1、34 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 5.1 复合函数 知识点睛 1复合函数的概念 一般地，若是 的一个函数，而 又是的一个函数，记函数的定义域yt( )yf ttx( )tg x( )yf t 为，函数的值域为，若，则也是的一个函数，即，称为A( )tg xBAB yx( ) ( )yf tf g x 复合函数，记作当时，函数的值记作 ( )yf g xxay ( )f g a 对于复合函数来讲，我们叫为内层函数，把叫外层函数 ( )yf g x( )g x( )f x 2复合函数的定义域 的定义域为，指的是的取值范围为，而不是的范围为； ( )f g xab，xab，( )g xab，
2、 已知函数的定义域为，求函数的定义域，只需由解不等式，求出；( )f xD ( )f g x( )g xDx 3复合函数的单调性 内层函数和外层函数的单调性联合决定复合函数的单调性 同增异减：当内外层函数的单调性一致（相同）时，复合函数单调递增； 当内外层函数的单调性不一致（不相同）时，复合函数单调递减 在求复合函数的单调区间问题时，要时刻关注定义域 经典精讲 考点：复合函数的概念 【例 1】 已知函数定义域为，求下列函数的定义域： f x(02)， ； 2 ()2f x 2 ()( )3f xf x 2 1 2 ()1 log (2) f x y x 已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的
3、定义域： 2 f x ；( )2f x (32)( )1fxf x 1 2 ( )1 log (2) f x y x 【解析】 定义域为； 2002， 第 5 讲 复合函数与 函数的零点 35 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 定义域为； 02， 定义域为 12， (04)， 定义域为； 2 2 3 ， 定义域为12， 尖子班学案 1 【拓 1】 若函数的定义域为，则的定义域为_( )yf x 1 2 2 ， 2 (log)fx 【解析】24 ， 目标班学案 1 【拓 2】 已知函数的定义域为，求下列函数的定义域：( )f x 12 ， ；，( )()f xfx()()f xaf xa(0)
4、a 【解析】函数定义域为； 1 1 ， ； 1212 1212 xaaxa xaaxa 当，即时，定义域为；12aa 3 0 2 a 12aa ， 当，即时，定义域为；12aa 3 2 a 1 | 2 x x 当，即时，定义域为12aa 3 2 a 【备选】已知，(，) 1 ( )log () x a f xkaa 1a kR 当时，求的定义域；1k ( )f x 若在区间0，10上总有意义，求的取值范围( )f xk 【解析】 定义域为；(0) ， 的取值范围为 k1 ， 【例 2】 已知，求，的解析式 2 ( )3f xxx 2 f x fx 已知，则_：_ 2 ( )21f xx( )1
5、g xx ( )f g x ( )1g f x 已知函数,，则 2 0 ( ) 0 xx f x xx 2 ( )3g xx _；_ ( )g f x ( )f g x 【解析】 ； 242 ()3f xxx()3fxxx ； 22 ( )2(1)1243f g xxxx 22 ( )1(21 1)121g f xxx ； 2 4 30 ( ) 30 xx g f x xx ， ， 36 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 ，则，( )03g xx 2 22 33 ( ) (3)3 xx f g x xx ， ， 即 2 42 333 ( ) 6933 xxx f g x xxx 或或 或 考
6、点：求函数的解析式 求函数解析式常用代入法，拼凑法，换元法，待定系数法 【例 3】 已知，则_； 2 122f xxx( )f x 已知，则_； 2 2 11 fxx xx f x 已知，则_ 2 2 11 11 xx f xx ( )f x 【解析】 2 1x 2 2x 2 2 1 x x 尖子班学案 2 【拓 1】 函数满足，则常数_ 3 ( ) 232 cx f xx x ， ( )f f xxc 若一次函数满足，则_( )f x ( )12f f xx ( )f x 已知，则_ 3 3 11 fxx xx f x 【解析】 3 或221x 221x ， 23 33f xx xxx ,2
7、2,x 目标班学案 2 【拓 2】 已知，则_； fxx f x 已知，且，则 。( )31f xx( )23g xx ( )( )f h xg x( )h x 【解析】， 2 f xx0x 24 33 x 考点：复合函数的单调性 【例 4】 求下列函数的单调区间： ； 2 4yxx 2 22 1 2 xx y 1 3xy 2 1 2 log43yxx 【解析】函数需满足，即定义域为， 2 40xx04， 内层函数在上单调递增，在上单调递减，(02)，(24)， 外层函数在定义域上单调递增， 37 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 2 4yxx(02)，
8、(24)， 函数的定义域为，R 内层函数在上单调递减，在上单调递增， (1)，(1) ， 外层函数在定义域上单调递减， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 2 22 1 2 xx y (1)，(1) ， 函数的定义域为，(0)(0) ， 内层函数在，上单调递减， (0)，(0) ， 外层函数在定义域上单调递增， 所以函数的单调减区间为， 1 3xy (0)，(0) ， 函数需满足，即定义域为， 2 430xx(13)， 内层函数在上单调递增，在上单调递减， (12)，(23)， 外层函数在定义域上单调递减， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 2 1 2 log43yxx(23)，(12)
