1、16、比和比例问题知识要点梳理一、比例尺应用题在比例尺应用题中，图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式是：图上距离实际距离比例尺，三个相关的量中，知道任意两个量，就可以根据关系式，求出另一个量。在计算中，要注意各种量的单位要统一。二、按比例分配的应用题把一个数量按照一定的比分配成几部分。按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上解决的。关键是要根据各部分之比，确定各部分量与总量之间的关系，即各部分占总量的几分之几，然后按照“求一个数的几分之几是多少”的问题。三、正、反比例应用题正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系，关系式是：yx（一定）；反比例应用题中的各种相关联的数量有
2、反比例关系，关系式是：（一定）。四、解答正、反比例应用题的一般方法与步骤找出题目中两种相关联的量，并分析判断是成正比例，还是成反比例。设未知数为，并注明单位名称。根据比值（一定）或积（一定）建立比例式，并解比例。检验，写答语。考点精讲分析典例精讲考点1 按比例分配的应用题【例】希望小学要种一批树共390棵，按照三个班的人数来分配。一班有42人，二班有45人，三班有43人，三个班各应植树多少棵？【精析】这是一道把390棵植树任务按三个班人数之比42：45：43进行分配的问题。要分的总数是390，总份数是42+45+43=130。其中一班占总数的42130，二班占总数的45130，三班占总数的43
3、130，要求各班应植树的棵数，实际上是分别求390的42130，45130，43130各是多少。【答案】解法一：按比例分配法42+45+43=13039042130126（棵）39045130135（棵）39043130129（棵）解法二：份数解法390（42+45+43）3（棵）342126（棵）345135（棵）343129（棵）答：一班应植树126棵，二班应植树135棵，三班应植树129棵。考点2 比例尺应用题【例】下面是学校操场的示意图。求这个操场的实际周长和面积。【精析】要求出长方形操场的实际周长和面积，必须先根据图上距离和比例尺求该操场的实际长和宽。【答案】解法一：用比例做方程解。
4、设操场的实际长为厘米，宽为厘米。根据题意列比例方程：4.415000 3.2150004.45000 3.25000220001600022000厘米220米 16000厘米160米操场的周长：（220+160）2760（米）操场的面积：22016035200（平方米）解法二：根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系解。实际长为：4.41500022000（厘米）220（米）实际宽为：3.21500016000（厘米）160（米）操场的周长：（220+160）2760（米）操场的面积：22016035200（平方米）解法三：根据图距，实距之间的倍数关系来解。（）图上厘米相当于实际距离多少米？5
5、000厘米50米（）实际长为几米？504.4220（米）（）实际宽为几米？503.2160（米）（）操场的周长：（220+160）760（米）（）操场的面积：22016035200（平方米）答：操场的周长760米，面积为35200平方米。【归纳总结】这道题要注意单位的换算和比例尺的应用。考点3 正、反比例应用题【例】同学们小时制作了165件工艺品，照这样计算，制作220件工艺品需要多少小时？【精析】数量关系是“工艺品件数所需时间每小时制作的工艺品件数（一定）”。商一定，所以工艺品的件数和所需要时间是成正比例的量。可直接列方程求解。【答案】设需要小时。1653220 165220答：需要小时。【
6、归纳总结】本题中“同学们每小时制作多少工艺品”是定量，“需要制作的工艺品件数”和“需要的时间”是两个相关联的量。【例】收获机械厂生产一批脱粒机，计划每天生产32台，30天完成，实际每天生产40台，实际需要多少天就可以完成生产任务？【精析】数量关系是“每天生产的台数天数生产的总数（一定）。”积一定，所以每天生产的台数与所需的天数是成反比例的量。可直接列方程求解。【答案】设实际需要天就可以完成生产任务。40323024答：实际需要24天就可以完成生产任务。【归纳总结】本题所要生产的“一批脱粒机”的台数是定量，每天生产与所需要的天数是两个相关联的量。考点4 比例应用题【例】有大小两筐苹果，大筐苹果与
7、小筐苹果单价比，其重量比是，把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果，按单价为每千克4.4元出售，若总销售价不变，大小两筐苹果原价各是多少？【精析】知大、小苹果总价比，又知总价1004.4按比例分配两次。一次是大、小数量，一次是大、小总价。此时易求出原单价。【答案】（）（）10022+340（千克）1004060（千克）1004.4440（元）44055+6200（元）200405（元）（440-200）60（元）答：大筐苹果单价是元，小筐苹果单价是元。【归纳总结】已知单价比和重量比可求出复比。名题精析【例】（西安交大附中入学）一个圆柱和一个圆锥的体积比是，底面半径比是，圆柱与圆锥的高之比是
