1、 第 1 页（共 28 页） 2018 年天津市南开区中考数学二模试卷年天津市南开区中考数学二模试卷 一、选择题（一、选择题（31236 分）分） 1 （3 分） （6）的结果等于（ ） A1 B1 C36 D36 2 （3 分）2sin60的值等于（ ） A B2 C1 D 3 （3 分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4 （3 分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为 20 万分之一，将这个数用科学记 数法表示为（ ） A210 5 B210 6 C510 5 D510 6 5（3 分） 用五块大小相同的小正方体搭成如图所
2、示的几何体， 这个几何体的左视图是 （ ） A B C D 6 （3 分）在实数，2，中，最小的是（ ） A B2 C D 7 （3 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，若 BD2AD，则 （ ） 第 2 页（共 28 页） A B C D 8 （3 分）一个正六边形的半径为 R，边心距为 r，那么 R 与 r 的关系是（ ） ArR BrR CrR DrR 9 （3 分）设点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两个点，当 x1x2 0 时，y1y2，则一次函数 y2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三
3、象限 D第四象限 10 （3 分）如图，A、B、C、D 四个点均在O 上，AOD50，AODC，则B 的度 数为（ ） A50 B55 C60 D65 11 （3 分）观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9 个图形中的小点 一共有（ ） A162 个 B135 个 C30 个 D27 个 12 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点和该抛物线与 y 轴的交点在一次函数 ykx+1（k0）的图象上，它的对称轴是 x1，有下列四个结论： abc0， a， ak， 当 0x1 时，ax+bk， 其中正确结论的个数是（ ） 第 3 页（共 28 页） A4 B3 C
4、2 D1 二、填空题（二、填空题（3618） 13 （3 分）分解因式：x25x 14 （3 分）计算（2）的结果等于 15 （3 分）有四张卡片，分别写有数2，0，1，5，将它们背面朝上（背面无差别）洗匀 后放在桌上，从中任意抽出两张，则抽出卡片上的数的积是正数的概率是 16 （3 分）如图 1，两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿 AC 方向向右平移 到ABD的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 17 （3 分）如图在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点
5、的位置，且 AD 交 y 轴于点 E那么点 D 的坐标为 18 （3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B 为格点 （）AB 的长等于 （）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点 C，使得 CACB 且ABC 的 面积等于，并简要说明点 C 的位置是如何找到的 第 4 页（共 28 页） 三、解答题（三、解答题（66 分）分） 19 （8 分）解不等式组 请结合题填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 （）解不等式，得 （）把不等式和的解集在数轴上表示出来 （）原不等式组的解集为 20 （8 分）某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生每天参加户 外活
6、动的时间情况，绘制出如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题； （）在图中，m 的值为 ，表示“2 小时”的扇形的圆心角为 度； （）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数 21 （10 分）如图，O 的直径 AB 的长为 2，点 C 在圆周上，CAB30，点 D 是圆上 一动点，DEAB 交 CA 的延长线于点 E，连接 CD，交 AB 于点 F （）如图 1，当ACD45时，请你判断 DE 与O 的位置关系并加以证明； 第 5 页（共 28 页） （）如图 2，当点 F 是 CD 的中点时，求CDE 的面积 22 （10 分）某中学依山而建，校门 A 处有一斜坡 AB，长
7、度为 13 米，在坡顶 B 处看教学楼 CF 的楼顶 C 的仰角CBF53，离 B 点 4 米运的 E 处有一花台，在 E 处仰望 C 的仰 角CEF63.4，CF 的延长线交校门处的水平面于 D 点，FD5 米 （）求BAD 的正切值； （）求 DC 的长 （参考数据：tan53，tan63.42） 23 （10 分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古 迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门 票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数在实施过 程中发现：每周参观人数 y（人）与票价 x（元）之间怡
