1、椭圆基本量问题第7讲 解析几何10级直线与椭圆的位置关系满分晋级 解析几何级直线与圆的综合运用解析几何级椭圆基本量问题新课标剖析 当前形势椭圆在近五年北京卷（文）考查519分高考要求内容要求层次具体要求ABC曲线与方程的对应关系掌握求轨迹方程的一般方法，理解曲线与方程的对应关系椭圆的定义及标准方程由定义和性质求椭圆的方程；由椭圆的标准方程探求几何性质椭圆的简单几何性质由椭圆的几何性质解决问题直线与椭圆的位置关系判别式和韦达定理的应用；直线与椭圆相交截得的弦长北京高考解读2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）第12题 5分第19题 14分第14
2、题 5分第19题 14分第19题 14分第19题 14分考点1：椭圆及其标准方程暑假知识回顾1已知点，动点满足，则动点的轨迹是（ ）A椭圆 B直线 C线段 D圆【解析】 C【点评】椭圆的定义的集合语言叙述为；点集注意，“”这一条件，若，则动点轨迹为线段；若，则其轨迹不存在2求经过两点，的椭圆的标准方程【解析】 【点评】椭圆的焦点总在长轴上，因此可通过标准方程判断焦点的位置，其方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在轴上还是轴上，那么方程还可以设为（），进而求解知识点睛1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或
3、集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距集合语言叙述为；点集2椭圆的标准方程：，焦点是，且，焦点是，且3椭圆的几何性质（用标准方程研究）：范围：，；对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中的线段；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近 于，椭圆越趋近于圆经典精讲【例1】 （2010丰台二模理11文12）椭圆的焦点为，过垂直于轴的直线交椭圆
4、于一点，那么的值是_已知，是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为 如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，七个点，是椭圆的左焦点，则 【解析】 考点2：椭圆的离心率问题暑假知识回顾3已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 经过点且与椭圆的离心率相同的椭圆的标准方程为 【解析】 或经典精讲提高班学案1【铺1】 椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若，成等差数列，则椭圆的离心率为（ ）A BCD 直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为_ 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在
5、椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 【解析】 A D【例2】 （2012江西理13）椭圆的左、右顶点分别是左、右焦点分别是，若，成等比数列，则此椭圆的离心率为_（2010全国卷16）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 （2010朝阳二模理7）已知椭圆，是椭圆长轴的一个端点，是椭圆短轴的一个端点，为椭圆的一个焦点 若，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【解析】 B尖子班学案1【拓2】 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 （2012新课标理4改编）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形
6、，则的离心率为 【解析】 目标班学案1【拓3】 如图，已知为正六边形，若以，为焦点的椭圆恰好经过，四点，则该椭圆的离心率为_【解析】【例3】 如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 【解析】 ； 考点3：椭圆的焦点三角形问题知识点睛椭圆的焦点三角形：以椭圆的两个焦点、与椭圆上任意一点（非长轴顶点）组成的三角形注：下面介绍的焦点三角形面积公式与椭圆中的两个最大张角的结论可以直接用来做选择填空题，会省去类似的推导过程，但它们的原理
7、与推导过程是需要了解的，后面的例题都给出了不用结论，直接解决的过程，同时也说明了直接套用结论的过程希望通过这些例题，学生可以更好地理解这些椭圆中的结论与性质 椭圆的焦点三角形的周长为，面积为证明如下：已知椭圆，为椭圆上任一点（非长轴顶点），求 的周长和面积由椭圆第一定义有：，的周长，而在中由余弦定理有：，即从而椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴的顶点到两焦点的张角，另一个是短轴的顶点到长轴的两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角具体结论及证明如下（其中结论1与焦点三角形相关，更为常用）：结论1：如图：已知、为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意
8、一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大分析：，而在为减函数，只要求的最小值又知，利用余弦定理可得证明：如图，由已知，所以，当时取等号由余弦定理得：，当时取等号，所以当时，的值最小，因为，所以此时最大即点为椭圆短轴的端点时最大利用上面的面积公式可以快速得到这个结论，又在上单调递增，故越大，焦点三角形面积越大，的值越大，越大从而，当点是短轴顶点时，对焦点的张角有最大值结论2：如图：已知为椭圆长轴上的两个顶点，为椭圆上任意一点，则当点为椭圆短轴的端点时，最大分析：当最大时，一定是钝角，而在上是增函数，利用点的坐标，表示出，再求的最大值证明：如图，不妨设，记在轴上的投影为，则，所以，又，所以，因为，故是
