何呢？注意单调性本质是自变量和函数
11、值的变化趋势是否一致，当，反过来，若，原函数与反函数的单调性相同. 例：判断下列函数是否有反函数，若有，则求出反函数；【解析】 有，反函数为：；有，反函数为：；有，反函数为：；有，反函数为：；有，反函数为：；没有，不是一一对应，1和都指向1；若加个定义域，则有反函数，也有反函数，2.对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称【教师备案】对数函数,指数形式为.可以看成是把指数函数的对调位置而得到的.在同一直角坐标系中,它们的图象关于直线对称.【教师备案】老师讲完对数函数与指数函数的关系以后，就可以让学生做例3了.经典精讲【例3】 若,且，则与的图 象（ ）A关于
12、直线对称 B关于直线对称C关于轴对称 D关于原点对称若函数（，且）的反函数的图象过点，则_若的反函数是，则值为（ ）A3BCD【解析】 B C下面我们再来看一下对数函性质的应用：7.2对数函数性质的应用考点5：与对数相关的复合函数的定义域问题【教师备案】求对数函数的复合函数的定义域的方法与前面讲到的求一般函数的定义域的解法一样，不过在这里应特别注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于经典精讲老师可以用下边的铺垫给学生讲解求定义域，然后让学生做例4【铺垫】求下列函数的定义域 ；【解析】 定义域为定义域为定义域为【例4】 求下列函数的定义域；【解析】 定义域是； 定义域为； 定义域为； 定义域为.
13、 定义域为考点6：与对数相关的复合函数的值域问题经典精讲老师可以用下边的铺垫给学生讲解对数函数的值域问题，铺垫主要是对数函数，让学生从直观上理解值域，讲完以后就可以让学生做例5，例5主要是对数函数的复合函数【铺垫】已知函数，当时，函数值域为_； 当时，函数值域为_； 当时，函数值域为_已知函数，当时，函数值域为_； 当时，函数值域为_；当时，函数值域为_；【解析】 ；. ；.【例5】 求下列函数的值域；【解析】 ;；;.【例6】 已知函数 若的定义域为，求实数的范围； 若的值域为，求实数的范围【解析】 的范围为 的范围为【点评】 第问易忽视情况，第问易犯的值域为就是恒成 立的错误，正确理解应该
14、为 正确理解定义域为与值域为的含义是解题的关键【方法总结】对于形如的定义域值域为的问题关键是抓住对数函数的定义域和值域，并结合图象来分析和解决问题由图可知对数函数的定义域为，值域为反过来，要使函数的值域为，由图可知，必须取遍内所有的值（一个也不能少）因此若的定义域为，则对于任意实数恒有，特别是当 时，要使的定义域为，则有，且若已知的值域为，则必须取遍内的所有值（一个也不能少），则对于函数而言，必须有的值域包含（此时的定义域一般包含于的定义域之中）反之，若，则当时，有；当时，有，因此其值域一定为特别是当，要使的值域为，则有，且考点7：与对数相关的复合函数的单调性问题经典精讲【例7】 判断下列函数
15、的单调性；【解析】 在上是增函数在上是减函数，在上是增函数在上是减函数，在上是增函数在上是减函数，在上是增函数在上是增函数，在上是减函数求函数的定义域、值域和单调区间【解析】 定义域为；值域为；当时，的减区间是，增区间是；当时，的增区间是，减区间是；【点评】本题为复合函数，要注意求解定义域和对进行讨论实战演练 【演练1】当时，在同一坐标系中，函数与的图象是( )【解析】【演练2】若，则（ ）.ABCD【解析】 ； 【演练3】函数的增区间是（ ）A B C D【解析】【演练4】下列说法中，正确的是( )A对任意，都有B是上的增函数C若且，则D在同一坐标系中，与的图象关于直线对称【解析】 D【演练5】求下列函数的定义域；（其中）【解析】 定义域为定义域为概念要点回顾图象定义域值域性质过定点：单调性：答案：图象定义域值域性质 过定点： 单调性：当时，在上是增函数；当时，在上是减函数99第7讲目标班教师版
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