8、好构成一次函数关系 （）根据题意完成下列表格 票价 x（元） 10 15 x 18 参观人数 y（人） 7000 4500 （）在这样的情况下，如果要确保每周有 40000 元的门票收入，那么每周应限定参观 人数是多少？门票价格应定位多少元？ （）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？ 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，点 A 的坐 标为（6，0） ，点 B 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为（2，4） ，点 M，N 分别为四 边形 OABC 边上的动点，动点 M 从点 O 开始，以每秒 1 个单位长度的速度沿 O
9、AB 路线向终点 B 匀速运动，动点 N 从 O 点开始，以每秒两个单位长度的速度沿 OCB A 路线向终点 A 匀速运动，点 M，N 同时从 O 点出发，当其中一点到达终点后，另一 点也随之停止运动，设动点运动的时间 t 秒（t0） ，OMN 的面积为 S （1）填空：AB 的长是 ，BC 的长是 ； （2）当 t3 时，求 S 的值； 第 6 页（共 28 页） （3）当 3t6 时，设点 N 的纵坐标为 y，求 y 与 t 的函数关系式； （4）若 S，请直接写出此时 t 的值 25 （10 分）已知抛物线 l1与 l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线 l1：yax28ax 交 x 轴
10、于 A， B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 且 AB6； 抛物线 l2与 l1交于点 A 和点 C （5， n） （1）求抛物线 l1，l2的表达式； （2）当 x 的取值范围是 时，抛物线 l1与 l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大 而增大； （3）直线 MNy 轴，交 x 轴，l1，l2分别相交于点 P（m，0） ，M，N，当 1m7 时， 求线段 MN 的最大值 第 7 页（共 28 页） 2018 年天津市南开区中考数学二模试卷年天津市南开区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（31236 分）分） 1 （3 分） （6）的结果等于
11、（ ） A1 B1 C36 D36 【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式6636 故选：D 【点评】本题考查有理数的运算法则，解题的关键是熟练运用除法法则，本题属于基础 题型 2 （3 分）2sin60的值等于（ ） A B2 C1 D 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：2sin602， 故选：A 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数 值 3 （3 分）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：第一个图
12、形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有 3 个 第 8 页（共 28 页） 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 4 （3 分）某商城开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为 20 万分之一，将这个数用科学记 数法表示为（ ） A210 5 B210 6 C510 5 D510 6
13、【分析】先把 20 万分之一转化成 0.000 005，然后再用科学记数法记数记为 510 6小 于 1 的正数也可以利用科学记数法表示， 一般形式为 a10 n， 与较大数的科学记数法不 同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数 所决定 【解答】解：0.000005510 6 故选：D 【点评】考查了科学记数法表示较小的数，将一个绝对值较小的数写成科学记数法 a 10n的形式时，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小 数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的
14、绝对值小于 1 时，n 是负数 5（3 分） 用五块大小相同的小正方体搭成如图所示的几何体， 这个几何体的左视图是 （ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看，是两层都有两个正方形的田字格形排列 故选：D 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的正面看得到的视图 6 （3 分）在实数，2，中，最小的是（ ） A B2 C D 第 9 页（共 28 页） 【分析】为正数，2 为负数，根据正数大于负数，所以比较与2 的大小即可 【解答】解：正数有：； 负数：，2， ， ， 最小的数是2， 故选：B 【点评】本题考
15、查了实数比较大小，解决本题的关键是正数大于负数，两个负数，绝对 值大的反而小 7 （3 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，若 BD2AD，则 （ ） A B C D 【分析】根据题意得出ADEABC，进而利用已知得出对应边的比值 【解答】解：DEBC， ADEABC， BD2AD， ， 则， A，C，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键 8 （3 分）一个正六边形的半径为 R，边心距为 r，那么 R 与 r 的关系是（ ） 第 10 页（共 28 页） ArR BrR CrR D
