1、立体几何第14讲 14.1空间几何体知识点睛1构成几何体的基本元素：点、线、面点不考虑大小；线不考虑粗细；一条直线把平面分成两个部分面不考虑厚薄；一个平面将空间分成两个部分2多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，其余的各面都在这个平面的同一侧 截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部）3多面体的表面积和体积公式名称侧面积全面积体 积棱柱棱柱直截面周长 直棱柱棱锥棱锥各侧面面积之和正棱锥棱台棱台各侧面面积之和 正棱台表中表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长4旋转体的表面积和体积公式名称侧面积全面积体 积圆
2、柱(即)圆锥圆台球表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥的底面半径，、分别表示圆台的上、下底面半径，表示球的半径5直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图画法：斜二测画法：6三视图排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”经典精讲考点：空间几何体的体积与表面积【例1】 若将一个棱长为的正方体，切成八个全等的小正方体，则表面积增加了_ 已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为，那么此圆柱的侧面积等于_ 等体积的球和正方
3、体，表面积的大小关系是_(填，或) 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥体积为，则这个圆锥的表面积为_【解析】 尖子班学案1【拓1】 如果一个圆锥的底面半径为，侧面积为，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于_ ； 半径为的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为_ 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_；【解析】 考点：三视图【例2】 下列四个几何体中，各几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是（ ） 正方体 圆锥 三棱台 半球A B C D 一个几何体的俯视图是半径为的圆，主视图和左视图都是一个宽为，长为的矩形，则该
4、几何体的体积为_. 已知某个几何体的三视图如下左图，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积是_ 如下右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为_ 【解析】 C 目标班学案1【拓2】 一个几何体的三视图如图，请画出它的直观图，并求该几何体的体积【解析】 直观图如图，14.2空间中的平行垂直知识点睛1平面的三个公理： 公理一：， 公理二：三点不共线有且只有一个平面，使， 公理三：，2直线与平面的位置关系： 直线在平面内：直线上所有的点都在平面内，记作； 直线与平面相交：直线与平面有一个公共点；记作； 直线与平面平行：直线与平面没有公共点，记作3直线与平面平行判定：，性质
5、：，4面面平行判定：，性质：，5直线与平面垂直定义：，判定：，推论：，性质：，6面面垂直：判定：，性质：，经典精讲考点：平行垂直的判定【例3】 已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 如图，正三棱柱中，是中点，则下列叙述正确的是（ ）A与是异面直线B平面C，为异面直线，且D平面 给定下面四个命题，其中为真命题的是_若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内
6、与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直【解析】 A C 【例4】 已知直线平面，直线平面，下列命题中正确的是（ ）A B C D 已知两条互不重合的直线，两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，且，则 B若，且，则 C若，且，则 D若，且，则 设、为两两不重合的平面，、为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则，则；若，则；若，则其中真命题是_【解析】 D D 尖子班学案2【铺1】 如图，在长方体中，底面是正方形，是的中点 求证：平面； 求证：平面平面【解析】 记交于点，连接， 则为中点，又为中点，则， 平面，所以平面 因为， 所以平面，又平面， 所以平面平面【例5】 如
7、图，已知垂直于正方形所在的平面，分别是和的中点，求证：平面；【解析】 连接，为正方形，为中点在上且平分又为中点，又平面平面 取中点，连接，则又平面，所以平面，因此在中，有，于是平面，于是目标班学案2【拓2】 如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，侧面底面 若是的中点，求证：； 过侧面的对角线的平面交侧棱于，若，求证：截面侧面【解析】 ，是的中点，底面侧面，交线为，由面面垂直的性质定理，可知侧面又侧面， 如图延长与的延长线交于（在侧面中），连结，又（由棱柱定义知），在中，由平面几何定理，知，即又侧面底面，交线为，侧面又面，截面侧面，截面侧面【备选】 如图：是正方体下底面中心，为垂足求证：平面
8、【解析】 因为，所以只需再证明垂直于面上的另外一条直线即可因为，所以平面，又面，因此于是垂直于相交直线所在的平面尖子班学案3【铺1】 已知三棱锥中，底面，分别为的中点，于 求证：平面； 求证：平面平面； 若，求截面分三棱锥所成两部分的体积比【解析】 ，为中点，又底面，平面，又，平面 为的中点，结合可知平面，所以平面平面 【例6】 在长方体中，点是的中点，点是的中点， 求证：平面； 过三点的平面把长方体截成两部分几何体，求所截成的两个几何体的体积比【解析】 取边中点，连接，则， 由于为中点，则， 所以平面平面，而平面，所以平面 目标班学案3【拓2】 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，,
9、、分别为、的中点，且 求证：平面平面; 求三棱锥与四棱锥的体积之比.【解析】 由已知平面，所以平面又平面，所以因为四边形为正方形，所以又，因此平面在中，因为、分别为、的中点，所以，因此平面又平面，所以平面平面 如图，直四棱柱中，侧棱，底面是菱形，为侧棱上的动点 求证：； 当恰为棱的中点时，求四面体的体积【解析】 连结，则，平面，平面，平面， 设，连，同理，又，平面，在中，在中，大千世界（2010“华约”自主招生）在四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为（ ）ABCD【解析】 C如图，在四棱锥中，设底面对角线交于点，依题意有，则中边上的高为中边上高的一半，即，从而51高二文科第14讲尖子-目标教师版
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