1、2018 年上海市静安区中考数学二模试卷年上海市静安区中考数学二模试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1 （4 分）下列实数中，有理数是（ ） A B C D 2 （4 分）下列方程中，有实数根的是（ ） A B （x+2）210 Cx2+10 D 3 （4 分）如果 ab，m0，那么下列不等式中成立的是（ ） Aambm B Ca
2、+mb+m Da+mb+m 4 （4 分）如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，EG 平分BEF，如果 EFG64，那么EGD 的大小是（ ） A122 B124 C120 D126 5 （4 分）已知两组数据：a1，a2，a3，a4，a5和 a11，a21，a31，a41，a51，下 列判断中错误的是（ ） A平均数不相等，方差相等 B中位数不相等，标准差相等 C平均数相等，标准差不相等 D中位数不相等，方差相等 6 （4 分）下列命题中，假命题是（ ） A两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B有一条对角线
3、与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形 C一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形 D有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直分） 【在答题纸相应题号后的空格内直 接填写答案】接填写答案】 第 2 页（共 23 页） 7 （4 分）计算： （2a）2a3 8 （4 分）分解因式（xy）2+4xy 9 （4 分）方程组的解是 10 （4 分）如果有意义，那么 x 的取值范围是
4、 11 （4 分）如果函数（a 为常数）的图象上有两点（1，y1） 、，那么 函数值 y1 y2 （填“” 、 “”或“” ） 12 （4 分）为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有 3000 株此类花卉的园地内， 随机抽测了 200 株的高度作为样本， 统计结果整理后列表如下：（每组数据可包括最低值， 不包括最高值） 高度（cm） 4045 4550 5055 5560 6065 6570 频数 33 42 22 24 43 36 试估计该园地内此类花卉高度小于 55 厘米且不小于 45 厘米的约为 株 13 （4 分）从 1，2，3，4，5，6
5、，7，8，9 中任取一个数，这个数既是奇数又是素数的概 率是 14 （4 分）如图，在ABC 中，点 G 是重心，过点 G 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、 E已知，那么 （用向量表示） 15 （4 分）如图，已知O 中，直径 AB 平分弦 CD，且交 CD 于点 E，如果 OEBE，那 么弦 CD 所对的圆心角是 度 16 （4 分）已知正多边形的边长为 a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的 边心距是 （用含字母 a 的代数式表示） 第 3 页（共 23 页） 17 （4 分）在平面直角坐标系中，如果对任意一点
6、（a，b） ，规定两种变换：f（a，b）（ a，b） ，g（a，b）（b，a） ，那么 gf（1，2） 18 （4 分）等腰ABC 中，ABAC，它的外接圆O 半径为 1，如果线段 OB 绕点 O 旋转 90后可与线段 OC 重合，那么ABC 的余切值是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，满分 78 分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位 置上】置上】 19 （10 分）计算：+（cot45）2018+|+（3）0（sin30） 1 20 （10 分）解方程：+ 21 （10
7、分）已知：如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，AC、DB 交于点 HDE 平分ADB， 交 AC 于点 E联结 BE 并延长，交边 AD 于点 F （1）求证：DCEC； （2）求EAF 的面积 22 （10 分）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为 10 元/千克，已知销 售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发 现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润销售 价成本价）
8、 23 （12 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、DB 交于点 E，点 F 在 BC 的延长 线上，联结 EF、DF，且DEFADC 第 4 页（共 23 页） （1）求证：； （2）如果 BD22ADDF，求证：平行四边形 ABCD 是矩形 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B（8，0）和点 C（9，3） 抛物线 yax2 8ax+c（a，c 是常数，a0）经过点 B、C，且与 x 轴的另一交点为 A对称轴上有一 点 M，满足 MAMC （1）求这条抛物线的表达式； （2）求四边形 ABCM 的面积； （3）如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD
9、是等腰梯形，且 ADBC，求点 D 的坐 标 25 （14 分）如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AB6，BC9，cosABC对角线 AC、BD 交于点 O动点 P 在边 AB 上，P 经过点 B，交线段 PA 于点 E设 BPx （1）求 AC 的长； （2）设O 的半径为 y，当P 与O 外切时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义 域； （3）如果 AC 是O 的直径，O 经过点 E，求O 与P 的圆心距 OP 的 第 5 页（共 23 页） 长 第 6 页（共 23 页） 2018 年上海市静安区中考数学二模试卷年上海市静安区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题
10、解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有分） 【下列各题的四个选项中，有且只有 一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1 （4 分）下列实数中，有理数是（ ） A B C D 【分析】根据有理数的定义逐一判别即可得 【解答】解：、既不是分数也不是整数，不属于有理数，故 A、B、C 均不 符合题意； 2，是整数，属于有理数，故 D 选项符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查实数，解题的关键是熟练掌握有理数的定义
11、 2 （4 分）下列方程中，有实数根的是（ ） A B （x+2）210 Cx2+10 D 【分析】根据算术平方根的概念、二次根式有意义的条件判断即可 【解答】解：A、由得，x1， 则x0， 根据算术平方根的定义可知，A 无实根； B、 （x+2）21 x+21， x11，x23，B 有实根； C、x21， 故 C 无实根； D、由 x40 可知，x4， 则0，0， 故 D 无实根； 故选：B 【点评】本题考查的是无理方程，掌握算术平方根的概念、二次根式有意义的条件是解 第 7 页（共 23 页） 题的关键 3 （4 分）如果 ab，m0，那么下列不等式中成立的是（ ） Aambm B Ca+
12、mb+m Da+mb+m 【分析】根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子， 不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不 变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可 【解答】解：A、ambm，故原题错误； B、，故原题错误； C、a+mb+m，故原题正确； D、a+mb+m，故原题错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了不等式的性质，关键是掌握不等式的性质定理，注意不等式的 两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 4 （4 分）如图，ABCD，直线 EF 分别交 AB、C
13、D 于点 E、F，EG 平分BEF，如果 EFG64，那么EGD 的大小是（ ） A122 B124 C120 D126 【分析】 根据平行线的性质得到BEF180EFG116， 根据角平分线的定义得 到BEGBEF58，由平行线的性质即可得到结论 【解答】解：ABCD，EFG64， BEF180EFG116， EG 平分BEF 交 CD 于点 G， BEGBEF58， ABCD， EGD180BEG122， 故选：A 第 8 页（共 23 页） 【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义解题的关键是掌握两直线平行， 同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理 5 （4 分）已知两组数据：a
14、1，a2，a3，a4，a5和 a11，a21，a31，a41，a51，下 列判断中错误的是（ ） A平均数不相等，方差相等 B中位数不相等，标准差相等 C平均数相等，标准差不相等 D中位数不相等，方差相等 【分析】分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案 【解答】解；因为两组数据：a1，a2，a3，a4，a5和 a11，a21，a31，a41，a51， 它们的平均数不同，方差相等，中位数不同，标准差相等， 故选：C 【点评】此题主要考查了平均数以及方差和中位数的求法，正确把握相关定义是解题关 键 6 （4 分）下列命题中，假命题是（
15、 ） A两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形是菱形 C一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形 D有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形 【分析】利用特殊的四边形的判定及性质分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确； B、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，错误； C、一组邻边互相垂直，两组对边分别平行的四边形是矩形，正确； D、有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形，正确； 故选：B 【点评】本题考查了命题与定理
16、的知识，解题的关键是了解特殊的四边形的判定及性质， 难度不大 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直分） 【在答题纸相应题号后的空格内直 接填写答案】接填写答案】 7 （4 分）计算： （2a）2a3 4a5 第 9 页（共 23 页） 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加， 其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可 【解答】解： （2a）2a34a2a3（41） （a2a3）4a5 故答案为 4a5 【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运