8、（）（）。【精析】本题要求圆柱与圆锥高之比，反用公式体积除以底面积。本题中没有相关的具体数据，可以将题目中的比当做具体数量来算。这样圆柱的体积是，底面半径是，圆锥的体积是，底面半径是，再根据圆柱和圆锥的体积公式进行计算就可以。【答案】（）（）16【归纳总结】本题在列式计算时，圆周率取先不要算，最后在约分，这样可以使计算简便，其实，这实质是活用转化。圆周率不变，半径的平方比就是面积比。【例】（西安高新某中入学）甲、乙、丙三批货物总价值2580万元，甲、乙、丙三批货物的质量比为，单位质量的价格比为，问这三批货物各值多少万元？【精析】甲货价乙货价丙货价（甲单价甲物重）（乙单价乙物重）（丙单价丙物重）
9、，可求出三批货物的价值比为（）（）（）151612，按比例分配。【答案】三批货物的价值比为（）（）（）15161225801515+16+12900（万元）25801615+16+12960（万元）25801215+16+12720（万元）答：甲、乙、丙三批货物分别值900万元、960万元、720万元。【归纳总结】已知总数为货物总价值，应按货物价值的比例进行分酬。货物价值单价质量。毕业升学训练一、填空题在一张精密的零件图纸上，量的零件长是40毫米，这个零件的实际长度是毫米，这幅图纸的比例尺是（ ）。在比例尺是600000的地图上，量得两地的距离是厘米，这两地的实际距离是（ ）。一个长方形操场，
10、长120米，宽80米，如果把它画在比例尺是2000的图纸上，则长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米。甲乙两数的和是72，甲数的32相当于乙数的34，甲数是（ ），乙数是（ ）。一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ）三角形。二、选择题在地图上量得甲、乙两地长厘米，甲、乙两地实际距离是千米，地图上的比例尺是（ ）。160000 160000016000000 160000000在比例尺是1000000的地图上，50千米的距离在地图上应画（ ）厘米。0.5 10 50某小学男生人数与女生人数的比是，男生比女生多的人数占全校人数的（ ）。611 511 111有一种药水重20.2千克，药和水的重量
11、比是100，其中水重（ ）千克。0.2 20 20.2把一批图书按照分配给甲、乙、丙三个班，已知甲班分得15本，这批图书一共有（ ）本。50 60 40 70某班学生为失学儿童捐款640元，女生捐的钱与男生捐的钱之比是，王明根据上面的条件，得到下面四个结论，其中错误的是（ ）。女生比男生多捐款23 男生比女生少捐款23男生共捐款240元 男生比女生少捐款25三、解决问题在比例尺是12000000的铁路运行图上，量得甲、乙两城间的铁路线长是3.6，将它画在比例尺4000000地图上，甲、乙两城之间的图上距离是多少？两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的质量比是，另一块合金中铜与锌的质量比是。现将两
12、块合金合成一块，求新合金中铜与锌的质量比。甲、乙两个仓库共存粮1680吨，已知甲仓库存量的13等于乙仓库存粮的14，求甲、乙两个仓库各存粮多少吨？甲种糖每千克元，乙种糖每千克5.4元。现在要求混合后的糖价为每千克4.8元，求甲、乙两种糖的质量比。一架飞机所带的燃料最多可以用小时。飞机去时顺风，每小时飞行750千米；返回是逆风，每小时飞行600千米。这架飞机最多飞出去多少千米就必须往回飞？红队和蓝队的同学都积攒了一些零用钱，两队所积攒的钱数比是，在献爱心活动中，红队捐了48元，蓝队捐了20元，这时两队的钱数相等，红队原来积攒了多少钱？一个等腰三角形底和底边上的高之比是，把它沿底边上的高剪开，拼成
13、一个长方形后，长方形的面积是48平方厘米，那么长方形的周长是多少厘米？冲刺提升一、填空题（成都某一中入学）一个三角形的三个内角的度数比是，这个三角形是个（ ）三角形。（西安某交大附中入学）如图，线段上有一点，且，则长为（ ）。（西安某工大附中分班）一张精密零件图纸的比例尺是。在图纸上量得某个零件的长度是25毫米，已知这个零件的长与高之比，则该零件的实际高度是（ ）。（宝鸡高新某中入学）地和地之间相距1200千米，画在一副比例尺为4000000的地图上，这两个城市之间的图上距离应该画（ ）厘米。（西安某西工大附中分班）有一个机器零件长毫米，画在设计图纸上长20厘米，这幅图的比例尺是（ ）。（西安
14、某交大附中入学）在比例尺是5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离为24厘米，若一架飞机以每小时600千米的速度从甲地运往乙地，需要（ ）小时。（西安某工大附中分班）两个圆的周长之比是，面积相差是102，两个圆的面积之和是（ ）2。（西安某铁一中分班）一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。已知这个圆柱与这个圆锥的体积之比是，这个圆锥的高是54厘米，这个圆柱的高是（ ）厘米。（南昌某中入学）一幅地图的比例尺是6000000，图上地到地的距离为20厘米，一列火车从地出发到地需要10小时，则该火车的速度为（ ）千米时。10（成都某中学入学）三个分数的和是338，它们的分母相同，分子的比为，则最大的
15、分数为（ ）。11（西安高新某中入学）如图，把一个长与宽的比为的大长方形分成如图所示的个面积相等的小长方形，则长方形中，的比值等于（ ）。二、选择题（西安某铁一中分班）乙数比甲数少40，甲数和乙数的比是（ ）。（西安某铁一中分班）如果一个圆的半径是厘米，则，那么这个圆的面积是（ ）平方厘米。 、无法求出（西安某交大附中入学）在比例尺是4000000的地图上，量得、两港的距离是，一艘货轮上午时以每小时24千米的速度从港开往港，到达港的时间是（）。晚上10时 早上10时晚上时 早上时（陕西某师大附中入学）甲数的 16是乙数的 15，则甲数与乙数的最简整数比为（ ）。 15 15（西安某交大附中入学
