1、2018 年浙江省杭州市萧山区中考数学二模试卷年浙江省杭州市萧山区中考数学二模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 2 （3 分）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A B C D 3 （3 分）下列变形正确的是（ ） Aa6a2a3 B12a+4b12（a+2b） Cx22x3（x1）21 D1a+a2（a1）2 4 （3 分）如图，AB 与 CD 相交于点 E，ADBC，CD16，则 DE 的长为（ ） A3 B6
2、C D10 5 （3 分）同一根细铁丝可以折成边长为 10cm 的等边三角形，也可以折成面积为 50cm2的 长方形设所折成的长方形的一边长为 x，则可列方程为（ ） Ax（10x）50 Bx（30x）50 Cx（15x）50 Dx（302x）50 6 （3 分） 如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速 （单位： 千米/时） 情况 则 这些车的车速的众数、中位数分别是（ ） 第 2 页（共 27 页） A8，6 B8，5 C52，53 D52，52 7 （3 分）在平面直角坐标系中，有一条线段 AB，已知点 A（3，0）和 B（0，4） ，平移 线段 AB 得到线段 A1
3、B1若点 A 的对应点 A1的坐标为（0，1） ，则线段 AB 平移经过的 区域（四边形 ABB1A1）的面积为（ ） A12 B15 C24 D30 8 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCRt已知A，外角DCE，BCa， CDb，则下列结论错误的是（ ） AADC90+ B点 D 到 BE 的距离为 bsin CAD D点 D 到 AB 的距离为 a+bcos 9 （3 分）如图，ABC 中，ABAC5，BC6，ADBC 于点 D，点 E 是线段 AD 上一 点，以点 E 为圆心，r 为半径作E若E 与边 AB，AC 相切，而与边 BC 相交，则
4、半 径 r 的取值范围是（ ） Ar Br4 Cr4 Dr 10 （3 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从 A 出发，沿 ABC 方向运动，当点 E 到 达点 C 时停止运动，过点 E 作 EFAE 交 CD 于点 F，设点 E 运动路程为 x，CFy，如 第 3 页（共 27 页） 图 2 所表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象， 给出下列结论： a3； 当 CF时， 点 E 的运动路程为或或，则下列判断正确的是（ ） A都对 B都错 C对错 D错对 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）因式
5、分解：x34x 12 （4 分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 5 个小球，其中红球 3 个，黑球 2 个， 先从袋中取出 m（m1）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出 1 个球将“摸出黑球” 记为事件 A （1）若 A 为必然事件，则 m 的值为 ； （2）若 A 发生的概率为，则 m 的值为 13 （4 分）如图，直线 a，b 分别与直线 c，d 相交，且1+3135，2345， 若3，则4 的度数为 14 （4 分）如图，在O 的内接六边形 ABCDEF 中， A+C220，则E 15 （4 分）已知
6、点 M 是函数 yx 与 y的图象的交点，且 OM4，则点 M 的坐标 为 第 4 页（共 27 页） 16 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，2） ，点 B（3m，2m+1） ，点 C（6， 2） ，点 D （1）线段 AC 的中点 E 的坐标为 ； （2）ABCD 的对角线 BD 长的最小值为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）计算： （2018）2+2017（2019） 18 （8 分）某学校为了解本校九年级学生期末考试数学成续情况，决定进行抽样分析，已 知该校九
7、年级共有 10 个班，每班 40 名学生，请根据要求回答下列问题： （1）若要从全年级学生中抽取一个 40 人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的 有 （只要填写序号） 随机抽取一个班级的学生；在全年级学生中随机抽取 40 名男学生：在全年级 10 个班中各随机抽取 4 名学生 （2）将抽取的 40 名学生的数学成绩进行分组，并绘制频数表和成分布统计图（不完整） 如表格、图：C、D 类圆心角度数分别为 ；估计全年级 A、B 类学生人数大 约共有 成绩（单位：分） 频数 频率 A 类（80100） 0.3 B 类（6079） 0.4 C 类（4059）