16、rR 【分析】求出正六边形的边心距（用 R 表示） ，根据“接近度”的定义即可解决问题 【解答】解：正六边形的半径为 R， 边心距 rR， 故选：A 【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高 h a（a 是等边三角形的边长） ，理解题意是解题的关键，属于中考常考题型 9 （3 分）设点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两个点，当 x1x2 0 时，y1y2，则一次函数 y2x+k 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据反比例函数图象的性质得出 k 的取值范围，进而根据一次函数的性质得
17、出 一次函数 y2x+k 的图象不经过的象限 【解答】解：点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两个点，当 x1x20 时，y1y2， x1x20 时，y 随 x 的增大而增大， k0， 一次函数 y2x+k 的图象不经过的象限是：第一象限 故选：A 【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的性质，根据反比 例函数的性质得出 k 的取值范围是解题关键 10 （3 分）如图，A、B、C、D 四个点均在O 上，AOD50，AODC，则B 的度 数为（ ） A50 B55 C60 D65 【分析】首先连接 AD，由 A、B、C、D 四个点均在O 上，AO
18、D70，AODC， 第 11 页（共 28 页） 可求得ADO 与ODC 的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案 【解答】解：连接 AD， OAOD，AOD50， ADO65 AODC， ODCAOC50， ADCADO+ODC115， B180ADC65 故选：D 【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角 形的性质此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 11 （3 分）观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9 个图形中的小点 一共有（ ） A162 个 B135 个 C30 个 D27 个 【分析】仔细观察图形
19、，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入 9 求解即可 【解答】解：第 1 个图形有 3313 个点， 第 2 个图形有 3+63（1+2）9 个点 第 3 个图形有 3+6+93（1+2+3）18 个点； 第 n 个图形有 3+6+9+3n3（1+2+3+n）个点； 当 n9 时，135， 第 12 页（共 28 页） 故选：B 【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后 求解 12 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点和该抛物线与 y 轴的交点在一次函数 ykx+1（k0）的图象上，它的对称轴是 x1，有下列四个结论： abc0， a，
20、 ak， 当 0x1 时，ax+bk， 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线对称轴得到 b2a0，求出一次 函数 ykx+1（k0）与 y 轴的交点坐标得到 c1，则可对进行判断；利用 x1 时， y0 得到 ab+10，然后把 b2a 代入可对进行判断；抛物线的顶点坐标为（1， a+1） ，然后把（1，a+1）代入 ykx+1 可对进行判断；当 0x1 时，利用二次 函数图象在一次函数图象上方得到 ax2+bx+1kx+1，则可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a0， 一次函数
21、ykx+1（k0）与 y 轴的交点坐标为（0，1） ， c1， abc0，所以错误； x1 时，y0， 第 13 页（共 28 页） 即 ab+c0， a+2a+10， a，所以正确； 当 x1 时，ya+b+ca2a+1a+1， 抛物线的顶点坐标为（1，a+1） ， 把（1，a+1）代入 ykx+1 得a+1k+1， ak，所以正确； 当 0x1 时，ax2+bx+1kx+1， 即 ax2+bxkx， ax+bk，所以正确 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ， 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口
22、；当 a0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号 时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右；常 数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数 由决定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线 与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（二、填空题（3618） 13 （3 分）分解因式：x25x x（x5） 【分析】直接提取公因式 x 分解因式即可 【解
23、答】解：x25xx（x5） 故答案为：x（x5） 【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式 14 （3 分）计算（2）的结果等于 22 【分析】利用二次根式的乘法法则运算 【解答】解：原式2 22 故答案为 22 第 14 页（共 28 页） 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后 进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点， 灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 15 （3 分）有四张卡片，分别写有数2，0，1，5，将它们背面朝上（背面无差别）洗匀 后放在桌上，从中任意抽出两张，则抽出
