1、2018 年上海市长宁区中考数学二模试卷年上海市长宁区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【每题只有一个正确选项，在答题纸分） 【每题只有一个正确选项，在答题纸 相应题号的选项上用相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂】铅笔正确填涂】 1 （4 分）函数 y2x1 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （4 分）下列式子一定成立的是（ ） A2a+3a6a Bx8x2x4 Ca D （a 2）3 3 （4 分）下列二次根式中，的同类二次根式是（ ） A B C D 4
2、（4 分）已知一组数据 2、x、8、5、5、2 的众数是 2，那么这组数据的中位数是（ ） A3.5 B4 C2 D6.5 5 （4 分）已知圆 A 的半径长为 4，圆 B 的半径长为 7，它们的圆心距为 d，要使这两圆没 有公共点，那么 d 的值可以取（ ） A11 B6 C3 D2 6 （4 分）已知在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，且 ACBD，下 列四个命题中真命题是（ ） A若 ABCD，则四边形 ABCD 一定是等腰梯形 B若DBCACB，则四边形 ABCD 一定是等腰梯形 C若，则四边形 ABCD 一定是矩形 &
3、nbsp;D若 ACBD 且 AOOD，则四边形 ABCD 一定是正方形 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接 填写答案】填写答案】 7 （4 分）计算：sin30（3）0 8 （4 分）方程x的解是 9 （4 分）不等式组的解集是 第 2 页（共 25 页） 10 （4 分）已知反比例函数 y的图象经过点（2017，2018） ，当 x0 时，函数值 y 随 自变量 x 的值增大而 （填“增大”或“减小”
4、 ） 11 （4 分）若关于 x 的方程 x2m0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 12 （4 分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的 5 张纸片中随机抽取一张， 抽到中心对称图形的概率是 13 （4 分）抛物线 ymx2+2mx+5 的对称轴是直线 14 （4 分）小明统计了家里 3 月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如 图所示） ，则通话时间不足 10 分钟的通话次数的频率是 15 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，BC15，CD 9，EF6，AFE50，
5、则ADC 的度数为 16 （4 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，C90，BCCD4，AD2，若 ， ，用 、 表示 17 （4 分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫 做半高三角形已知直角三角形 ABC 是半高三角形，且斜边 AB5，则它的周长等 于 第 3 页（共 25 页） 18 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的长为 1，点 P 是线段 BD 上的一点，联结 CP，将BCP 沿着直线 CP 翻折，若点 B 落在边 AD 上的点 E 处，且 EPAB，则 AB 的 长等于
6、 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位 置上】置上】 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 x 20 （10 分）解方程组： 21 （10 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，点 D 在 BA 的延长线上，BC24，sin ABC （1）求 AB 的长； （2）若 AD6.5，求DCB 的余切值 22 （10 分）某旅游景点的年游客量 y（万人）是门票价格 x（元）的一次函数，其函数图 象如图 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）经过景点工作
7、人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为 20 元那么要想获得年 利润 11500 万元，且门票价格不得高于 230 元，该年的门票价格应该定为多少元？ 第 4 页（共 25 页） 23 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 在 BC 的延长线，联结 AE 分别交 BD、 CD 于点 G、F，且 （1）求证：ABCD； （2）若 BC2GDBD，BGGE，求证：四边形 ABCD 是菱形 24 （12 分）如图在直角坐标平面内，抛物线 yax2+bx3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别交 于点 B（1，0） 、点 C（3，0） ，点 D 是抛物线的顶点 （1）求抛物线的表达式
8、及顶点 D 的坐标； （2）联结 AD、DC，求ACD 的面积； （3）点 P 在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标 25 （14 分）在圆 O 中，C 是弦 AB 上的一点，联结 OC 并延长，交劣弧 AB 于点 D，联结 AO、BO、AD、BD已知圆 O 的半径长为 5，弦 AB 的长为 8 第 5 页（共 25 页） （1）如图 1，当点 D 是弧 AB 的中点时，求 CD 的长； （2）如图 2，设 ACx，y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形 AOBD 是梯形，求 AD 的长 第 6 页（共 25