8、 8 D 类（039） 4 （3） 学校为了解其他学校数学成绩情况， 将同层次的 G 学校和 J 学校的抽样数据进行对 比，得下表：你认为哪所学校教学效果较好？说明你的理由 学校 平均数（分） 方差 A、B 类频率和 G 学校 87 520 0.7 J 学校 87 478 0.65 第 5 页（共 27 页） 19 （8 分）如图，ABC 中，D 是 AC 上一点，E 是 BD 上一点，ACBDDCE （1）求证：ABCCDE； （2）若 BD3DE，试求的值 20 （10 分）已知关于 a 的不等式组 （1）求此不等式组的解； （2）试比较 a3 与的大小 21 （1
9、0 分）边长为 a 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BD 上一点，过点 E 作 EFAE 交射线 CB 于点 F，连结 CE （1）若点 F 在边 BC 上（如图） ； 求证：CEEF； 若 BC2BF，求 DE 的长 （2）若点 F 在 CB 延长线上，BC2BF，请直接写出 DE 的长 22 （12 分）在平面直角坐标系中，已知二次函数 yk（xa） （xb） ，其中 ab （1）若此二次函数图象经过点（0，k） ，试求 a，b 满足的关系式 （2）若此二次函数和函数 yx22x 的图象关于直线 x2 对称，求该函数的表达式 （3）若 a+b4，且当 0x3 时，有 1y4，求 a 的
10、值 第 6 页（共 27 页） 23 （12 分）如图，菱形 ABCD 中，A 是锐角，E 为边 AD 上一点，ABE 沿着 BE 折叠， 使点 A 的对应点 F 恰好落在边 CD 上，连接 EF，BF （1）若A70，请直接写出ABF 的度数 （2）若点 F 是 CD 的中点， 求 sinA 的值； 求证：SABESABCD （3）设k，m，试用含 k 的代数式表示 m 第 7 页（共 27 页） 2018 年浙江省杭州市萧山区中考数学二模试卷年浙江省杭州市萧山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分
11、，共 30 分）分） 1 （3 分）2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数 【解答】解：根据相反数的定义，2 的相反数是 2 故选：A 【点评】本题考查了相反数的意义注意掌握只有符号不同的数为相反数，0 的相反数是 0 2 （3 分）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A B C D 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层 小正方体的层数和个数，进而得出答案 【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体， 主视图右边的一列只有一行，说明俯视图
12、中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此 几何体如图所示： 故选：B 第 8 页（共 27 页） 【点评】本题考查由三视图想象立体图形做这类题时要借助三种视图表示物体的特点， 从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左 视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图 后，再检验是否符合题意 3 （3 分）下列变形正确的是（ ） Aa6a2a3 B12a+4b12（a+2b） Cx22x3（x1）21 D1a+a2（a1）2 【分析】根据运算法则即可求出答案 【解答】解： （A）a2a3a5，故 A 错误； （B）原式1
13、2（a2b） ，故 B 错误； （C）原式（x1）24，故 C 错误； 故选：D 【点评】本题考查学生的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题 型 4 （3 分）如图，AB 与 CD 相交于点 E，ADBC，CD16，则 DE 的长为（ ） A3 B6 C D10 【分析】根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角 形相似， 即可求得CBEAED， 根据相似三角形的对应边成比例， 即可求得 DE 的长 【解答】解：ADBC， CBEAED， BE：AECE：ED3：5， CD16CE+EDCD， DE， 故选：D 【点评】此题考
14、查了相似三角形的判定与性质注意数形结合思想的应用 第 9 页（共 27 页） 5 （3 分）同一根细铁丝可以折成边长为 10cm 的等边三角形，也可以折成面积为 50cm2的 长方形设所折成的长方形的一边长为 x，则可列方程为（ ） Ax（10x）50 Bx（30x）50 Cx（15x）50 Dx（302x）50 【分析】设折成的长方形的一边长为 xcm，则另一边长为（15x）cm，根据长方形的面 积公式结合折成的长方形面积为 50cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设折成的长方形的一边长为 xcm，则另一边长为（15x）cm， 根据题意得：x（15x）