16、）圆柱与圆锥的底面积之比是，高的比是，它们的体积之比是（ ）。 15 15 （西安某交大附中入学）已知，那么和成（ ）比例；已知，那么和成（ ）比例。正，正 正、反 反、正 反、反（西安某铁一中分班）在比例尺是5000的图纸上，画一个边长为厘米的正方形草坪图，正方形草坪图的实际面积是（ ）平方米。5000 40000100 400000000三、解决问题（西安某交大附中入学）有三堆煤共重27吨，如果从第一、第二堆中各运出1.5吨到第三堆，这时第一、第二、第三堆煤的重量比是，这三堆煤原来各多少吨？（西安某工大附中分班）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示。一天，通过该收费站的大型车和中型
17、车的辆数之比是，中型车与小型车的辆数之比是，小型车的通行费总数比大型车多270元。（）这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆？（）这天收费总数是多少元？大型车：30元/辆中型车：15元/辆小型车：10元/辆（西安某铁一中入学）运一批货物，运走的与剩下的比为，如果再运走吨，那么剩下的货物只占原有货物的25，这批货物原有多少吨？（江西某师大附中入学）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，且下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积。小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯水的高度比变为。若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少
18、厘米？底面积（平方厘米）甲杯60乙杯80丙杯100（西安曲江某中入学）甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？（西安曲江某中入学）两个城市相距380千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，经过小时后相遇。已知客车和火车的速度比是11，求客车的速度。16. 比和比例问题毕业升学训练一、1. 5 2.30km 3.6 4 4.40 32 5.钝角二、1.C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B三、1.【解析】3.612000000=43200000（厘米） 43200000=10.8（厘米）答：
19、甲、乙两城之间的图上距离是10.8厘米。2. 【解析】铜与锌的质量比=（21）：（53）=2:15答：新合金中铜与锌的质量比2:153. 【解析】甲仓库存粮：乙仓库存粮=4:3乙仓库的存粮：1680=720（吨）甲仓库存粮：1680-720=960（吨）答：甲、乙两个仓库存粮960吨、720吨。4. 【解析】（5.4-4.8）：（4.8-3）=0.6：1.8=1:3答：甲、乙两种糖的质量比是1:35. 【解析】设去时用了x小时，返时用了（6-x）小时。750x=600（6-x） x2.672.67750=2002.5（千米）答：最多飞出去2002.5千米就必须往回飞。6. 【解析】设两队所攒钱
20、数每份x元。9x-48=5x-20 x=79x=97=63（元）答：红队原来积攒了63元。7.【解析】设长方形的长为4x，宽为3x4x3x=48 x=242=8 32=6 （8+6）2=28（厘米）答：长方形的周长是28厘米。冲刺提升一、1.钝角 2. 3.3毫米 4.30 5.40:1 6. 27.26cm2 8.3 9.120 10. 11.9:4二、1.D 2.B 3.A 4.A 5.D 6.B 7.B 8.B3、 【解析】27=4.5（吨） 27=13.5（吨） 27=9（吨）第一堆：4.5+1.5=6（吨）第二堆：13.5+1.5=15（吨）第三堆：9-3=6（吨）答：第一堆煤原来有
21、6吨，第二堆煤原来有15吨，第三堆原来有6吨。2. 【解析】（1）车辆数：大：中：小=10：12：33大型车和小型车通行费用的比：（3010）：（1033）=10:11一份为：270（11-10）=270（元）27010=2700（元）27011=2970（元）270030=90（辆）297010=297（辆）（9010）12=108（辆）答：大型车有90辆，中型车有108辆，小型车有297辆。（2）15108=1620（元）2700+1620+2970=7290（元）答：这天收费总数是7290元。3. 【解析】30（）=100（吨）答：这批货物原有10吨。4. 【解析】10（60+80+100）=2400（立方厘米）底面积之比：60:80:100=3:4:5甲乙丙水的体积比是=（33）：（44）：（55）=9:16:25甲杯内水的高度：240060=7.2（厘米）答：甲杯内水的高度变为7.2厘米。5. 【解析】400+4002=600（袋）600（-1）（1+）=1200=4000（袋）答：三个仓库共存面粉4000袋。6. 【解析】设客车的速度是11x千米/小时，则货车的速度是8x千米/小时。411x+48x=380 76x=380 x=5115=55（千米/小时）答：客车的速度是55千米/小时。
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