24、卡片上的数的积是正数的概率是 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字积为正 数的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中抽出卡片上的数字积为正数的结果为 2 种， 所以抽出卡片上的数字积为正数的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不 重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步 或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比 16 （3 分）如图 1，两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿
25、AC 方向向右平移 到ABD的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 2 【分析】根据两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿 AC 方向向右平移到 ABD的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出 OM+MN+NR+GR+EG+OE AD+CD1+12，即可得出答案 【解答】解：两个等边ABD，CBD 的边长均为 1，将ABD 沿 AC 方向向右平移 到ABD的位置， 第 15 页（共 28 页） AMANMN，MODMDO，ODDEOE，EGECGC，BGRG RB， OM+MN+NR+GR+EG+OEAD+CD1+12； 故答案为：2 【点评】此题主要考查了平移的性质以及等边三角
26、形的性质，根据题意得出 AMA NMN，MODMDO，ODDEOE，EGECGC，BGRGRB是解决 问题的关键 17 （3 分）如图在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3） ，将矩形沿对角线 AC 翻折，B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点 E那么点 D 的坐标为 （，） 【分析】首先过 D 作 DFAF 于 F，根据折叠可以证明CDEAOE，然后利用全等 三角形的性质得到 OEDE，OACD1，设 OEx，那么 CE3x，DEx，利用勾 股定理即可求出 OE 的长度，而利用已知条件可以证明AEOADF，而 A
27、DAB3， 接着利用相似三角形的性质即可求出 DF、AF 的长度，也就求出了 D 的坐标 【解答】解：如图，过 D 作 DFAO 于 F， 点 B 的坐标为（1，3） ， BCAO1，ABOC3， 根据折叠可知：CDBCOA1，CDEBAOE90，ADAB3， 在CDE 和AOE 中， 第 16 页（共 28 页） ， CDEAOE， OEDE，OACD1，AECE， 设 OEx，那么 CE3x，DEx， 在 RtDCE 中，CE2DE2+CD2， （3x）2x2+12， x， OE，AECEOCOE3， 又DFAF， DFEO， AEOADF， AE：ADEO：DFAO：AF， 即：3：DF
28、1：AF， DF，AF， OF1， D 的坐标为： （，） 故答案为： （，） 【点评】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判 定与性质以及坐标与图形的性质解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得 到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题 18 （3 分）如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，A，B 为格点 第 17 页（共 28 页） （）AB 的长等于 （）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点 C，使得 CACB 且ABC 的 面积等于， 并简要说明点 C 的位置是如何找到的 如图取格点 P、 N （使得 SPAB） ， 作
29、直线 PN，作矩形 PQTB，得到对角线的交点 E， 作平行四边形 AQBM，得到对角线的交点 F，作直线 EF，交 PN 于点 C，点 C 即为所求； 【分析】 （）利用勾股定理计算即可； （）取格点 P、N（SPAB） ，作直线 PN，再证作线段 AB 的垂直平分线 EF 交 PN 于点 C，点 C 即为所求 【解答】解： （）AB， 故答案为 （）如图取格点 P、N（使得 SPAB） ，作直线 PN，作矩形 PQTB，得到对角线的 交点 E， 作平行四边形 AQBM，得到对角线的交点 F，作直线 EF，交 PN 于点 C，点 C 即为所求； 故答案为：如图取格点 P、N（使得 SPAB）
30、 ，作直线 PN，作矩形 PQTB，得到对角 线的交点 E， 作平行四边形 AQBM，得到对角线的交点 F，作直线 EF，交 PN 于点 C，点 C 即为所求； 【点评】本题考查作图应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解 题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型 三、解答题（三、解答题（66 分）分） 第 18 页（共 28 页） 19 （8 分）解不等式组 请结合题填空，完成本题的解答 （）解不等式，得 x1 （）解不等式，得 x3 （）把不等式和的解集在数轴上表示出来 （）原不等式组的解集为 1x3 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可