15、50 故选：C 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等边三角形的性质，找准等量 关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 6 （3 分） 如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速 （单位： 千米/时） 情况 则 这些车的车速的众数、中位数分别是（ ） A8，6 B8，5 C52，53 D52，52 【分析】找出出现次数最多的速度即为众数，将车速按照从小到大顺序排列，求出中位 数即可 【解答】解：根据题意得：这些车的车速的众数 52 千米/时， 车速分别为 50，50，51，51，51，51，51，52，52，52，52，52，52，52，52，53，53， 53，53，53
16、，53，54，54，54，54，55，55， 中间的为 52，即中位数为 52 千米/时， 则这些车的车速的众数、中位数分别是 52，52 故选：D 【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及众数，弄清题意是解本题的 关键 第 10 页（共 27 页） 7 （3 分）在平面直角坐标系中，有一条线段 AB，已知点 A（3，0）和 B（0，4） ，平移 线段 AB 得到线段 A1B1若点 A 的对应点 A1的坐标为（0，1） ，则线段 AB 平移经过的 区域（四边形 ABB1A1）的面积为（ ） A12 B15 C24 D30 【分析】 首先根据 A 点和 A1的坐标可得点 A 向右平移
17、了 3 个单位， 又向下平移了 1 个单 位，进而利用面积公式解答即可 【解答】解：点 A（3，0） ，点 A 的对应点 A1的坐标为（0，1） ， 点 A 向右平移了 3 个单位，又向下平移了 1 个单位， B 的平移方式也是向右平移了 3 个单位，又向下平移了 1 个单位， B（0，4） ， B1的点（3，3） ， 线段 AB 平移经过的区域（四边形 ABB1A1）的面积为， 故选：B 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵 坐标，上移加，下移减 8 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCRt已知A，外角DCE，BCa， CDb，则下列结论错误的
18、是（ ） AADC90+ B点 D 到 BE 的距离为 bsin CAD D点 D 到 AB 的距离为 a+bcos 【分析】延长 AD，BC 交于点 F，过 D 作 DGBC 于 G，过 D 作 DHAB 于 H，通过解 直角三角形，即可得到正确结论 【解答】解：如图所示，延长 AD，BC 交于点 F， ABCRt，A， F90， 第 11 页（共 27 页） ADCF+DCE90+，故 A 正确； 如图所示，过 D 作 DGBC 于 G， DCE，CDb， DGbsin， 即点 D 到 BE 的距离为 bsin，故 B 正确； 如图所示，过 D 作 DH
19、AB 于 H，则 HDBGBC+CGa+bcos， RtADH 中，AD，故 C 错误； HDBGBC+CGa+bcos， 点 D 到 AB 的距离为 a+bcos，故 D 正确； 故选：C 【点评】本题主要考查了解直角三角形，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过 程就是解直角三角形 9 （3 分）如图，ABC 中，ABAC5，BC6，ADBC 于点 D，点 E 是线段 AD 上一 点，以点 E 为圆心，r 为半径作E若E 与边 AB，AC 相切，而与边 BC 相交，则半 径 r 的取值范围是（ ） Ar Br4 Cr4 Dr 【分析】作 EHAB 于 H，如图，设E 的半径为 r，利用等
20、腰三角形的性质得 BDCD 3，AD 平分BAC，再根据勾股定理可计算出 AD4，利用直线与圆的位置关系得到 EHr，DEr，接着证明AHEADB，利用相似比得到 AEr，则 DE4r， 所以 4rr 且r4，然后解不等式组即可 【解答】解：作 EHAB 于 H，如图，设E 的半径为 r， 第 12 页（共 27 页） ABAC5，BC6，ADBC， BDCD3，AD 平分BAC， AD4， E 与边 AB，AC 相切，而与边 BC 相交， EHr，DEr， HAEDAB， AHEADB， ，即， AEr， DE4r， 4rr 且r4， r 故选：D 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直
21、于经过切点的半径也考查了等腰三角 形的性质和直线与圆的位置关系 10 （3 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从 A 出发，沿 ABC 方向运动，当点 E 到 达点 C 时停止运动，过点 E 作 EFAE 交 CD 于点 F，设点 E 运动路程为 x，CFy，如 图 2 所表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象， 给出下列结论： a3； 当 CF时， 点 E 的运动路程为或或，则下列判断正确的是（ ） 第 13 页（共 27 页） A都对 B都错 C对错 D错对 【分析】根据图象，分析得到 ABa，AB+BC5，E 在 BC 上时在利用ABEECF， 用 x 表示 y，根据最大
