1、2018 年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题给出每小题给出 4 个选项，其中只有一个选项，其中只有一 个是正确的）个是正确的） 1 （3 分）如果“收入 10 元”记作+10 元，那么支出 20 元记作（ ） A+20 元 B20 元 C+10 元 D10 元 2 （3 分）如图所示的圆锥体的三视图中，是中心对称图形的是（ ） A主视图 B左视图 C俯视图 D以上答案都不对 3 （3 分）2017 年，粤港澳大湾区发展取得显著成效，全
2、年 GDP 将达到 1.4 万亿美元，经 济总量有望在未来几年超越美国纽约湾区，称为全球第二大湾区；1.4 万亿美元用科学记 数法表示为（ ） A1.4103亿美元 B1.4104亿美元 C1.4108亿美元 D1.41012亿美元 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2a+3a5a B （x2）2x24 C （x2） （x3）x26 Da8a4a2 5 （3 分）我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动，为了解居民用水情况，在 小区随机抽查了 10 户 家庭的月用水量，结果如下表： 月用水量（吨） 8 9 10 户数 2 6 2 则关于这 10 户家庭的月用
3、水量，下列说法错误的是（ ） A方差是 4 B极差是 2 C平均数是 9 D众数是 9 6 （3 分）下列说法正确的是（ ） 第 2 页（共 25 页） A8 的立方根是 2 B函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 C同位角相等 D两条对角线互相垂直的四边形是菱形 7 （3 分）如图，函数 y2x 和 y（x0）的图象交于点 A（m，2） ，观察图象可知，不 等式2x 的解集为（ ） Ax0 Bx1 C0x1 D0x2 8 （3 分）如图，已知 AECF，AFDCEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ADFCBE 的是（ ） AAC BADCB CB
4、EDF DADBC 9 （3 分）如图，线段 CD 的两个端点的坐标分别为 C（1，2） ，D（2，0） ，以原点为位似 中心，将线段 CD 放大得到线段 AB，若点 B 的坐标为（5，0） ，则点 A 的坐标为（ ） A （2，5） B （3，6） C （3，5） D （2.5，5） 10 （3 分）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的 道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所 列方程正确的是（ ） 第 3 页（共 25 页） A （322x） （20x）570 B32x+220x3
5、220570 C （32x） （20x）3220570 D32x+220x2x2570 11 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，按如下步骤操作：以点 A 为圆心，任意 长为半径作弧，分别交 AC、AB 于 D、E 两点；以点 C 为圆心，AD 长为半径作弧， 交 AC 的延长线于点 F；以点 F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧交于点 G；作射线 CG，若FCG50，则B 为（ ） A30 B40 C50 D60 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCO 的边长为 3，点 O 为坐标原点，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在第一象限
6、内，直线 ykx+1 分别与 x 轴、y 轴、线段 BC 交于点 F、D、G，AEFG，下列结论：GCD 和FOD 的面积比为 3：1；AE 的最大长度为；tanFEO；当 DA 平分EAO 时，CG，其中正确的 结论有（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 第 4 页（共 25 页） 13 （3 分）分解因式：abb2 14 （3 分）在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的 2 个红球和 1 个白球，从中随机 摸出 1 个球后不放回，再从中随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率是 &n
7、bsp; 15 （3 分）对于实数 a、b，定义一种运算“”为：aba2+ab1若 x20，则 2x2+4x 3 16 （3 分）如图，四边形 OABC 中，ABOC，边 OA 在 x 轴的正半轴上，OC 在 y 轴的正 半轴上，点 B 在第一象限内，点 D 为 AB 的中点，CD 与 OB 相交于点 E，若BDE、 OCE 的面积分别为 1 和 9，反比例函数 y的图象经过点 B，则 k 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共计小题，共计 68 分）分） 17 （5 分）计算： （） 16tan30+（2 ）0+ 18 （6 分）先化简，再求值：（