17、算法则是解题的关键 8 （4 分）分解因式（xy）2+4xy （x+y）2 【分析】根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式进行分解即可 【解答】解： （xy）2+4xyx22xy+y2+4xy， x2+2xy+y2， （x+y）2 故答案为： （x+y）2 【点评】本题主要考查对完全平方公式的理解和掌握，能熟练地运用完全平方公式进行 化简和分解因式是解此题的关键 9 （4 分）方程组的解是 ， 【分析】根据加减消元法，可得答案 【解答】解：， ，得 3x3， 解这个方程，得 x1， 把 x1 代入，得 1+y3， 解得 x4， 这个方程组的解为， 故答案为： 【点评】本题考查了解二元一次方程
18、组，加减消元法是解题关键 10 （4 分）如果有意义，那么 x 的取值范围是 x4 第 10 页（共 23 页） 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案 【解答】解：由题意可知：x40 且 x40 所以 x4 故答案为：x4 【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本 题属于基础题型 11 （4 分）如果函数（a 为常数）的图象上有两点（1，y1） 、，那么 函数值 y1 y2 （填“” 、 “”或“” ） 【分析】根据反比例函数的性质：当 k0 时，在图象的每一支上 y 随 x 的增大而增大进 行分析即可 【解答】解：a210， 在图象的每一支上 y
19、随 x 的增大而增大， 1， y1y2， 故答案为： 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的增减性 12 （4 分）为了解植物园内某种花卉的生长情况，在一片约有 3000 株此类花卉的园地内， 随机抽测了 200 株的高度作为样本， 统计结果整理后列表如下：（每组数据可包括最低值， 不包括最高值） 高度（cm） 4045 4550 5055 5560 6065 6570 频数 33 42 22 24 43 36 试估计该园地内此类花卉高度小于 55 厘米且不小于 45 厘米的约为 960 株 【分析】用总人数 300 乘以样本中高度小于 55 厘米且不小于 45 厘米的
20、数量占被调查株 数的比例 【解答】解：估计该园地内此类花卉高度小于 55 厘米且不小于 45 厘米的约为 3000 960（株） ， 故答案为：960 【点评】本题考查了统计表以及用样本估计总体的思想，此题主要考查从统计表中获取 第 11 页（共 23 页） 信息的能力统计表可以将大量数据的分类结果清晰、一目了然地表达出来 13 （4 分）从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取一个数，这个数既是奇数又是素数的概 率是 【分析】根据概率的求法，求出 1 至 9 这 9 个自然数中既是奇数又是素数的个数，再根 据概率公式列式计算即可 【解答】解：在 19 这 9 个数中，既是奇数又是素数的
21、有 3、5、7 这三个， 这个数既是奇数又是素数的概率是， 故答案为： 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 14 （4 分）如图，在ABC 中，点 G 是重心，过点 G 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、 E已知，那么 （用向量表示） 【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到 ADAB，DEBC，计算 即可 【解答】解：DEBC，点 G 是重心， ADAB，DEBC， ， 故答案为： 第 12 页（共 23 页） 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行向量的计算
22、，掌握重心到顶点 的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1 是解题的关键 15 （4 分）如图，已知O 中，直径 AB 平分弦 CD，且交 CD 于点 E，如果 OEBE，那 么弦 CD 所对的圆心角是 120 度 【分析】连接 OC，BC，OD，利用等边三角形的判定得出OCB 是等边三角形，进而得 出COB60，进而解答即可 【解答】解：连接 OC，BC，OD， 直径 AB 平分弦 CD，OEBE， OCBCOB， OCB 是等边三角形， COB60， COD120， 即弦 CD 所对的圆心角是 120， 故答案为：120 【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据等边三角形的判定得
23、出OCB 是 等边三角形 16 （4 分）已知正多边形的边长为 a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的 边心距是 （用含字母 a 的代数式表示） 【分析】根据题意可得这个正多边形的一个外角为 60，求得它的中心角60，于是 得到正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，进而可得边心距 【解答】解：正多边形的一个外角是其内角的一半， 第 13 页（共 23 页） 设外角为 x，则内角为 2x， x+2x180， x60， 这个正多边形的边数是 360606， 它的中心角60， 正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形， 它的半径为 a， 此正多边形的边心距是a， 故答案为：a