9、页） 2018 年上海市长宁区中考数学二模试卷年上海市长宁区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分） 【每题只有一个正确选项，在答题纸分） 【每题只有一个正确选项，在答题纸 相应题号的选项上用相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂】铅笔正确填涂】 1 （4 分）函数 y2x1 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】由于 k2，函数 y2x1 的图象经过第一、三象限；b1，图象与 y 轴的交 点在 x 轴的下方，即图象经过第四象限，即可判断图象不经
10、过第二象限 【解答】解：k20， 函数 y2x1 的图象经过第一，三象限； 又b10， 图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方，即图象经过第四象限； 所以函数 yx1 的图象经过第一，三，四象限，即它不经过第二象限 故选：B 【点评】本题考查了一次函数 ykx+b（k0，k，b 为常数）的性质它的图象为一条 直线，当 k0，图象经过第一，三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0，图象经过第二， 四象限，y 随 x 的增大而减小；当 b0，图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方；当 b0，图 象过坐标原点；当 b0，图象与 y 轴的交点在 x 轴的下方 2 （4 分）下列式子一定成立的是（ ） A
11、2a+3a6a Bx8x2x4 Ca D （a 2）3 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，分数指数幂，积的乘方，可得答案 【解答】解：A、2a+3a5a，故 A 不符合题意； B、x8x2x6，故 B 不符合题意； C、a，故 C 不符合题意； D、 （a 2）3a6 ，故 D 符合题意； 故选：D 第 7 页（共 25 页） 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键 3 （4 分）下列二次根式中，的同类二次根式是（ ） A B C D 【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与与是同类二次根式，本题得 以解决 【解答】解：A、2 与不是同类
12、二次根式，错误； B、与不是同类二次根式，错误； C、与是同类二次根式，正确； D、与不是同类二次根式，错误； 故选：C 【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数 化到最简，再找哪几个数是同类二次根式 4 （4 分）已知一组数据 2、x、8、5、5、2 的众数是 2，那么这组数据的中位数是（ ） A3.5 B4 C2 D6.5 【分析】先根据众数定义求出 x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是 中位数 【解答】解：数据 2、x、8、5、5、2 的众数是 2， x2， 则数据为 2、2、2、5、5、8， 所以中位数为3.5， 故选：A
13、 【点评】本题考查了众数、中位数，解题的关键是理解众数、中位数的概念，并根据概 念求出一组数据的众数、中位数 5 （4 分）已知圆 A 的半径长为 4，圆 B 的半径长为 7，它们的圆心距为 d，要使这两圆没 有公共点，那么 d 的值可以取（ ） A11 B6 C3 D2 【分析】若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围 【解答】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含， 外离时的数量关系应满足 d11； 第 8 页（共 25 页） 内含时的数量关系应满足 0d3 观察选项，只有 D 符合题意 故选：D 【点评】考查了圆与圆的位置关系，关键是根据两圆的位置关系和数量关系之间的
14、等价 关系解答 6 （4 分）已知在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，且 ACBD，下 列四个命题中真命题是（ ） A若 ABCD，则四边形 ABCD 一定是等腰梯形 B若DBCACB，则四边形 ABCD 一定是等腰梯形 C若，则四边形 ABCD 一定是矩形 D若 ACBD 且 AOOD，则四边形 ABCD 一定是正方形 【分析】根据等腰梯形、矩形、正方形的判定判断即可 【解答】解：A、在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，且 ACBD， 若 ABCD，则四边形 ABCD 可能是矩形，错误； B、在四
15、边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，且 ACBD，若DBC ACB，则四边形 ABCD 可能是正方形，错误； C、在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，且 ACBD，若， 则四边形 ABCD 一定是矩形，正确； D、在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，且 ACBD，若 ACBD 且 AOOD，则四边形 ABCD 可能是等腰梯形，错误； 故选：C 【点评】此题考查命题与定理，关键是根据等腰梯形、矩形、正方形的判定解答 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分
