1、4.数的整除知识要点梳理一、整除意义整数a除以整数b(bO)，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除;或者说b能整除a。整除的条件:1.除数、被除数都是整数。2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零。二、因数和倍数1.如果ab=c(且a、b、c均为非0自然数)，那么我们说。就是a与b的倍数，a与b就是。的因数，因数和倍数是相互依存的。我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。2.一个数因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身;一个数倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3.求一个数因数的方法:利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘
2、积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。如16=116=28 =44，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。4.求一个数倍数的方法:这个数本身分别乘以1、2、3、4、5(即正整数)得到的积就是这个数的倍数。三、常见数的倍数的特征2的倍数的特征:数的个位是0,2,4,6,8。5的倍数的特征:数的个位是0,5。3的倍数的特征:数的各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。9的倍数特征:数的各个数位上数字的和是9的倍数。4或25倍数的特征:数的末两位数是4或25的倍数。8或125的倍数特征:数的末三位数是8或12
3、5的倍数。7、11、13倍数特征:数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大减小)是7、11或13的倍数。11倍数特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除，那么它必能被11整除。四、质数、合数、分解质因数1.若一个数的因数只有1和它本身，这个数就是质数，也叫素数。最小的质数是2，也是质数中唯一的偶数。2.若一个数的因数除了1和它本身外还有其他的因数，这个数就是合数。最小的合数是4。3.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。4.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。5.分解质因数的方法
4、:把一个合数分解质因数，通常运用短除法。6.1既不是质数也不是合数。五、奇数和偶数1.在自然数中，不是2的倍数的数叫奇数，奇数的个位数字一定是1、3、5、7、9。2.在自然数中，是2的倍数的数叫偶数，偶数个位数字是0,2,4,6,8的数。0是偶数。3.相邻两个自然数之和为奇数，相邻自然数之积为偶数。4.求奇、偶数的方法偶数偶数=偶数 奇数奇数=偶数奇数偶数=奇数 偶数偶数=偶数奇数奇数=奇数 奇数偶数=偶数六、最大公因数和最小公倍数1.几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。2.如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互质。(a.互质是两个数之间，质数是
5、指一个数，互质的两个数的最大公因数就是1。b.两个互质的数未必都是质数。c.两个不同的质数一定互质。)3.两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。4.几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 考点精讲分析典例精讲考点1 整除的意义【例1】在下面算式中，被除数能被除数整除的有( )。A.265=5.2 B.357=5C.0.90.3=3 D.227=3【精析】A. 26=5=51，因为有余数1，所以被除数不能被除数整除。B.357=5，被除数、除数、商都是整数且余数为零，则被除数能被
6、除数整除。C.0.90.3=3，被除数、除数都为小数，不符合整除的意义。D.227 =31，因为有余数1，不符合整除的意义。重点提示整除与除尽的区别除尽 整数2.65=5.2 357=50.90.3=3【答案】B【归纳总结】整除特点:被除数和商都是整数，除数是非0自然数且余数为0；除尽的特点:被除数、商和除数(除数不为0)既可以是整数也可以是有限小数，余数为0。考点2因数和倍数【例2】 18的因数共有( )个。【精析】 1118=18,1和18是18的因数；29=18,2和9是18的因数；36=18,3和6是18的因数；所以18的所有因数是1,2,3,6,9,18，共6个。【答案】6【归纳总结
7、】要求一个数的因数有几个，首先一一列出它所有的因数，然后数出它因数的个数。【例3】下列算式中被除数是除数倍数的是（ ）。A.120.3 B.1.20.3C.123 D.3535【精析】A. 120.3中0.3是小数不符合倍数的意义；B.1.20.3中1.2和0.3都是小数不符合倍数的意义；C.123中12和3都是自然数，而且整除，即12是3的倍数。D. 3535中被除数和除数都是分数，不符合倍数的意义。【答案】C【归纳总结】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数。考点3 2，3，5倍数特征【例4】 73既是2的倍数，又是5的倍数，同时也是3的倍数，求这个四位数。【
