1、第7讲 万有引力考试说明内容要求说明重力、万有引力万有引力定律及其应用第一宇宙速度（环绕速度）第二宇宙速度和第三宇宙速度离心现象考情分析近5年的北京高考中，万有引力一章内容除13年外均以一道简单题设置，13年以电子的匀速圆周运动考查学生对万有引力定律应用的迁移能力。所以说，万有引力定律基本属于必考点。本讲知识属于容易遗忘且学习难度较大的知识，不少同学在整个高三复习中反复地回头复习本章。所以本章讲义例题设置较多，希望能通过复习一步到位夯实本章。知识框图考点知识查缺补漏1开普勒的行星运动规律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。（轨道定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连
2、线在相等的时间内扫过相等的面积。（面积定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。即，其中代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，是一个对所有行星都相同的常量。（周期定律）的值只与中央天体的质量有关。考点知识例题精讲【例1】 一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地球位于椭圆轨道的一个焦点上，如图所示，卫星距离地球的近地点的距离为，距离地球的远地点的距离为，求卫星在点和点的速率之比。【答案】*【变式1】 如图所示为地球绕太阳运行的示意图，图中椭圆表示地球公转轨道，、分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏至、冬至时地球所在的位置。试分析为什么秋冬两季比春夏少几天？【答案】 地
3、球绕太阳运行时，对北半球的观察者而言，在冬天经过近日点，夏天经过远日点，由开普勒第二定律可知，地球在冬天比在夏天运动得快一些，从题图看出春分到秋分的春夏两季地日连线所扫过的面积比从秋分到次年春分的秋冬两季地日连线所扫过的面积大，即春夏两季比秋冬两季长一些。一年之内，春夏两季大约有186天，而秋冬两季只有179天左右。*【例2】 对于开普勒第三定律的表达式的理解正确的是A与成正比B与成反比C值是与和无关的值D值只与中心天体有关【答案】 CD*【变式2】 太空探测器进入了一个圆形轨道绕太阳运转，已知其轨道半径为地球绕太阳运转轨道半径的9倍，则太空探测器绕太阳运转的周期是A3年B9年C27年D81年
4、【解析】 因为，根据开普勒第三定律，故年。【答案】 C【变式3】 如图所示，飞船沿半径为的圆周绕着地球运动，其运动周期为。如果飞船沿椭圆轨道运动直至要下落返回地面，可在轨道的某一点处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，轨道与地球表面相切于点。求飞船由点运动到点的时间。（图中是地球半径）【答案】*考点知识查缺补漏2万有引力定律 万有引力定律的内容与公式自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量和的乘积成正比，与它们之间的距离的二次方成反比。，其中。 适用条件：质点、质量分布均匀的球体考点知识例题精讲【例3】 质量为的均匀实心球体半径为，球心为点。在球的右侧
5、挖去一个半径为的小球，将该小球置于连线上为的点，为挖去小球后空腔部分的中心，如图所示，则大球剩余部分对点小球的引力为多大？【答案】*【变式4】 海洋占地球面积的，它接受来自太阳的辐射能比陆地上要大得多。根据联合国教科文组织提供的材料，全世界海洋能的可再生能量，从理论上说近800亿千瓦，其中海洋潮汐能含量巨大。海洋潮汐是由于月球和太阳引力的作用而引起的海水周期性涨落现象。理论证明：月球对海水的引潮力与成正比，与成反比，即；同理可证明。已知地球的半径为，月球绕地球的运动可近似看做圆周运动，月地距离约为地球半径的60倍，根据题中有关数据解释：为什么月球对潮汐现象起主要作用？（，）【答案】 要解释月球
6、对潮汐现象为什么起主要作用，需要比较与的大小，所以即月球的引潮力约是太阳引潮力的倍，因此月球对潮汐现象起主要作用。*考点知识查缺补漏3万有引力与重力 在质量为、半径为的天体表面上，若忽略天体自转的影响，质量为的物体的重力，所以有。 自转不可忽略 考点知识例题精讲计算地球上空距地面处的重力加速度【例4】 设地球表面的重力加速度为，物体在距离地心为（为地球半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为，则A1BCD【答案】 D*【变式5】 为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2050年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住长降机。放开绳，升降机能到达地球上，人坐在
7、升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上。已知地球表面的重力加速，地球半径为。某人在地球表面用体重计称得重，站在升降机中，当升降机以加速度（为地球表面处的重力加速度）竖直上升，在某处此人再一次用同一体重计称得视重为，忽略地球自转的影响，求升降机此时距地面的高度。【解析】 由题意可知人的质量对人分析：，得：【答案】*计算任意天体表面附近的重力加速度【例5】 、两颗行星，质量比为，半径比为，则两行星表面的重力加速度比为ABCD【答案】 C*【变式6】 已知地球与火星的质量之比，半径之比，现用一根绳子水平拖动放在木板上的箱子，设箱子与木板之间的动摩擦因数为，在地球上拖动时，能获得的最大加速度，
8、将箱子、木板、绳子送到火星上，仍用同样的力和方式拖动木箱，求此木箱能获得的最大加速度。（）【解析】 在地球表面：在火星表面：联立各式并结合题中数据求解得。【答案】*【例6】 宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为。若抛出时初速度增大到倍，则抛出点与落地点之间的距离为，已知两落地点在同一水平面上，该星球的质量为，万有引力常数为。求该星球的半径。【答案】 自转不忽略【例7】 某星球“一天”的时间，用同一弹簧测力计在该星球的“赤道”上测某物体的重力比在“两极”处测同一物体的重力时读数小，若该星球自转的角速度加快，使“赤道”上的
9、物体会自动飘起来，这时该星球的“一天”是多少小时？【答案】*【变式7】 地球赤道上的物体重力加速度为，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的A倍B倍C倍D倍【答案】 B*考点知识查缺补漏4万有引力与向心力 天体运动近似看成匀速圆周运动。由此得出： ，即线速度； ，即角速度； ，即周期 ，即向心加速度。 近地卫星： 又叫做第一宇宙 同步卫星当是一个特殊值时，卫星的周期与地球的自转周期相等并且轨道在赤道平面内，我们把这种卫星叫做地球同步卫星。同步卫星的周期一定、角速度一定、轨道一定、环绕速度大小一定、向心加速度大小一定。考点知识例题精讲【例8】 三
10、颗人造地球卫星在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀速圆周运动，且绕行方向相同，已知。若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图所示。那么再经过卫星的四分之一周期时，卫星的位置可有是下图中的【答案】 C【例9】 在圆周轨道上运行的质量为的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径，设地球表面上的重力加速度为，则A卫星运行的速度为B卫星运行的周期为C卫星运行的加速度为D卫星运行的角速度为【答案】 BD【例10】 某人在一星球上以速度竖直上抛一物体，物体经时间落回手中，已知该星球的半径为，求这个星球上的第一宇宙速度。【答案】*【变式8】 已知月球的质量是地球质量的，月球半径是地球半径的，在离月球表面