8、1+） ，其中 a2 19 （7 分）深圳市某校艺术节期间，开展了“好声音”歌唱比赛，在初赛中，学生处对初 赛成绩做了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图（如图） ，请你根 据图中提供的信息，解答下列问题： 分组 频数 频率 74.5x79.5 2 0.04 79.5x84.5 a 0.16 84.5x89.5 20 0.40 89.5x94.5 16 0.32 94.5x 100.5 4 b 合计 50 1 （1）频数、频率分布表中 a ，b ； 第 5 页（共 25 页） （2）补全频数分布直方图； （3）初赛成绩在 94.5x100.5 分的四
9、位同学恰好是七年级、八年级各一位，九年级两 位，学生处打算从中随机挑选两位同学谈一下决赛前的训练，则所选两位同学恰好都是 九年级学生的概率为 20 （8 分）矗立在莲花山上的邓小平雕像气宇轩昂，这是中国第一座以城市雕塑形式竖立 的邓小平雕像铜像由像体 AD 和底座 CD 两部分组成，某校数学课外小组在地面的点 B 处测得点 A 的仰角ABC67，点 D 的仰角DBC30，已知 CD2 米，求像体 AD 的高度 （最后结果精确到 1 米，参考数据：sin670.92，cos670.39，tan672.4， 1.7） 21 （8 分）某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖
10、 300 件，为了促销，该网店 决定降价销售市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件已知该款童装每件成 本价 40 元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 第 6 页（共 25 页） 22 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+6 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点， 点 C 与点 A 关于 y 轴对称，点 E 为线段 OB 上一动点（不与 O、B 重合） CE 的延长线 与 AB 交于点 D，过 A、D、E 三点的圆与 y 轴交于点 F
11、 （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求证：BEEFDEAE； （3）若 tanBAE，求点 F 的坐标 23 （9 分）已知抛物线 ya（x2）29 经过点 P（6，7） ，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 AP 与 y 轴交于点 D，抛物线对称轴与 x 轴交于点 E， （1）求抛物线的解析式； （2）过点 E 任作一条直线 l （点 B、C 分别位于直线 l 的异侧） ，设点 C 到直线 l 的距离 为 m，点 B 到直线 1 的距离为 n，求 m+n 的最大值； （3）y 轴上是否存在点 Q，使QPDDEO，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理
12、由 第 7 页（共 25 页） 2018 年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷年广东省深圳市福田区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题给出每小题给出 4 个选项，其中只有一个选项，其中只有一 个是正确的）个是正确的） 1 （3 分）如果“收入 10 元”记作+10 元，那么支出 20 元记作（ ） A+20 元 B20 元 C+10 元 D10 元 【分析】根据正负数的含义，可得：收入记住“+” ，则支出记作“” ，据此求解即可 【解答】解：如果收入 1
13、0 元记作+10 元，那么支出 20 元记作20 元 故选：B 【点评】此题主要考查了正负数在实际生活中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是 理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量 2 （3 分）如图所示的圆锥体的三视图中，是中心对称图形的是（ ） A主视图 B左视图 C俯视图 D以上答案都不对 【分析】先判断圆锥的三视图，然后结合中心对称及轴对称的定义进行判断即可 【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 圆锥的左视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 圆锥的俯视图是圆，是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：C 【点评
14、】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称及中心对称的定义，解答本题关键是 判断出圆锥的三视图 3 （3 分）2017 年，粤港澳大湾区发展取得显著成效，全年 GDP 将达到 1.4 万亿美元，经 济总量有望在未来几年超越美国纽约湾区，称为全球第二大湾区；1.4 万亿美元用科学记 数法表示为（ ） 第 8 页（共 25 页） A1.4103亿美元 B1.4104亿美元 C1.4108亿美元 D1.41012亿美元 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
15、同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：1.4 万亿美元1.4104亿美元， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）下列运算正确的是（ ） A2a+3a5a B （x2）2x24 C （x2） （x3）x26 Da8a4a2 【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和多项式乘法、同底数幂的除法运 算法则分别计算得出答案 【解答】解：A、2a+3a5a，正确； B、 （x2）2x24x+4，故此选项