31、 【解答】解： （）解不等式，得：x1， （）解不等式，得：x3， （）把不等式和的解集在数轴上表示出来如下： （）原不等式组的解集为：1x3， 故答案为：x1、x3、1x3 【点评】此题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大 取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 20 （8 分）某校为了解学生每天参加户外活动的情况，随机抽查了一部分学生每天参加户 外活动的时间情况，绘制出如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题； （）在图中，m 的值为 20 ，表示“2 小时”的扇形的圆心角为 54 度； （）求统计的这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位数 【分
32、析】 （）根据统计图中的数据可以求得 m 的值和表示“2 小时”的扇形的圆心角的 第 19 页（共 28 页） 度数； （）根据条形统计图中的数据可以求得这组学生户外运动时间的平均数、众数和中位 数 【解答】解： （）m%140%25%15%20%， 即 m 的值是 20， 表示“2 小时”的扇形的圆心角为：36015%54， 故答案为：20、54； （）这组数据的平均数是：， 众数是：1， 中位数是：1 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数，解答本题的 关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答 21 （10 分）如图，O 的直径 AB 的长为
33、2，点 C 在圆周上，CAB30，点 D 是圆上 一动点，DEAB 交 CA 的延长线于点 E，连接 CD，交 AB 于点 F （）如图 1，当ACD45时，请你判断 DE 与O 的位置关系并加以证明； （）如图 2，当点 F 是 CD 的中点时，求CDE 的面积 【分析】 （）连接 OD，如图 1，理由圆周角定理得到AOD90，则 ODAB，再 理由平行线的性质得到 ODDE，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断 DE 为O 的切线； （）连接 OC，如图 1，利用垂径定理得到 ABCD，再利用圆周角定理得到COF 60， 则根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 OF， CF，
34、 所以 CD2CF ，AF，接着证明 AF 为CDE 的中位线得到 DE2AF3，然后根据三角形面 积公式求解 【解答】解： （）DE 与O 相切 、 第 20 页（共 28 页） 理由如下：连接 OD，如图 1， AOD2ACD24590， ODAB， DEAB， ODDE， DE 为O 的切线； （）连接 OC，如图 2 点 F 是 CD 的中点， ABCD，CFDF， COF2CAB60， OFOC，CFOF， CD2CF，AFOA+OF， AFAD，F 点为 CD 的中点， DECD，AF 为CDE 的中位线， DE2AF3， CDE 的面积3 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设
35、O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d：则直线 l 和O 相交dr；直线 l 和O 相切dr；直线 l 和O 相离dr也 考查了圆周角定理和垂径定理 22 （10 分）某中学依山而建，校门 A 处有一斜坡 AB，长度为 13 米，在坡顶 B 处看教学楼 CF 的楼顶 C 的仰角CBF53，离 B 点 4 米运的 E 处有一花台，在 E 处仰望 C 的仰 角CEF63.4，CF 的延长线交校门处的水平面于 D 点，FD5 米 （）求BAD 的正切值； 第 21 页（共 28 页） （）求 DC 的长 （参考数据：tan53，tan63.42） 【分析】 （）过 B 作 BGAD 于
36、 G，则四边形 BGDF 是矩形，求得 BGDF5 米，然 后根据勾股定理求得 AG，即可求得斜坡 AB 的坡度 i （）在 RtBCF 中，BF，在 RtCEF 中，EF， 得到方程 BFEF4，解得 CF16，即可求得求 DC21 【解答】解： （）过 B 作 BGAD 于 G， 则四边形 BGDF 是矩形， BGDF5 米， AB13 米， AG12 米， tanBAD1：2.4； （）在 RtBCF 中，BF， 在 RtCEF 中，EF， BE4 米， BFEF4， 解得：CF16 DCCF+DF16+521 米 第 22 页（共 28 页） 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角和
37、俯角问题，解直角三角形的应用坡 度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键 23 （10 分）某文物古迹遗址每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对文物古 迹会产生不良影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用的问题，还要保证有一定的门 票收入，因此遗址的管理部门采取了升、降门票价格的方法来控制参观人数在实施过 程中发现：每周参观人数 y（人）与票价 x（元）之间怡好构成一次函数关系 （）根据题意完成下列表格 票价 x（元） 10 15 x 18 参观人数 y（人） 7000 4500 500x+12000 3000 （）在这样的情况下，如果要确保每周有 40000 元的门票收入，那么每周应限
38、定参观 人数是多少？门票价格应定位多少元？ （）门票价格应该是多少元时，门票收入最大？这样每周应有多少人参观？ 【分析】 （）由题意可知每周参观人数 y（人）与票价 x（元）之间怡好构成一次函数 关系，把点（10，7000） （15，4500）分别代入 ykx+b，求出 k，b 的值，即可把表格填 写完整； （） 根据参观人数票价40000 元， 即可求出每周应限定参观人数以及门票价格应定 位； （）先得到二次函数，再配方法即可求解 【解答】解： （I）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为 ykx+b， 把（10，7000） （15，4500）代入 ykx+b 中得 ， 解得， y500