22、值求得 a，进而得到二次函数解析式当 y时，求 x当 E 在 AB 上 y时，求出 x可判断结论均正确 【解答】解：由已知，ABa，AB+BC5 当 E 在 BC 上时，如图， E 作 EFAE ABEECF y 当 x 解得 a13，a2（舍去） y 当 y时， 解得 x1，x2 当 E 在 AB 上时，y时， x3 故正确 故选：A 【点评】本题是动点背景的代数几何综合题，考查了二次函数图象性质和三角形相似， 第 14 页（共 27 页） 解答关键是数形结合 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）因式分解：x3
23、4x x（x+2） （x2） 【分析】首先提取公因式 x，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：x34x x（x24） x（x+2） （x2） 故答案为：x（x+2） （x2） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解 题关键 12 （4 分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 5 个小球，其中红球 3 个，黑球 2 个， 先从袋中取出 m（m1）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出 1 个球将“摸出黑球” 记为事件 A （1）若 A 为必然事件，则 m 的值为 3 ； （2）若 A 发生的概率为，则 m 的值为 1 【分析】 （1）由在一个不透明
24、的袋子中装有仅颜色不同的 5 个小球，其中红球 3 个，黑 球 2 个，根据必然事件的定义，即可求得答案 （2）根据“若 A 发生的概率为”可知袋子中的黑球有 4 个 【解答】解： （1）“摸出黑球”为必然事件， m3 故答案是：3； （2） “摸出黑球”为必然事件，且 m1， m1； 故答案为：1 【点评】本题考查的是概率的求法如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性 相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 13 （4 分）如图，直线 a，b 分别与直线 c，d 相交，且1+3135，2345， 若3，则4 的度数为 180 第 15 页（共 27 页）
25、 【分析】首先证明 ab，利用平行线的性质即可解决问题； 【解答】解：1+3135，2345， 1+3+23135+45180， 1+2180， 1+5180， 25， ab， 36， 4180 故答案为 180 【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属 于中考常考题型 14 （4 分）如图，在O 的内接六边形 ABCDEF 中， A+C220，则E 140 【分析】连接 BF，BD，根据已知条件得到的度数+的度数440，得到的 第 16 页（共 27 页） 度数44036080，根据圆内接四边形的性质即可得到结论 【解答】解：连接 BF，BD，
26、 A+C220， 的度数+的度数440， 的度数44036080， DBF40， E180DBF140， 故答案为：140 【点评】本题考查了圆周角定理，多边形的内角与外角，正确的作出辅助线是解题的关 键 15 （4 分）已知点 M 是函数 yx 与 y的图象的交点，且 OM4，则点 M 的坐标为 （2，2） （2，2） 【分析】作 MNx 轴于 N，设 M（x，x） ，在 RtOMN 中，由勾股定理得出方程， 解方程求出 x 的值，进而得到点 M 的坐标 【解答】解：作 MNx 轴于 N，如图所示： 点 M 是函数 yx 与 y的图象的交点， 可设 M（x，x） ， 在 RtOMN 中，由勾
27、股定理得：x2+（x）242， 解得：x2， M（2，2）或（2，2） 故答案为： （2，2）或（2，2） 第 17 页（共 27 页） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特 征、勾股定理等知识；设出点 M 的坐标列出方程是解决问题的关键 16 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，2） ，点 B（3m，2m+1） ，点 C（6， 2） ，点 D （1）线段 AC 的中点 E 的坐标为 （3，0） ； （2）ABCD 的对角线 BD 长的最小值为 【分析】 （1）利用中点坐标公式计算即可； （2）先根据 B（3m，2m+1） ，可知 B
28、 在直线 yx+1 上，所以当 BD直线 yx+1 时，BD 最小，找一等量关系列关于 m 的方程，作辅助线：过 B 作 BHx 轴于 H，则 BH 4m+1，利用三角形相似得 BH2EHFH，列等式求 m 的值，得 BD 的长即可 【解答】解： （1）点 A（0，2） ，点 C（6，2） ， 线段 AC 的中点 E 的坐标为（3，0） 故答案为（3，0） （2）解：如图，点 B（3m，2m+1） ， 令 ， yx+1， B 在直线 yx+1 上， 当 BD直线 yx+1 时，BD 最小， 过 B 作 BHx 轴于 H，则 BH2m+1， BE 在直线 yx+1 上，且点 E 在 x 轴上，