16、错误； C、 （x2） （x3）x25x+6，故此选项错误； D、a8a4a4，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和多项式乘法、同底数幂的除法 运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 5 （3 分）我市某小区开展了“节约用水为环保作贡献”的活动，为了解居民用水情况，在 小区随机抽查了 10 户 家庭的月用水量，结果如下表： 月用水量（吨） 8 9 10 户数 2 6 2 则关于这 10 户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ） A方差是 4 B极差是 2 C平均数是 9 D众数是 9 【分析】根据极差最大值最小值；平均数指在一组数据中所有数据之和再除以数据
17、 第 9 页（共 25 页） 的个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，以及方差公式 S2（x1 ）2+ （x2 ）2+（xn ）2，分别进行计算可得答案 【解答】解：极差：1082， 平均数： （82+96+102）109， 众数为 9， 方差：S2（89）22+（99）26+（109）220.4， 故选：A 【点评】此题主要考查了极差、众数、平均数、方差，关键是掌握各知识点的计算方法 6 （3 分）下列说法正确的是（ ） A8 的立方根是 2 B函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 C同位角相等 D两条对角线互相垂直的四边形是菱形 【
18、分析】A、根据立方根判断即可； B、根据自变量的取值范围判断即可； C、根据两直线平行，同位角相等判断； D、根据菱形的判定进行解答即可 【解答】解：A、8 的立方根是 2，正确； B、函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1，错误； C、两直线平行，同位角相等，错误； D、两条对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，错误； 故选：A 【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据立方根、函数的自变量、平行线的性质和菱 形的判定解答 7 （3 分）如图，函数 y2x 和 y（x0）的图象交于点 A（m，2） ，观察图象可知，不 等式2x 的解集为（ ） 第 10 页（共 25 页） Ax0 Bx1 C0x
19、1 D0x2 【分析】首先利用待定系数法求出 A 点坐标，再以交点为界，结合图象写出不等式 2x 的解集即可 【解答】解：函数 y2x 过点 A（m，2） ， 2m2， 解得：m1， A（1，2） ， 不等式2x 的解集为 x1 故选：B 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集 是解答此题的关键 8 （3 分）如图，已知 AECF，AFDCEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ADFCBE 的是（ ） AAC BADCB CBEDF DADBC 【分析】求出 AFCE，再根据全等三角形的判定定理判断即可 【解答】解：AECF， AE+EFCF+EF，
20、AFCE， A、在ADF 和CBE 中 ADFCBE（ASA） ，正确，故本选项错误； 第 11 页（共 25 页） B、根据 ADCB，AFCE，AFDCEB 不能推出ADFCBE，错误，故本选 项正确； C、在ADF 和CBE 中 ADFCBE（SAS） ，正确，故本选项错误； D、ADBC， AC， 在ADF 和CBE 中 ADFCBE（ASA） ，正确，故本选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定 定理有 SAS，ASA，AAS，SSS 9 （3 分）如图，线段 CD 的两个端点的坐标分别为 C（1，2） ，D（2，0） ，以原
21、点为位似 中心，将线段 CD 放大得到线段 AB，若点 B 的坐标为（5，0） ，则点 A 的坐标为（ ） A （2，5） B （3，6） C （3，5） D （2.5，5） 【分析】根据题意得到以原点为位似中心，将线段 CD 放大 2.5 倍得到线段 AB，根据位 似变换的性质计算即可 【解答】解：由题意得，OD2，OB5， 则以原点为位似中心，将线段 CD 放大 2.5 倍得到线段 AB， 点 C 的坐标为（1，2） ， 点 A 的坐标为（12.5，22.5）即（2.5，5） ， 故选：D 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似 第 12
22、页（共 25 页） 中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 10 （3 分）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的 道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所 列方程正确的是（ ） A （322x） （20x）570 B32x+220x3220570 C （32x） （20x）3220570 D32x+220x2x2570 【分析】 六块矩形空地正好能拼成一个矩形， 设道路的宽为 xm， 根据草坪的面积是 570m2， 即可列出方程 【解答】解：设道路的