8、精析】本题考查2,3,5的倍数的特征。一个数同时是2,3,5的倍数，这个数个位上的数字一定是0，并且各个数位上的数字之和是3的倍数，所以这个四位数百位上的数字是2,5和8。【答案】这个四位数是7230 , 7530和7830。【归纳总结】明确2、3、5的倍数特征：一个数个位上的数字是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。考点4 最大公因数和最小公倍数【例5】将A,B分解质因数分别是:A =27ll,B=5711,A,B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【精析】本题中，A和B已被分解质因数，我们可以看出，A和B的公有质因数是7和11,所以它们的最大公因数是711=77。A和B除了公质因
9、数7和11，还分别独有质因数2和5，所以它们的最小公倍数是7x11 x2x5=7700【答案】77 770【归纳总结】可以通过增加一部分或减少一部分的方法使得所求问题转化为已知数的最小公倍数。考点5 最大公因数的应用题【例6】一个长方形，长0.8米，宽60厘米。现在把长方形分成若干个正方形，要使正方形的边长尽可能长，并且长方形的长、宽没有剩余，可以分多少个正方形?【精析】要使正方形的边长尽可能地长，并且长方形的长、宽没有剩余，即求长和宽的最大公因数。【答案】0.8米=80厘米80=2222560=223560和80的最大公因数是20,所以正方形的边长为20厘米。最多能分成(8020) (602
10、0)=43=12(个)答：可以分12个正方形。【归纳总结】根据最大公因数是两个数的共有质因数，用最大共因数求 “最长”，长和宽除以最大公因数的得数相乘。名题精析【例】(西安某工大附中分班)一箱玻璃弹子有若干颗(不多于1000颗)。如果按2颗一次，或3颗一次，或4颗一次，或5颗一次，或6颗一次取出时，最后箱子里总是还剩下一颗。如果按7颗一次取出时，箱子里就一颗也不剩。问:箱子中原来最多有多少颗玻璃弹子?【精析】本题考查公倍数和最小公倍数，求公倍数的方法。先求出2、3、4 、5、6的最小公倍数，然后根据题意要求扩大，最后加1，看是否是7的倍数。【答案】2,3,4,5,6+1=60+1 =61，61
11、+604=301是满足条件的最小数。2,3,4,5,6,7= 420，满足条件的最大数位301 +420 =721。答:箱子中原来最多有721颗玻璃弹子。【归纳总结】本题属于求公倍数和最小公倍数，解题的关键是掌握求公倍数的方法。注意数字之间的倍数关系。毕业升学训练一、填空题1.在20以内的自然数中，既是奇数又是合数的数是( )。2.一个数既是25的倍数，又是25的因数，这个数是( )。3.分母为91的最简真分数有( )个。4.如果a是偶数，那么与它相邻的两个偶数是( )和( )。5.48的因数有( )个。6.一个三位数，同时是5和7的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。7.四位数，“3
12、AA1”是9的倍数，那么A=( )。8.在25A79这个数的A处内填上一个数字，使这个数能被11整除，A应填( )。9.能同时被2、3 、5整除的最大三位数是( )。10.有A,B,C,D四个自然数，A和B的最小公倍数是36, C和D的最小公倍数是90, A, B, C, D四个数的最小公倍数是( )。11.把长，宽，高分别是150厘米，90厘米，60厘米的长方体木料，锯成大小一样的正方体木块没有剩余，最少可以锯成( )块。12.( )与60的最大公因数是12，最小公倍数是120。二、选择题1.13的倍数是( )。A.合数 B.质数C.可能是合数，也可能是质数2.甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的
13、因数，那么甲数是丙数的( )。A.倍数 B.因数 C.无法确定3.如果用a表示非零自然数，那么偶数可以表示为( )。A.a+2 B.2a C.a-1 D.2a-14.一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是( )。A.合数 B.奇数 C.质数5.相邻两个自然数的积一定是( )。A.质数 B.合数 C.奇数 D.偶数6.从256里至少减去( )，才能使得到的数同时是2、3和5的倍数。A.6 B.16 C.26 D.367.自然数(0除外)按因数的个数分，可以分为( )。A.奇数和偶数 B.质数和合数C.质数、合数和18.a+3的和是奇数，a一定是( )。A.质数 B.合数 C.奇数 D
14、.偶数9.从0、1、4、5这四个数字中选择三个不同的数字，组成既是3的倍数，又是2的倍数的三位数，有( )种不同的组法。A.2 B.4 C.3 D.5三、解决问题1.一个长方形周长是16米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平方米?2.两个两位自然数，它们的最大公因数是8，最小公倍数是96，这两数的和是多少?3.已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人。将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人。这个学校六年级学生有多少人?4.有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是360。他们中年龄最大是多少岁?5.分一堆苹果，平均每份3个，剩下1个；
15、平均每份5个，剩下3个;平均每份7个，剩下5个。这堆苹果最少有多少个?6.有10名同学参加数学竞赛，每张试卷上有20道题。评分方法是答对一题得5分，不答得1分，答错一题倒扣1分。求这10名同学的总分是奇数还是偶数。7.从甲地到乙地原来每隔45米要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有65根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还要有多少根不必移动?冲刺提升一、填空题1.(临川某中入学)如果A =3B，那么A和B的最大公因数是( ),A和B的最小公倍数是( )。2.(南昌某中学入学)在6、10、18、51这四个数中，( )既是合数又是奇数，( )和( )互质。3.(成