9、， 尖子班学案 3 【拓 1】 求函数的单调区间 2 22 ( )log2log3f xxx 【解析】在区间上单调递减；在区间上单调递增( )f x(02)，(2) ， 目标班学案 3 【拓 2】 求函数的单调区间 2 2 43f xxx 【解析】函数在区间、单调递减，在区间，单调递增( )f x(1)，(23)，(12)，(3) ， 【例 5】 若函数在上为增函数，则的取值范围是_； 0.5 (log)xyaRa 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_； 2 log2 x f xa1，a 已知函数是上的减函数，则的取值范围是_log (2) a yax01，a 【解析】 ； 1 0 2 ，
10、；(12)， (12)， 5.2 函数的零点 知识点睛 1定义 一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点( )yf x( )0f 38 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 零点不是点，在坐标系中表示函数图象与轴的交点是点x(0)， 2零点分析法 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即( )f xab， ，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点，使得，( ) ( )0f a f b 0 ()xab， 0 ()0f x 当在上单调，且时，存在唯一一点，使( )f xab，( ) ( )0f a f b 0 ()xab， 得 0 ()0f
11、 x 在区间上有零点，不能得到( )f x()ab，( ) ( )0f a f b 经典精讲 考点：零点问题 【例 6】 已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，且，则( )yf xR( 1)(1)0ff( )yf x （ ） A在区间上有个零点 1 1 ， 2 B在区间上零点个数是偶数个 1 1 ， C在区间上零点个数可能为 1 1 ，kkN， D在区间上没有零点 1 1 ， 函数的零点所在的一个区间是( )( )e2 x f xx AB CD ( 21)或( 10) 或(01)或(12)或 已知函数，若，则函数 2 20 ( ) 0 x f x xbxcx ， ， (0)2f ( 1)1f
12、 的零点个数为_( )( )g xf xx 【解析】 C C 3 尖子班学案 4 【拓 1】 若是方程的解，则属于区间（ ） 0 x 1 3 1 2 x x 0 x A B CD 2 1 3 ， 12 23 ， 11 32 ， 1 0 3 ， 【解析】C； 【例 7】 若函数(且)有两个零点，则实数的取值范围是 ( ) x f xaxa0a 1aa 若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是( ) ( )f x( )422 x g xx 0.25 ( )f x A B C D ( )41f xx 2 ( )(1)f xx( )e1 x f x 1 ( )ln 2 f xx 【解析】 ；
13、1a A 39 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 目标班学案 4 【拓 2】 已知函数的零点至少有一个在原点右侧，求实数的范围 2 ( )(3)1f xmxmxm 【解析】的范围是 m (1， 已知函数 22 ( )lg(1)(1)1f xaxax 若的定义域为，求实数的取值范围；( )f xRa 若的值域为，求实数的取值范围.( )f xRa 【解析】 由对数函数性质可知对任意恒成立， 22 (1)(1)10axax xR 当时，经检验，满足条件， 2 10a 1a 1a 当时，需满足，解得或， 2 10a 2 22 10 (1)4(1)0 a aa 1a 5 3 a 所以实数的取值范围为
14、a 5 (1 3 ， 由对数函数性质可知需满足：函数的值域包含正实数集， 22 (1)(1)1yaxax 当时，经检验，满足条件， 2 10a 1a 1a 当时，需满足，解得， 2 10a 2 22 10 (1)4(1)0 a aa 5 1 3 a 所以实数的取值范围为a 5 1 3 ， 实战演练 【演练 1】 已知函数，则_ 8 2(0) ( ) log(0) x x f x xx ( 3)f f 【解析】1 【演练 2】 已知，则等于（ ） 2 2 1 ( )12 ( )(0) x g xxf g xx x ， 1 2 f ABCD131530 【解析】C； 【演练 3】 已知的定义域为，
15、则的定义域为_( )f x12)， 2 (1)f x 40 高二文科第 5 讲尖子-目标教师版 【解析】( 1 1) ， 【演练 4】 函数的单调递增区间是 2 0.3 log2yxx 【解析】(12)， 【演练 5】 已知，则在下列区间中，有实数解的是（ ） 2 22xf xx 0f x ABCD32或10 或23或12或 【解析】B 大千世界 （全国高中数学联赛辽宁省初赛） 设是给定的常数，是上的奇函数，且在上递减若，(01)aa( )f xR(0) ， 1 0 2 f ，那么的变化范围是_(log)0 a fx x 【解析】或 1 x a 1ax 利用奇函数关于原点对称的性质， 画出函数示意图如右，知， 11 log,0, 22 ax 解得或 1 x a 1ax 1 2 O y logax
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