16、） 【在答题纸相应题号后的空格内直接分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接 填写答案】填写答案】 7 （4 分）计算：sin30（3）0 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1 第 9 页（共 25 页） 故答案为： 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 8 （4 分）方程x的解是 x2 【分析】无理方程两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即 可得到无理方程的解 【解答】解：两边平方得：x2x+6，即（x3） （x+2）0， 解得：x3 或 x2， 经检验 x3 是增根，无理方程的解为 x2， 故答案
17、为：x2 【点评】此题考查了无理方程，利用了转化的思想，无理方程注意要验根 9 （4 分）不等式组的解集是 x3 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 【解答】解： 解不等式，得 x3； 解不等式，得 x； 不等式组的解集为 x3， 故答案为 x3 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中 间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 10 （4 分）已知反比例函数 y的图象经过点（2017，2018） ，当 x0 时，函数值 y 随 自变量 x 的值增大而 增大 （填“增大”或“减小” ） 【分析】根据题意，利用待定系数法解出系数的符号，再
18、根据 k 值的正负确定函数值的 增减性 【解答】解：反比例函数 y的图象经过点（2017，2018） ， 所以 k0， 所以当 x0 时，y 的值随自变量 x 值的增大而增大 第 10 页（共 25 页） 故答案为：增大 【点评】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式和反比例函数的性质，解题 时注意：当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大 而增大 11（4 分） 若关于 x 的方程 x2m0 有两个相等的实数根， 则 m 的值是 m 【分析】根据题意可以得到0，从而可以求得 m 的值 【解答】解：关于 x 的方程 x2m0 有两个相等的
19、实数根， 0， 解得，m， 故答案为：m 【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确根的判别式的意义 12 （4 分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的 5 张纸片中随机抽取一张， 抽到中心对称图形的概率是 【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的 5 张纸片中，中心对称图 案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：在等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的 5 张纸片中，中心对称图 形有圆、矩形、菱形这 3 个， 抽到中心对称图形的概率是， 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同
20、， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 13 （4 分）抛物线 ymx2+2mx+5 的对称轴是直线 x1 【分析】根据二次函数 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x即可求解 【解答】解：抛物线 ymx2+2mx+5 的对称轴是直线 x1，即 x1 故答案为 x1 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直 第 11 页（共 25 页） 线 x是解题的关键 14 （4 分）小明统计了家里 3 月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如 图所示） ，则通话时间不足 10 分钟的通话次数的频率是 0.7 【分
21、析】用通话时间不足 10 分钟的通话次数除以通话的总次数即可得 【解答】解：通话时间不足 10 分钟的通话次数的频率是0.7， 故答案为：0.7 【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率频数总数 15 （4 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，BC15，CD 9，EF6，AFE50，则ADC 的度数为 140 【分析】连接 BD，根据三角形中位线定理得到 EFBD，BD2EF12，根据勾股定理 的逆定理得到BDC90，计算即可 【解答】解：连接 BD， E、F 分别是边 AB、AD 的中点， EFBD，BD2EF12， ADBAFE50，
22、 BD2+CD2225，BC2225， BD2+CD2BC2， BDC90， ADCADB+BDC140， 故答案为：140 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于 第三边，并且等于第三边的一半 16 （4 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，C90，BCCD4，AD2，若 ， ，用 、 表示 【分析】过点 A 作 AEDC 于点 E，构造矩形 AECB 和直角三角形 ADE，利用矩形的性 质和勾股定理求得 DE 的长度，易得 AB 的长度，然后利用向量加法的几何意义解答 【解答】解：如图，过点 A 作 AEDC 于点