16、都某中学分班)A、B两个数是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数( )。4.(西安某交大附中分班)把A分解质因数是A=abc( ),A的因数有( )个。5.(抚州某一中入学)贝贝用一些长6厘米，宽4厘米长方形纸板拼图形，至少( )张就能拼成一个正方形。6.(成都高新某中入学)A=2237,B=2227,A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。7.(陕西某师大附中入学)若m-n =1(m,n均为不等于0的自然数)，则m,n的最小公倍数是( )。8.(陕西某师大附中入学)把自然数a和b分解质因数得到:a=257m,b=35m，如果a和b的最小公倍数是2310，那么m=( )。9.(
17、西安某工大附中)四名学生恰好一个比一个大一岁，年龄的积为5040，这四名同学的年龄从小到大的顺序是( )( )( )( )。10.(临川某一中入学)边长为正整数，面积为165平方厘米的形状不同的长方形共( )种。11.(西安某工大附中分班)甲乙两数的最小公倍数是78，最大公因数是13，已知甲数是26，乙数是（ ）。二、判断题1.(南昌某中学入学)含有约数2的自然数一定是偶数。( )2.(成都某外国语学校入学)一个数的最大约数就是它的最小倍数。( )三、解决问题1.(西安某工大附中分班)有一水果店一天中共进了6筐水果，分别装着香蕉和橘子，质量分别为8、9、16、20、22、27千克，当天只卖了1
18、筐橘子，在剩下的水果中，香蕉质量是橘子质量的2倍。那么，当天共进了几筐橘子?2.(西安某工大附中分班)小明用216元去买一种奥运纪念册，正好将钱用完，回家后，他想如果每本纪念册能便宜1元，那么他就可以多买3本，钱也正好用完。那么，纪念册的单价是多少元?3.(江西某师大附中入学)在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数。甲乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的乘积是1764，但是甲的总环数比乙的少4环，求甲乙的总环数。4.数的整除毕业升学训练一、1. 9 2.25 3.88 4.a-2 a+2 5.10 6.105 980 7.7 8.19.990 1
19、0.180 11.30 12.24二、1.C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.D 9.D三、1.【解析】162=8( 米) 8=3+5 35=15(平方米)答:这个长方形面积是15 平方米。2.【解析】8=22296=222223因为这两个数最大公因数是8,最小公倍数是96,所以这两个数只能是22222=32和2223=24；这两个数的和是32 +24=56。答:这两数的和是56。3.【解析】12=2238=22212,8=24则在100 和140 之间24 的倍数是120,120+3=123(人)答:这个学校六年级学生123 人。4.【解析】360=222335=3456
20、答:他们中年龄最大是6岁。5.【解析】3,5,7 的最小公倍数是105这堆苹果是105-2=103(个)答:这堆苹果最少有103个。6.【解析】此题考查奇数和偶数。假设一个人20 道题都答对了,则应得5 20= 100( 分) 是偶数;；如果有一道题不答,就失去5-1=4(分)是偶数；如果有一道题答错,就失去5 +1=6（分）是偶数。因此,答对、答错或不答几道题,每个人的得分都是偶数。答:这10 名同学的总分是偶数。7.【解析】45 (65-1)=2880( 米)45,60 的最小公倍数是1802880180=16(根)16-1=15(根)答:除两端两根不需移动外,中途还要有15 根不必移动。
21、冲刺提升一、1.B A 2.51 10 51 3.1 AB 4.a,b,c 均为质数 8 5.6 6.28 168 7.mn 8.11 9.7 8 10.4 11.39二、1. 2.三、1.【解析】 香蕉质量是橘子质量的2 倍,2+1=3。8+9+16+20+22+27=102(能被3整除)所以:卖掉的只有9,或27 这两筐。(102-9)3=31千克,剩下的筐中找不到加起来和是31的筐。(102-27) 3=25,25=9+16。(102-27)3=25(千克)由条件可知,94克,164 克的是橘子,剩下的是香蕉,故当天共进了3 筐橘子。答: 卖掉的是27 千克的那一筐。2.【解析】216=
22、222333=8932169=24(本) 2168=27(本)答:他所买的纪念册的单价是9 元。3.【解析】依题知,每射一箭的环数，只能是下列11个数中的一个:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,而甲、乙5 箭总环数的积17640,这说明在甲、乙5 箭得到的环数里没有0 和10,而1764 =1223377 是由5 箭的环数乘出来的,于是推知每人有两箭中的环数都是7,从而可知另外3 箭的环数是5个数:1,2,2,3,3 经过适当的分组之后相乘而得到的，可能的情形有5 种:(1)1,4,9；(2)1,6,6；(3)2,2,9；(4)2,3,6；(5)3,3,4.因此,两人5 箭的环数有5 种可能:6,6,0,3,9 和是28；6,6,0,5,6 和是27；6,6,1,1,9 和是27；6,6,1,2,6 和是25；6,6,2,2,4 和是24.因为,甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少,所以，甲的总环数是24,乙的总环数是28,答: 甲的总环数是24,乙的总环数是28。
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