24、 【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，熟知正六边形的半径与边长相等；中心到正 多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距是解题的关键 17 （4 分）在平面直角坐标系中，如果对任意一点（a，b） ，规定两种变换：f（a，b）（ a，b） ，g（a，b）（b，a） ，那么 gf（1，2） （2，1） 【分析】首先根据变换方法可得 f（1，2）（1，2） ，再根据变换方法可得 g（1， 2）（2，1） ，从而可得答案 【解答】解：由题意得：f（1，2）（1，2） ， g（1，2）（2，1） ， 故答案为： （2，1） 【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是理解题意，掌握变换的方法 18 （4 分）等
25、腰ABC 中，ABAC，它的外接圆O 半径为 1，如果线段 OB 绕点 O 旋转 90后可与线段 OC 重合，那么ABC 的余切值是 【分析】分腰ABC 是锐角三角形和钝角三角形两种情况，根据等腰三角形的性质、正 切的概念计算 【解答】解：如图 1，由题意得，BOC90，ADBC， 则OBC45， BDOD， AD+1， 第 14 页（共 23 页） 则 cotABC1； 如图 2，cotABC+1， 故答案为：1 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握等腰三角形的性质、正切的概念、 灵活运用分情况讨论思想是解题的关键 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 7 题，满分题，
26、满分 78 分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位 置上】置上】 19 （10 分）计算：+（cot45）2018+|+（3）0（sin30） 1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得 出答案 【解答】解：原式3+（1）2018+（）+1（） 1 3+1+12 2+ 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （10 分）解方程：+ 【分析】首先找出最简公分母进而去分母解方程得出答案 【解答】解：+， （x+4） （x1）5（x+1）6x 第 15 页（共 23 页） x2+3x
27、45x56x0， x28x90， 解得：x11，x29， 经检验：x1 是增根，舍去 原方程的根是 x9 【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的方法是解题关键 21 （10 分）已知：如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，AC、DB 交于点 HDE 平分ADB， 交 AC 于点 E联结 BE 并延长，交边 AD 于点 F （1）求证：DCEC； （2）求EAF 的面积 【分析】 （1）由正方形性质知ADHHDCDCHDAE45，根据 DE 平分 ADB 知ADEEDH，由DAE+ADEDEC、EDH+HDCEDC 得 EDCDEC，据此即可得证； （2）由AFECBE 知（
28、）2，再求出 SEBC，进一步求解可得 【解答】解： （1）正方形 ABCD， DCBCBAAD，BADADCDCBCBA90， AHDHCHBH，ACBD， ADHHDCDCHDAE45， 又DE 平分ADB， ADEEDH， DAE+ADEDEC，EDH+HDCEDC， EDCDEC， DCEC； （2）正方形 ABCD， 第 16 页（共 23 页） ADBC， AFECBE， （）2， ABBCDCEC1，AC， AE1， RtBHC 中，BHBC， 在BEC 中，BHEC，SEBC1， （1）2， SAEF（32） 【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和
29、相似三角 形的判定与性质等知识点 22 （10 分）今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为 10 元/千克，已知销 售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发 现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润销售 价成本价） 【分析】 （1）观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出 y 与 x 之间的函 数关系式； （2）根据总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于 x 的一
30、元二次方程，解 之取其中的正值即可得出结论 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式 ykx+b（k0） ， 第 17 页（共 23 页） 把（10，40） ， （18，24）代入得：， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式 y2x+60（10x18） ； （2）根据题意得： （x10） （2x+60）150， 整理，得：x240x+3750， 解得：x115，x225（不合题意，舍去） 答：该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 15 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找 准点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式
31、； （2）找准等量关系，正确列出一元二次 方程 23 （12 分）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AC、DB 交于点 E，点 F 在 BC 的延长 线上，联结 EF、DF，且DEFADC （1）求证：； （2）如果 BD22ADDF，求证：平行四边形 ABCD 是矩形 【分析】 （1）由已知条件和平行四边形的性质易证ADBEBF，再由相似三角形的 性质：对应边的比值相等即可证明：； （2）由（1）可得 BD22ADBF，又因为 BD22ADDF，所以可证明 BFDF，再由 等腰三角形的性质可得DEF90，所以ADCDEF90，进而可证明平行四 边形 ABCD 是矩形 【解答】解： （1