9、关于的增函数，所以当时，取得最大值，此时最大，所以当点为椭圆短轴的端点时，最大也可用此思路证明结论1经典精讲【例4】 （2010东城一模14）点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为，当在第一象限时，点的纵坐标为 已知为椭圆上一点，、是椭圆的焦点，求的面积【解析】 ；【点评】 在处理椭圆上的点与两焦点组成的三角问题时，常由余弦定理或正弦定理列出与的关系式，并给合椭圆的定义列出，利用这两个关系式求得结果提高班学案2【拓1】椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于、两点，则 的周长为_；若、两点的坐标分别为和，且的面积是4，则的值为_【解析】 16，【例5】 已知、是椭圆的两个焦点，
10、满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D椭圆的左、右焦点分别为、，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是_【解析】 C 尖子班学案2【拓2】设椭圆：的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使，试求该椭圆离心率的取值范围【解析】；目标班学案2【拓3】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（ ）A B或 C D（2012四川理15）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_【解析】 ；考点4：椭圆的中点弦问题暑假知识回顾 中点弦问题在暑假预习时介绍过，这里再总结一下与弦的中点有关问题的求解方
11、法： 中点弦问题求解的关键是充分利用好“中点”这一条件，善于把斜率与中点联系起来，会灵活运用中点坐标公式和一元二次方程根与系数的关系处理这种问题的方法主要有三种： 通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解 点差法，设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦的中点坐标与它和原点连线的斜率的关系中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项 4已知椭圆，过点引一条弦，且弦被点平分，求弦所在直线的方程【解析】 经典精讲【例6】 已知椭圆，求： 以为中点的弦所在直线的方程； 斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
12、过的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程【解析】 （在椭圆内的部分） （在椭圆内的部分）【备注】轨迹问题的边界范围通常比较复杂，在不容易直接求出范围时可加上文字说明【点评】椭圆中点弦的斜率公式：设椭圆的方程为，两点在椭圆上，是的中点，为坐标原点，则利用这个结论可以得到另一个结论：若、是椭圆：上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，有（在斜率存在时）这是因为，当为的中点时，有，特别，当、为长轴顶点时，此结论也成立，这个特例更为常见考点5：椭圆中的最值问题经典精讲 例7是借助于椭圆的几何性质解决的最值问题；例8是通过坐标运算解决的最值问题一般来说，我们优先考虑椭圆的几何性质解题，节省计算量，特别是遇到
13、与焦点相关的问题，优先考虑椭圆的定义与相关结论【例7】 椭圆外有一点，内有一点，为椭圆上任意一点，若要求最小，则这最小值是（ ）ABCD已知，是椭圆上一点，则的最大值为_【解析】 C 本题也可以求得它们的最小值，为，后面的演练4可以用来作为配套练习提高班学案3【铺1】椭圆上任一点到两焦点，的距离之积的最大值是_，最小值是_【解析】 ，；【例8】 （2010福建11）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）A2 B3 C6 D8已知点在圆：上移动，点在椭圆上移动，求的最大值【解析】 C ；尖子班学案3【拓2】设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这
14、个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标【解析】 椭圆方程为点的坐标为和【拓3】椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任一点，且 的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【解析】 A【备选】设为椭圆短轴上一个端点，为椭圆上一个动点，求的最大值【解析】 设、分别是椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD【解析】 D如图，设直线与轴的交点为，则又，即，又，实战演练【演练1】在平面直角坐标系中，已知顶点和，在椭圆上，则的值是_【解析】【演练2】若椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中
15、点的连线的斜率为，则的值为（ ）ABCD【解析】 B【演练3】设是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则的面积的最大值为_ 【解析】 ；【演练4】椭圆内有两点，为椭圆上任意一点，若要求最小，则这最小值是（ ）ABCD【解析】 A【演练5】设为椭圆的两个焦点，在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值【解析】 或【演练6】已知椭圆上一点，、为椭圆的两个焦点，且，求椭圆的方程【解析】 椭圆的方程为大千世界设是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有个不同的点，使组成公差为的等差数列，则的取值范围为 【解析】设，则，于是，即，由于，故，当是椭圆长轴的顶点时，可以取到等号，故可以取到，又，故99第7讲尖子-目标教师版
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