23、宽为 xm，根据题意得： （322x） （20x）570， 故选：A 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的 思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程 11 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，按如下步骤操作：以点 A 为圆心，任意 长为半径作弧，分别交 AC、AB 于 D、E 两点；以点 C 为圆心，AD 长为半径作弧， 交 AC 的延长线于点 F；以点 F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧交于点 G；作射线 CG，若FCG50，则B 为（ ） A30 B40 C50 D60 【分析】连接 AD，FG，根据作法得到 ADAECF
24、CG，DEFG，根据全等三角形 的性质得到AFCG50，根据三角形的内角和即可得到结论 【解答】解：连接 AD，FG， 第 13 页（共 25 页） 由题意得，ADAECFCG，DEFG， ADECFG， （SSS） ， AFCG50， ACB90， B40， 故选：B 【点评】本题考查了基本作图、三角形的内角和，全等三角形判定和性质，解题的关键 是掌握基本作图，属于中考常考题型 12 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCO 的边长为 3，点 O 为坐标原点，点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 在第一象限内，直线 ykx+1 分别与 x 轴、y 轴、线段 BC 交于点
25、F、D、G，AEFG，下列结论：GCD 和FOD 的面积比为 3：1；AE 的最大长度为；tanFEO；当 DA 平分EAO 时，CG，其中正确的 结论有（ ） A B C D 【分析】根据面积比等于相似比的平方，可判断，由AOD90，AED90可 得 A，E，D，O 四点共圆，所以 AE 最大值就是 AD，tanFEOtanDAO，可判断 当 DA 平分EAO，根据ADEADO 可得 AE3，DE1，由AEFDFO 可求 OF 的长，即求出 CG 的长 【解答】解ABCD 是正方形 AOABBCCO3，BCAO，且 DO1 CD2，AD 第 14 页（共 25 页） BCAO ，故错误 AO
26、D90，AED90 A，E，D，O 四点共圆， AE 的最大值是直径 AD，FEODAO tanFEOtanDAO故正确 DA 平分EAO，DEAE，DOAO DEDO1，且 ADAD RtADERtDOA AOAE3 设 OFa，则 CG2a，AF3+a DF DFODFO，DOFAEF90 DFOAEF a CG2a故正确 故选：C 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，圆的性质，平行线 分线段成比例，关键是灵活运用这些性质解决问题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分分） 13 （3 分）分解因式：abb
27、2 b（ab） 【分析】根据提公因式法，可得答案 【解答】解：原式b（ab） ， 故答案为：b（ab） 【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键 第 15 页（共 25 页） 14 （3 分）在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的 2 个红球和 1 个白球，从中随机 摸出 1 个球后不放回，再从中随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率是 【分析】先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数， 然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为 2， 所以随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率 故答
28、案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果 求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率 15 （3 分）对于实数 a、b，定义一种运算“”为：aba2+ab1若 x20，则 2x2+4x 3 1 【分析】直接利用已知得出 x2+2x1，进而代入求出答案 【解答】解：aba2+ab1，x20， x2+2x10， 则 x2+2x1， 故 2x2+4x32（x2+2x）32131 故答案为：1 【点评】此题主要考查了实数运算，正确得出 x2+2x1 是解题关键 16 （3 分）如图，四边形 OABC
29、中，ABOC，边 OA 在 x 轴的正半轴上，OC 在 y 轴的正 半轴上，点 B 在第一象限内，点 D 为 AB 的中点，CD 与 OB 相交于点 E，若BDE、 OCE 的面积分别为 1 和 9，反比例函数 y的图象经过点 B，则 k 16 第 16 页（共 25 页） 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得BED，COE 高的关系，且 AB2BD 代入 kAOAB 中，可求 k 的值 【解答】解：设BDE 的高为 h1，CEO 的高为 h2 SBDE1 BDh12 COAB COEBDE 9 h23h1 AO4h1 D 是 BA 中点 AB2BD kABAO2BD4h116