29、第 18 页（共 27 页） E（，0） ，G（0，1） ， 平行四边形对角线交于一点，且 AC 的中点一定在 x 轴上， F 是 AC 的中点， A（0，2） ，点 C（6，2） ， F（3，0） 在 RtBEF 中，BH2EHFH， （2m+1）2（3m+） （33m） ， 解得：m或（舍弃） ， B（，） ， BF BD2BF， 则对角线 BD 的最小值是； 故答案为 【点评】本题考查了平行四边形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、射影定 理或三角形相似的判定、图形与坐标特点、勾股定理，本题利用 B 的坐标确定点 B 所在 的直线的解析式是关键 三、解答题（本大题有三、解答题（本大
30、题有 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分）计算： （2018）2+2017（2019） 【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值 【解答】解：原式20182（20181）（2018+1）2018220182+11 第 19 页（共 27 页） 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 18 （8 分）某学校为了解本校九年级学生期末考试数学成续情况，决定进行抽样分析，已 知该校九年级共有 10 个班，每班 40 名学生，请根据要求回答下列问题： （1）若要从全年级学生中抽取一个 40 人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有 （只要填写序号） 随
31、机抽取一个班级的学生；在全年级学生中随机抽取 40 名男学生：在全年级 10 个班中各随机抽取 4 名学生 （2）将抽取的 40 名学生的数学成绩进行分组，并绘制频数表和成分布统计图（不完整） 如表格、图：C、D 类圆心角度数分别为 72、36 ；估计全年级 A、B 类学 生人数大约共有 280 人 成绩（单位：分） 频数 频率 A 类（80100） 0.3 B 类（6079） 0.4 C 类（4059） 8 D 类（039） 4 （3） 学校为了解其他学校数学成绩情况， 将同层次的 G 学校和 J 学校的抽样数据进行对 比，得下表：你认为哪所学校教学效果较好？说明你的
32、理由 学校 平均数（分） 方差 A、B 类频率和 G 学校 87 520 0.7 J 学校 87 478 0.65 【分析】 （1）根据抽样调查的特点可以解答本题； （2）根据直方图中的数据可以求得 C、D 类圆心角度数； 根据直方图中的数据可以求得全年级 A、B 类学生人数； 第 20 页（共 27 页） （3）本题答案不唯一，说的理由只要合理即可 【解答】解： （1）由题意可得， 若要从全年级学生中抽取一个 40 人的样本，在全年级 10 个班中各随机抽取 4 名学生比 较合理， 故答案为：； （2） C 类圆心角度数为： 36072， D 类圆心角度数为： 36036， 故答
33、案为：72、36； 估计全年级 A、B 类学生人数大约共有：400（0.3+0.4）280（人） ， 故答案为：280 人； （3）G 学校教学效果较好， 理由：因为 A、B 两类频率之和 G 学校大于 J 学校，即相对高分人数 G 学校多于 J 学校， 所以 G 学校教学效果较好 【点评】本题考查扇形统计图、频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答 本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 19 （8 分）如图，ABC 中，D 是 AC 上一点，E 是 BD 上一点，ACBDDCE （1）求证：ABCCDE； （2）若 BD3DE，试求的值 【分析】 （1）根据相似三角形的判定即
34、可求出答案 （2）由CDEBDC，所以 CD2DEBD，由于 BD3DE，所以 CDDE，从 而可求出的值 【解答】解： （1）DCEDBC，CDECDB CDEBDC， 同理：BDCABC ABCCDE （2）CDEBDC CD2DEBD 第 21 页（共 27 页） BD3DE， CDDE 由（1）得： 【点评】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与 性质，本题属于中等题型 20 （10 分）已知关于 a 的不等式组 （1）求此不等式组的解； （2）试比较 a3 与的大小 【分析】 （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式 组的解
35、集即可； （2）求出 a3 与的差，根据（1）中所求 a 的范围即可求解 【解答】解： （1）， 解不等式，得 a2， 解不等式，得 a4， 所以原不等式组的解集为 2a4； （2）2a4，a40， a30， a3 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 21 （10 分）边长为 a 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BD 上一点，过点 E 作 EFAE 交射线 CB 于点 F，连结 CE （1）若点 F 在边 BC 上（如图） ； 求证：CEEF； 若 BC2BF