39、x+12000， 第 23 页（共 28 页） x18 时，y3000， 故答案为：500x+12000，3000； （II）根据确保每周 4 万元的门票收入，得 xy40000 即 x（500x+12000）40000 x224x+800 解得 x120 x24 把 x120，x24 分别代入 y500x+12000 中 得 y12000，y210000 因为控制参观人数，所以取 x20，y2000 答：每周应限定参观人数是 2000 人，门票价格应是 20 元/人 （III）依题意有 x（500x+12000）500（x224）500（x12）2+72000， y50012+1200060
40、00 故门票价格应该是 12 元时门票收入最大，这样每周应有 6000 人参观 【点评】此题考查了二次函数以及一次函数的应用，解答此类题目的关键是要注意自变 量的取值还必须使实际问题有意义 24 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，点 A 的坐 标为（6，0） ，点 B 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为（2，4） ，点 M，N 分别为四 边形 OABC 边上的动点，动点 M 从点 O 开始，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OAB 路线向终点 B 匀速运动，动点 N 从 O 点开始，以每秒两个单位长度的速度沿 OCB A 路线向终点 A 匀速运动
41、，点 M，N 同时从 O 点出发，当其中一点到达终点后，另一 点也随之停止运动，设动点运动的时间 t 秒（t0） ，OMN 的面积为 S （1）填空：AB 的长是 10 ，BC 的长是 6 ； （2）当 t3 时，求 S 的值； （3）当 3t6 时，设点 N 的纵坐标为 y，求 y 与 t 的函数关系式； （4）若 S，请直接写出此时 t 的值 第 24 页（共 28 页） 【分析】 （1）利用勾股定理即可解决问题； （2）如图 1 中，作 CEx 轴于 E连接 CM当 t3 时，点 N 与 C 重合，OM3，易 求OMN 的面积； （3）如图 2 中，当 3t6 时，点 N 在线段 BC
42、上，BN122t，作 NGOB 于 G，CF OB 于 F则 F（0，4） 由 GNCF，推出，即，可得 BG8 t，由此即可解决问题； （4）分三种情形当点 N 在边长上，点 M 在 OA 上时如图 3 中，当 M、N 在线段 AB 上，相遇之前作 OEAB 于 E，则 OE，列出方程即可解决问题 同法当 M、N 在线段 AB 上，相遇之后，列出方程即可； 【解答】解： （1）在 RtAOB 中，AOB90，OA6，OB8， AB10 BC6， 故答案为 10，6 （2）如图 1 中，作 CEx 轴于 E连接 CM C（2，4） ， CE4OE2， 第 25 页（共 28 页） 在 RtCO
43、E 中，OC6， 当 t3 时，点 N 与 C 重合，OM3， SONMOMCE346， 即 S6 （3）如图 2 中，当 3t6 时，点 N 在线段 BC 上，BN122t，作 NGOB 于 G，CF OB 于 F则 F（0，4） OF4，OB8， BF844， GNCF， ，即， BG8t， yOBBG8（8t）t （4）当点 N 在边长上，点 M 在 OA 上时，tt， 解得 t（负根已经舍弃） 如图 3 中，当 M、N 在线段 AB 上，相遇之前 第 26 页（共 28 页） 作 OEAB 于 E，则 OE， 由题意10（2t12）（t6）， 解得 t8， 同法当 M、N 在线段 AB
44、 上，相遇之后 由题意（2t12）+（t6）10， 解得 t， 综上所述，若 S，此时 t 的值 8s 或s 或s 【点评】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形 等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考压轴题 25 （10 分）已知抛物线 l1与 l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线 l1：yax28ax 交 x 轴于 A， B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 且 AB6； 抛物线 l2与 l1交于点 A 和点 C （5， n） （1）求抛物线 l1，l2的表达式； （2）当 x 的取值范围是 2x4 时，
45、抛物线 l1与 l2上的点的纵坐标同时随横坐标的 增大而增大； （3）直线 MNy 轴，交 x 轴，l1，l2分别相交于点 P（m，0） ，M，N，当 1m7 时， 求线段 MN 的最大值 【分析】 （1）首先确定 A、B 两点坐标，求出抛物线 l1的解析式，再求出点 C 坐标，利 用待定系数法求出抛物线 l2的解析式即可； （2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线 l1与 l2上的点的纵坐标同时随 横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题； 第 27 页（共 28 页） （3）分两种情形分别求解：如图 1 中，当 1m5 时，MNm2+6m5（m 3）2+4，如图 2 中，当 5m7 时，MNm26m+5（m3）24，利用二次函数 的性质即可解决问题； 【解答】解： （1）由题意抛物线 l1的对称轴 x4， 又抛物线 l1交 x 轴于 A，B 两
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