30、故答案为 16 【点评】反比例函数系数 k 的几何意义，相似三角形的性质，关键是运用相似三角形的 面积比等于相似比的平方解决问题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共计小题，共计 68 分）分） 17 （5 分）计算： （） 16tan30+（2 ）0+ 【分析】直接利用特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、负指数幂的性质以及二次根 式的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式26+1+2 22+1+2 3 第 17 页（共 25 页） 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 a2 【分析】根据分式的混合运算顺序和
31、运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 a2 时，原式1 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和 运算法则 19 （7 分）深圳市某校艺术节期间，开展了“好声音”歌唱比赛，在初赛中，学生处对初 赛成绩做了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图（如图） ，请你根 据图中提供的信息，解答下列问题： 分组 频数 频率 74.5x79.5 2 0.04 79.5x84.5 a 0.16 84.5x89.5 20 0.40 89.5x94.5 16 0.32 94.5x 100.5 4 b 合计 50 1 （1）频数、频
32、率分布表中 a 8 ，b 0.08 ； （2）补全频数分布直方图； （3）初赛成绩在 94.5x100.5 分的四位同学恰好是七年级、八年级各一位，九年级两 位，学生处打算从中随机挑选两位同学谈一下决赛前的训练，则所选两位同学恰好都是 九年级学生的概率为 第 18 页（共 25 页） 【分析】 （1）先根据第 1 组的频数及其频率求得总人数，再根据频率频数总数可分 别求得 a、b 的值； （2）根据（1）中所求结果可补全图形； （3）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单 【解答】解： （1）被调查的总人数为 20.0450， a500.168、b4500.08， 故答案为
33、：8、0.08； （2）如图所示： （3）画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能结果， 其中所选两位同学恰好都是九年级学生有2种结果， 第 19 页（共 25 页） 所选两位同学恰好都是九年级学生的概率为， 故答案为： 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总 情况数之比 20 （8 分）矗立在莲花山上的邓小平雕像气宇轩昂，这是中国第一座以城市雕塑形式竖立 的邓小平雕像铜像由像体 AD 和底座
34、 CD 两部分组成，某校数学课外小组在地面的点 B 处测得点 A 的仰角ABC67，点 D 的仰角DBC30，已知 CD2 米，求像体 AD 的高度 （最后结果精确到 1 米，参考数据：sin670.92，cos670.39，tan672.4， 1.7） 【分析】在 RtDBC 有 BC求得 BC 的长，在 RtABC 中由 ACBCtan ABC 求得 AC 的长，根据 ADACCD 可得答案 【解答】解：在 RtDBC 中，DBC30，且 CD2 米， BC2， 在 RtABC 中，ABC67， ACBCtanABC2tan678.16， 则 ADAC26， 答：像体 AD 的高度约为 6
35、 米 第 20 页（共 25 页） 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键 21 （8 分）某网店销售某款童装，每件售价 60 元，每星期可卖 300 件，为了促销，该网店 决定降价销售市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 件已知该款童装每件成 本价 40 元，设该款童装每件售价 x 元，每星期的销售量为 y 件 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 【分析】 （1）根据售量 y（件）与售价 x（元/件）之间的函数关系即可得到结论； （2） ）设每星期利润为
36、y 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题 【解答】解： （1）根据题意可得： y300+30（60x） 30x+2100； （2）设每星期利润为 W 元，根据题意可得： W（x40） （30x+2100） 30（x55）2+6750 则 x55 时，W 最大值6750 故每件售价定为 55 元时，每星期的销售利润最大，最大利润 6750 元 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题 22 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+6 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点， 点 C 与点 A 关于 y 轴对称，点 E 为线段 OB 上一动点（不与 O、B