36、，求 DE 的长 第 22 页（共 27 页） （2）若点 F 在 CB 延长线上，BC2BF，请直接写出 DE 的长 【分析】 （1）先利用正方形的对称性可得到BAEBCE，然后在证明又BAE EFC，通过等量代换可得到BCEEFC；过点 E 作 MNBC，垂直为 N，交 AD 于 M依据等腰三角形的性质可得到 FNCN，从而可得到 NC 的长，然后可得到 MD 的长，在 RtMDE 中可求得 ED 的长； （2）先根据题意画出图形，然后再证明 EFEC，然后再按照（1）中的思路进行证 明即可 【解答】解： （1）证明：正方形 ABCD 关于 BD 对称， ABECBE， BAEBCE 又A
37、BCAEF90， BAEEFC， BCEEFC， CEEF 过点 E 作 MNBC，垂直为 N，交 AD 于 M CEEF， N 是 CF 的中点 BC2BF， 又四边形 CDMN 是矩形，DME 为等腰直角三角形， 第 23 页（共 27 页） CNDMME， EDDMCNa （2）如图所示：过点 E 作 MNBC，垂直为 N，交 AD 于 M 正方形 ABCD 关于 BD 对称， ABECBE， BAEBCE 又ABFAEF90， BAEEFC， BCEEFC， CEEF FNCN 又BC2BF， FCa， CNa， ENBNa， DEa 【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的
38、性质和判定、等腰三角形的性 质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键 22 （12 分）在平面直角坐标系中，已知二次函数 yk（xa） （xb） ，其中 ab （1）若此二次函数图象经过点（0，k） ，试求 a，b 满足的关系式 （2）若此二次函数和函数 yx22x 的图象关于直线 x2 对称，求该函数的表达式 （3）若 a+b4，且当 0x3 时，有 1y4，求 a 的值 【分析】 （1）将点（0，k）代入二次函数解析式即可求得 a，b 满足的关系式 第 24 页（共 27 页） （2）根据抛物线的对称性质得到抛物线与 x 轴的两个交点坐标，结合二次函数解析式的 三
39、种性质解答； （3）根据一元二次方程根的分别规律解答 【解答】解： （1）将（0，k）代入 yk（xa） （xb） ，得 kabk k0， ab1； （2）由（1）知，k1 函数与 x 轴的交点坐标为（2，0） ， （4，0） 该函数解析式为：y（x2） （x4）x26x+8； （3）a+b4， 函数表达式变形为 yk（xa） （x+a4） 当 k0 时，则根据题意可得：当 x2，y1； 当 x0 时，y4， 消去 k，整理，得 3a212a+160 1441216480， 该方程无解，即没有符合题意的 a 的值； 当 k0 时，则根据题意可得：当 x2，y4； 当 x0 时，y1， 消去 k
40、，整理，得 3a212a40 解得 a 综上所述，a 的值是或 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法； 第 25 页（共 27 页） 解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质， 要分类讨论，以防遗漏 23 （12 分）如图，菱形 ABCD 中，A 是锐角，E 为边 AD 上一点，ABE 沿着 BE 折叠， 使点 A 的对应点 F 恰好落在边 CD 上，连接 EF，BF （1）若A70，请直接写出ABF 的度数 （2）若点 F 是 CD 的中点， 求 sinA 的值； 求证：SABESABCD （3）设k，m，试用含 k
41、 的代数式表示 m 【分析】 （1）只要证明 BFBC，可得ABFBFCC70； （2）如图 2 中，延长 EF 交 BC 的延长线于 M，作 BGCD 于 G想办法求出 cosA 的值即可解决问题； 只要证明DEFCMF， 推出 EFFM， 可得 S四边形BCDESEMB， SBEFSMBE， 推出 SABESABCD； （3）如图 3 中，设菱形的边长为 a由MFCMBF，可得 FM2MCMB，由 AD MB，推出DEFCMF，推出 m，由k，可得 DEka，AE EF（1k）a，CM，FM，根据 FM2MCMB，构建方程即可解决问 题； 【解答】解： （1）如图 1 中， 第 26 页（
42、共 27 页） 四边形 ABCD 是菱形， ABCD，CA70， BABFBC， BFCC70， ABFBFC70 （2）如图 2 中，延长 EF 交 BC 的延长线于 M，作 BGCD 于 G BCBABF， CGGFCDBC， cosAcosBCG， sinAsinBCG 四边形 ABCD 是菱形，F 是 CD 中点， DFCF，DFCM，EFDMFC， DEFCMF， EFFM， S四边形BCDESEMB，SBEFSMBE， SABESABCD （3）如图 3 中，设菱形的边长为 a 第 27 页（共 27 页） ABFEBCD， MFCDFEFBC，MM， MFCMBF， FM2MCMB， ADMB， DEFCMF， m， k， DEka，AEEF（1k）a，CM，FM， 2 （a+） ， m 【点评】本题考查相似三角形综合题、菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三 角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全 等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题
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