11、高处让质量的物体自由下落，已知地球表面的重力加速度。求： 月球表面的重力加速度是多大？ 物体下落到月球表面所用的时间是多少？ 月球的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的多少倍？【解析】 对星球表面上质量为的物体：所以即所以 由得 由得所以【答案】 *【例11】 同步卫星离地心距离为，运行速率为，加速度为，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球的半径为，如图所示，则下列比值正确的是ABCD【答案】 AD*【变式9】 如图所示，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球同步卫星。关于、做匀速圆周运动的说法中正确的是A角速度的大小关系为B向心加速度的大
12、小关系为C线速度的大小关系为D周期关系为【解析】 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得，对于人造卫星和地球同步卫星，有：，可见，越大，向心加速度越小，角速度越小，线速度越小，周期越大，故，排除A；为地球同步卫星，所以，D对；由于向心加速度为，所以，B错；线速度，所以，C错。【答案】 D*考点知识查缺补漏5有关万有引力的五种经典问题 求中心天体质量和密度问题 卫星追及问题两天体（行星、卫星或探测器）相遇，实际上是指两天体相距最近。若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近。两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时则相距最远
13、。设卫星1（离地球近些）与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的整数倍，则两卫星又相距最近，即；如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，即， 卫星变轨 双星问题天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，如图所示。 双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力且大小相等； 具有相同的周期和角速度 轨道半径和质量成反比，（其中为双星间距） 双星总质量考点知识例题精讲求中心天体质量和密度问题【例12】 已知万有引力常量，根据下列哪组数据可
14、以计算出地球的质量A卫星距离地面的高度和其运行的周期B月球自转的周期和月球的半径C地球表面的重力加速度和地球半径D地球公转的周期和日地之间的距离【答案】 C*【变式10】 下图为中国月球探测工程的标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想。一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高处以初速度水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为。通过查阅资料知道月球的半径为，引力常量为，若物体只受月球引力的作用，请你求出： 月球表面的重力加速度； 月球的质量； 环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率是多少？【解析】 设月球表面的重力加速度为，取
15、水平抛出的物体为研究对象，有，得。 取月球表面的物体为研究对象，它受到的重力与万有引力相等，即，得。 环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动的半径为，万有引力充当向心力，故有（为飞船质量），所以。【答案】 *【例13】 一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体。要确定该行星的密度，只需要测量A飞船的轨道半径 B飞船的运行速度 C飞船的运行周期 D行星的质量【答案】 C卫星追及问题【例14】 如图所示，是地球的同步卫星。另一卫星的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为。已知地球半径为，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为，为地球中心。 求卫星的运行周期； 如卫星的绕行
16、方向与地球自转方向相同，某时刻两卫星相距最近（在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？【答案】 【例15】 发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运动，最后再次点火，将卫星送入轨道3，轨道1、2相切于点，轨道2、3相切于点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C卫星在轨道1上经点时的加速度大于它在轨道2上经点时的加速度D卫星在轨道2上经点时的加速度等于它在轨道3上经点时的加速度【答案】 BD【例16】 在天文学上把两个相距较近，
17、由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星。已知两颗恒星质量分别为、，两星之间的距离为，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角速度。【答案】 （引申： 当时，； 当时，。这正是我们已熟知的人造地球卫星的运转模型。）*（选讲）卫星遮挡问题1.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为和，地球和月球的半径分别为和，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为和，月球绕地球转动的周期为。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月
18、连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用、和表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)。【解析】 如右图所示，和分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，是地月连心线与地月球面的公切线的交点，、和分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于点。卫星在上运动时发出的信号被遮挡。设探月卫星的质量为，万有引力常量为，根据万有引力定律有 式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。由式得设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有 式中，由几何关系得 由式得【答案】*63第五级（上）第7讲教师版（腾飞）
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