37、 重合） CE 的延长线 与 AB 交于点 D，过 A、D、E 三点的圆与 y 轴交于点 F （1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求证：BEEFDEAE； （3）若 tanBAE，求点 F 的坐标 【分析】 （1）利用直线 yx+6 可求得 A、B 的坐标，再利用对称可求得 C 点坐标； （2）连接 AF，可证得BEDAEF，利用相似三角形的性质可证得结论； 第 21 页（共 25 页） （3）利用（2）中三角形相似，结合条件可求得BAEFAO，在 RtAOF 中，利用 三角函数定义可求得 OF 的长，则可求得 F 点的坐标 【解答】解： （1）在 yx+6 中，令 y0 可得 x6，令
38、 x0 可得 y6， A（6，0） ，B（0，6） ， 点 C 与 A 关于 y 轴对称， C（6，0） ； （2）连接 AF，由（1）可知 OCOA， 在COE 和AOE 中 COEAOE（SAS） ， CEOAEO， CEOBED， BEDAEO， 四边形 ADEF 内接于圆， BDEEFA， BEDAEF， ， BEEFDEAE； （3）BEDAEF， EAFEBD， OAOB6，AOB90， ABOOAB45， EAF45， BAE+EAOFAO+EAO45， 第 22 页（共 25 页） BAEFAO， tanFAOtanBAE， ， OA6， OF2， F（0，2） 【点评】本题为
39、一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、全等三角形的判定和 性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质及解直角三角形等知识在 （1）中注意直线与坐标轴交点的求法，在（2）中证得BEDAEF 是解题的关键， 在（3）中求得BAEFAO 是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度 较大 23 （9 分）已知抛物线 ya（x2）29 经过点 P（6，7） ，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 AP 与 y 轴交于点 D，抛物线对称轴与 x 轴交于点 E， （1）求抛物线的解析式； （2）过点 E 任作一条直线 l （点 B、C 分别位于直线 l 的异侧） ，
40、设点 C 到直线 l 的距离 为 m，点 B 到直线 1 的距离为 n，求 m+n 的最大值； （3）y 轴上是否存在点 Q，使QPDDEO，若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）把 P 点坐标代入 ya（x2）29 中求出 a 即可得到抛物线解析式； （2）作 CMl 于 M，BNl 于 N，BGCM 于 G，如图 1，利用四边形 BGMN 为矩形得 到 BNMG，则 m+nCG，利用 BGBC（当且仅当 M 点在 BC 上取等号）得到 m+n 的最大值为 BC 的长，然后求出 B、C 坐标后计算出 BC 即可； （3）先利用待定系数法求出直线 AD 的解析式
41、为 yx+1，则 D（0，1） ，PD6， 第 23 页（共 25 页） AOD 为等腰直角三角形，易得 E（2，0） ，则 tanDEO，讨论：当点 Q 在点 D 的上 方，作 QGAP 于 G，如图 2，设 QGt，证明QDG 为等腰直角三角形得到 DGQG t，QDt，则利用QPDDEO 和正切定义得到，解方程求出 t， 从而可确定 Q 点坐标；当点 Q 在点 D 的下方，作 QGAP 于 G，如图 3，设 QGt，利 用同样方法得到，然后解方程求出 t，从而得到 Q 点坐标 【解答】解： （1）抛物线 ya（x2）29 经过点 P（6，7） ， a（62）297，解得 a1， 抛物线解
42、析式为 y（x2）29， 即 yx24x5； （2）作 CMl 于 M，BNl 于 N，BGCM 于 G，如图 1， 易得四边形 BGMN 为矩形， BNMG， m+nCM+BNCM+MGCG， BGBC（当且仅当 M 点在 BC 上取等号） m+n 的最大值为 BC 的长， 当 x0 时，yx24x55，则 C（0，5） ， 当 y0 时，x24x+50，解得 x11，x25，则 A（1，0） ，B（5，0） BC5， m+n 的最大值为 5； （3）存在 设直线 AD 的解析式为 ykx+b， 把 A（1，0） ，P（6，7）代入得，解得， 直线 AD 的解析式为 yx+1， 当 x0，y
43、x+11，则 D（0，1） ， PD6，AOD 为等腰直角三角形， 抛物线的对称轴为直线 x2， E（2，0） ， 第 24 页（共 25 页） tanDEO， 当点 Q 在点 D 的上方，作 QGAP 于 G，如图 2， 设 QGt， QDGADO45， QDG 为等腰直角三角形， DGQGt，QDQGt， PGPDDG6t， QPDDEO， tanQPD， ，解得 t2， DQ24， OQ4+15， Q 点坐标为（0，5） ； 当点 Q 在点 D 的下方，作 QGAP 于 G，如图 3， 设 QGt， QDG 为等腰直角三角形， DGQGt，QDQGt， PGPD+DG6+t， QPDDEO， tanQPD， ，解得 t6， DQ612， OQ12111 Q 点坐标为（0，11） ， 综上所述，Q 点的坐标为（0，5）或（0，11） 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次 函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似的知 识解决线段之间的关系和进行几何计算；理解坐标与图形性质；会运用分类的思想解决 数学问题
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