23、E， 在梯形 ABCD 中，ABCD，C90， ABCE，AEBC BCCD4，AD2， DE2， ABCDCE422 ABDC ， ， 故答案是： 第 13 页（共 25 页） 【点评】考查了平面向量和梯形，解题的关键是找到，另外注意题中辅助线的 作法 17 （4 分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫 做半高三角形已知直角三角形 ABC 是半高三角形，且斜边 AB5，则它的周长等于 5+3或 5+5 【分析】分两种情况讨论：RtABC 中，CDAB，CDAB；RtABC 中， ACBC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为 5+3或
24、 5+5 【解答】解：如图所示，RtABC 中，CDAB，CDAB， 设 BCa，ACb，则 ， 解得 a+b5，或 a+b5（舍去） ， AB 长度周长为 5+5； 如图所示，RtABC 中，ACBC， 设 BCa，ACb，则 第 14 页（共 25 页） ， 解得， AB 长度周长为 3+5； 综上所述，该三角形的周长为 5+3或 5+5 故答案为：5+3或 5+5 【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用 勾股定理进行推算 18 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的长为 1，点 P 是线段 BD 上的一点，联结 CP，将BCP 沿着直
25、线 CP 翻折，若点 B 落在边 AD 上的点 E 处，且 EPAB，则 AB 的 长等于 【分析】设 CDABa，利用勾股定理可得到 RtCDE 中，DE2CE2CD212a2， RtDEP 中，DE2PD2PE212PE，进而得出 PEa2，再根据DEPDAB，即 可得到，即，可得，即可得到 AB 的长等于 【解答】解：如图，设 CDABa，则 BC2BD2CD21a2， 由折叠可得，CEBC，BPEP， CE21a2， RtCDE 中，DE2CE2CD212a2， PEAB，A90， PED90， RtDEP 中，DE2PD2PE2（1PE）2PE212PE， PEa2， PEAB， D
26、EPDAB， 第 15 页（共 25 页） ，即， ， 即 a2+a10， 解得，（舍去） ， AB 的长等于， 故答案为： 【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的性质，勾股定理的综合运用，折叠 是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边 和对应角相等 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位 置上】置上】 19 （10 分）先化简，再求值：，其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将化简后的 x 的值代
27、入计 算可得 【解答】解：原式 ， 当 x1 时， 原式1 第 16 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和 运算法则 20 （10 分）解方程组： 【分析】首先将方程可变形，然后与方程分别组成方程组，即可求出方程组的解 【解答】解：方程可变形为（x+6y） （xy）0 得 x+6y0 或 xy0 将它们与方程分别组成方程组，得（）或（） 解方程组（），解方程组（）， 所以原方程组的解是 【点评】本题主要考查解高次方程组，关键在于
28、将方程可变形 21 （10 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，点 D 在 BA 的延长线上，BC24，sin ABC （1）求 AB 的长； （2）若 AD6.5，求DCB 的余切值 【分析】 （1）过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，解直角三角形得到，设 AE5k， AB13k，根据勾股定理求得 k 的值，即可求得 AB 的长； （2）过点 D 作 DFBC，垂足为点 F，先证得 AEDF，根据平行线分线段成比例定理 证得 DF，BF18，即可求得 CF6，然后解直角三角形即可求得 【解答】解： （1）过点 A 作 AEBC，垂足为点 E， 又ABAC， 第 17 页（共 25
29、 页） BEBC， BC24， BE12， 在 RtABE 中，AEB90，sinABC， 设 AE5k，AB13k， AB2AE2+BE2， BE12k12， k1， AE5k5，AB13k13； （2）过点 D 作 DFBC，垂足为点 F， AD6.5，AB13， BDAB+AD19.5， AEBC，DFBC， AEBDFB90， AEDF， ， 又AE5，BE12，AB13， DF，BF18， CFBCBF，即 CF24186， 在 RtDCF 中，DFC90，cotDCB 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，作出辅助线构建直角三 角形是解题的关键 22 （10 分）
30、某旅游景点的年游客量 y（万人）是门票价格 x（元）的一次函数，其函数图 象如图 第 18 页（共 25 页） （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为 20 元那么要想获得年 利润 11500 万元，且门票价格不得高于 230 元，该年的门票价格应该定为多少元？ 【分析】 （1）设 y 关于 x 的函数解析式为 ykx+b，用待定系数法建立关于 k 和 b 的方程 组，解之即可求出所求； （2）按照等量关系“年利润（门票定价成本价）年游客量”列出方程，解方程即 可 【解答】解： （1）设 y 关于 x 的函数解析式为 ykx
31、+b， 函数图象过点（200，100） ， （50，250） ， ，解之得：， 所以 y 关于 x 的解析式为：yx+300； （2）设门票价格定为 x 元，依题意可得： （x20） （x+300）11500， 整理得：x2320x+175000， 解之得：x170，x2250（舍去） ， 答：门票价格应该定为 70 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意 的解找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键 23 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 在 BC 的延长线，联结 AE 分别交 BD、 CD 于点 G、F，且