32、）证明：平行四边形 ABCD， ADBC，ABDC BAD+ADC180， 又BEF+DEF180， 第 18 页（共 23 页） BAD+ADCBEF+DEF， DEFADC， BADBEF， ADBC， EBFADB， ADBEBF， ； （2）ADBEBF， ， 在平行四边形 ABCD 中，BEEDBD， ADBFBDBEBD2， BD22ADBF， 又BD22ADDF， BFDF， DBF 是等腰三角形， BEDE， FEBD， 即DEF90， ADCDEF90， 平行四边形 ABCD 是矩形 【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其 中（2）小题证
33、明DBF 是等腰三角形是解题的关键 24 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B（8，0）和点 C（9，3） 抛物线 yax2 第 19 页（共 23 页） 8ax+c（a，c 是常数，a0）经过点 B、C，且与 x 轴的另一交点为 A对称轴上有一 点 M，满足 MAMC （1）求这条抛物线的表达式； （2）求四边形 ABCM 的面积； （3）如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD 是等腰梯形，且 ADBC，求点 D 的坐 标 【分析】 （1）先求出抛物线的对称轴方程，再确定点 A 的坐标，然后利用待定系数法求 抛物线解析式； （2）设 M（4，y） ，由于 MAMC，则利
34、用两点间的距离公式得到 42+y252+（y+3）2， 再解方程可得到 M（4，3） ，然后利用梯形的面积公式求解； （3）先利用待定系数法求直线 BC 的解析式为 y3x+24，则利用 ADBC 得到直线 AD 的解析式为 y3x，根据等腰梯形的性质得 CDAB8，设 D（t，3t） ，所以（t 9）2+（3t+3）282，然后解方程求出 t 即可得到 D 点坐标 【解答】解： （1）抛物线对称轴为直线 x4， 点 B（8，0）关于直线 x4 的对称点 A 的坐标为（0，0） ， 将 A（0，0） ，C（9，3）代入 yax28ax+c 得，解得， 抛物线解析式为 yx2+x； （2）设 M
35、（4，y） ， 又MAMC， 第 20 页（共 23 页） 42+y252+（y+3）2， 解得 y3， M（4，3） ， MCAB 且 MCAB， 四边形 ABCM 为梯形， 四边形 ABCM 的面积（5+8）3； （3）设直线 BC 的解析式为 ymx+n， 把 B（8，0） ，C（9，3）代入得，解得， 直线 BC 的解析式为 y3x+24， ADBC， 直线 AD 的解析式为 y3x， 四边形 ABCD 是等腰梯形， CDAB8， 设 D（t，3t） ， （t9）2+（3t+3）282，解得 t11（舍去） ，t2， 点 D 的坐标（，） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二
36、次函数图象上点的坐标特征、二次 函数的性质和等腰梯形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质， 第 21 页（共 23 页） 记住两点间的距离公式 25 （14 分）如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AB6，BC9，cosABC对角线 AC、BD 交于点 O动点 P 在边 AB 上，P 经过点 B，交线段 PA 于点 E设 BPx （1）求 AC 的长； （2）设O 的半径为 y，当P 与O 外切时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义 域； （3）如果 AC 是O 的直径，O 经过点 E，求O 与P 的圆心距 OP 的 长 【分析】 （1）先求出 BH，进而得出 H
37、C，利用勾股定理求出 AH，即可得出结论； （2）先求出 AI，IO，进而得出 PI，利用勾股定理得出 OP，即可得出结论； （3）先判断出O 与P 相交，再分两种情况讨论即可得出结论 【解答】解： （1）如图，作 AHBC 于 H，且 cosABC，AB6， BHABcosABC2， BC9， HC927， 在 RtABH 中，根据勾股定理得，AH4 在 RtAHC 中，根据勾股定理得，AC9； （2）如图 2，作 OIAB 于 I，联结 PO，ACBC9，AO4.5 OABABC， RtAIO 中，cosIAOcosABC AI1.5，IO2AI3 PIABBPAI6x1.5x 第 22
38、页（共 23 页） RtPIO 中，OP2PI2+OI2x29x+ P 与O 外切， OPx+y yxx 动点 P 在边 AB 上，P 经过点 B，交线段 PA 于点 E 定义域：0x3， （3）由题意得： 点 E 在线段 AP 上，O 经过点 E， O 与P 相交 AO 是O 半径，且 AOOI， 交点 E 存在两种不同的位置，OEOA 当 E 与点 A 不重合时，AE 是O 的弦，OI 是弦心距， AI1.5，AE3， 点 E 是 AB 中点，BEAB3，BPPE，PI3，IO3， OP3 当 E 与点 A 重合时，点 P 是 AB 中点，点 O 是 AC 中点，OPBC OP3或 第 23 页（共 23 页） 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，锐角三角函数，勾股定理， 和圆的位置关系，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键
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