32、（1）求证：ABCD； （2）若 BC2GDBD，BGGE，求证：四边形 ABCD 是菱形 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）欲证明 ABCD，只要证明即可； （2）利用相似三角形的性质证明 BCCD 即可解决问题； 【解答】证明： （1）ADBE， ， ， ABCD （2）ADBC，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD， BC2GDBD， AD2GDBD， 即， 又ADGBDA， ADGBDA， DAGABD， ABCD， ABDBDC， ADBC， DAGE， BGGE， DBCE， BDCDBC， 第 20 页（共 25 页） BCCD， 四边形 ABCD
33、是平行四边形， 平行四边形 ABCD 是菱形 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定、平行线 的判定等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 24 （12 分）如图在直角坐标平面内，抛物线 yax2+bx3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别交 于点 B（1，0） 、点 C（3，0） ，点 D 是抛物线的顶点 （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）联结 AD、DC，求ACD 的面积； （3）点 P 在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标 【分析】 （1）直接利用待定系数法
34、求出二次函数解析式即可； （2）利用勾股定理逆定理得出CAD90，再利用直角三角形面积求法得出答案； （3）当POCABC 时以及当POCACB 时，分别得出 P 点坐标 【解答】解： （1）点 B（1，0） 、C（3，0）在抛物线 yax2+bx3 上， ， 解得：， 抛物线的表达式为：yx22x3（x1）24， 故顶点 D 的坐标是（1，4） ； 第 21 页（共 25 页） （2）A（0，3） ，C（3，0） ，D（1，4） ， AC3，CD2，AD， CD2AC2+AD2， CAD90， SACDACAD33； （3）CADAOB90， CADAOB， ACDOAB， OAOC，AOC
35、90， OACOCA45， OAC+OABOCA+ACD，即BACBCD， 若以 O、P、C 为顶点的三角形与ABC 相似，且ABC 为锐角三角形， 则POC 也为锐角三角形，点 P 在第四象限， 由点 C（3，0） ，D（1，4）得直线 CD 的表达式是：y2x6，设 P（t，2t6） （0 t3） 过 P 作 PHOC，垂足为点 H，则 OHt，PH62t， 当POCABC 时，由 tanPOCtanABC 得， 3， 解得：t， P1（，） ； 当POCACB 时，由 tanPOCtanACBtan451，得1， 1， 解得：t2， P2（2，2） ， 第 22 页（共 25 页） 综上
36、得：P1（，）或 P2（2，2） 【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质，正确分类讨论 是解题关键 25 （14 分）在圆 O 中，C 是弦 AB 上的一点，联结 OC 并延长，交劣弧 AB 于点 D，联结 AO、BO、AD、BD已知圆 O 的半径长为 5，弦 AB 的长为 8 （1）如图 1，当点 D 是弧 AB 的中点时，求 CD 的长； （2）如图 2，设 ACx，y，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形 AOBD 是梯形，求 AD 的长 【分析】 （1）先求出 AC，再用勾股定理求出 CO，即可得出结论； （2）先求出 AH，OH，再表示
37、出 AO，利用勾股定理表示 CO，进而得出 CD，再判断出 OCHDCG，表示出 DG，即可得出结论； （3）分两种情况，利用勾股定理即可得出结论 【解答】解： （1）OD 过圆心，点 D 是弧 AB 的中点，AB8， ODAB，ACAB4， 在 RtAOC 中，ACO90，AO5， CO3， OD5， 第 23 页（共 25 页） CDODOC2； （2）如图 2，过点 O 作 OHAB，垂足为点 H， 则由（1）可得 AH4，OH3， ACx， CH|x4|， 在 RtHOC 中，CHO90，AO5， CO， CDODOC5， 过点 DGAB 于 G， OHAB， DGOH， OCHDCG
38、， ， DG， SACOACOHx3x， SBODBC（OH+DG）（8x）（3+）（8x） y（0x8） （3）当 OBAD 时，如图 3， 过点 A 作 AEOB 交 BO 延长线于点 E，过点 O 作 OFAD，垂足为点 F， 则 OFAE， 第 24 页（共 25 页） SABOHOBAE， AEOF， 在 RtAOF 中，AFO90，AO5， AF， OF 过圆心，OFAD， AD2AF 当 OABD 时， 如图 4， 过点 B 作 BMOA 交 AO 延长线于点 M， 过点 D 作 DGAO， 垂足为点 G， 则由的方法可得 DGBM， 在 RtGOD 中，DGO90，DO5， GO，AGAOGO， 在 RtGAD 中，DGA90， AD6 综上得 AD或 6 第 25 页（共 25 页） 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性 质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，作出辅助线是解本题的关键
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