1、下列各组数中，把两数相乘，积为 1 的是（ ） A2 和2 B2 和 C和 D和 2 （3 分）如果代数式有意义，那么 x 取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 且 x0 Dx1 或 x0 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （2a2）38a6 Bx2+x3x5 C D 4 （3 分）关于二次函数 y（x3）22 的图象与性质，下列结论错误的是（ ） A抛物线开口方向向下 B当 x3 时，函数有最大值2 C当 x3 时，y 随 x 的增大而减小 D抛物线可由 yx2经过平移得到 5 （3 分）某中学篮球队 12 名队员的年龄如下表所示：
2、 年龄（岁） 15 16 17 18 人数 4 5 2 1 则这 12 名队员年龄的众数和平均数分别是（ ） A15，15 B15，16 C16，16 D16，16.5 6 （3 分）如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到DEC若点 A 的坐标为（3， 1） ，则点 D 的坐标为（ ） A （3，1） B （2，2） C （3，3） D （3，2） 7 （3 分）如图，ABC 中，ABAC13，BC10，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 第 2 页（共 29 页） 为 AC 的中点，连接 DE，则CDE 的周长为（ ） A16.5 B18 C23 D26 8 （3 分）
3、用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第 n 个图形中小正方形的个 数是（ ） A2n+1 Bn21 Cn2+2n D5n2 9 （3 分）现定义运算“” ，对于任意实数 a，b，都有 aba2ab+b，如：3532 35+5，若 x210，则实数 x 的值为（ ） A4 或1 B4 或1 C4 或2 D4 或 2 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0） ，点 A 在第一象限内，将OAB 沿直线 OA 的方向平移至OAB的位置，此时点 A的 横坐标为 3，则点 B的坐标为（ ） A （4，2） B （3，3） C （4，3） D （3
4、，2） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）如图，直线 ab，若255，3100，则1 的度数为 第 3 页（共 29 页） 12 （3 分）分解因式：a2b4ab2+4b3 13 （3 分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图是 一个圆，那么这个几何体的侧面积是 14 （3 分）如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若BAD30，且 BE2， 则 CD 15 （3 分）如图，AB 是双曲线 y上的两点，
5、过 A 点作 ACx 轴，交 OB 于 D 点，垂 足为 C若ADO 的面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接 DF分 析下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD其 中正确的结论是 第 4 页（共 29 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 102 分）分） 17解方程：1 18已知 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AFCE 求证：CDFABE 19已知 A（x1） （1）化简 A
6、 （2）已知 x|1tan60|1，求 A 的值 20如图，RtABC 中，C90，AC8，BC6 （1）尺规作图：作BAC 的角平分线 AD（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）求 AD 的长 21AF 初中为了提高学生综合素质，决定开设以下校本课程：A 软笔书法；B 经典诵读；C 钢笔画；D 花样跳绳；为了了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行 了调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： 第 5 页（共 29 页） （1）这次被调查的学生共有多少人？ （2）请将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的花样跳绳的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定
7、从这三名同学 中任选两名参加全区综合素质展示，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图 法或表格法解答） 22已知二次函数 yax2+b 的图象与直线 yx+2 相交于点 A（1，m）和点 B（n，0） （1）试确定点 A、点 B 的坐标； （2）确定二次函数的解析式； （3）在给出的平面直角坐标系中画出这样两个函数图象的草图，并结合图象直接写出 ax2+bx+2 时，x 的取值范围 23某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元 （1）求一根 A 型跳绳和一根 B
8、型跳绳的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数 量的 3 倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由 24如图，已知点 A（3，0） ，二次函数 yax2+bx+的对称轴为直线 x1，其图象 过点 A 与 x 轴交于另一点 B，与 y 轴交于点 C （1）求二次函数的解析式，写出顶点坐标； （2）动点 M，N 同时从 B 点出发，均以每秒 2 个单位长度的速度分别沿ABC 的 BA， BC 边上运动，设其运动的时间为 t 秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止 运动，连结 MN，将BMN 沿 MN 翻折，若点 B 恰好
9、落在抛物线弧上的 B处，试求 t 的值及点 B的坐标； 第 6 页（共 29 页） （3）在（2）的条件下，Q 为 BN 的中点，试探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 B，Q， P 为顶点的三角形与ABC 相似？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，试说明 理由 25如图，在ABC 中，ABAC5，cosB，点 P 为边 BC 上一动点，过点 P 作射线 PE 交射线 BA 于点 D，BPDBAC，以点 P 为圆心，PC 长为半径作P 交射线 PD 于点 E，联结 CE，设 BDx，CEy （1）当P 与 AB 相切时，求P 的半径； （2）当点 D 在 BA 的延长线上时，求 y 关于
10、 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果O 与P 相交于点 C、E，且O 经过点 B，当 OP时，求 AD 的长 第 7 页（共 29 页） 2018 年广东省广州市荔湾区广雅实验学校中考数学一模年广东省广州市荔湾区广雅实验学校中考数学一模 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下列各组数中，把两数相乘，积为 1 的是（ ） A2 和2 B2 和 C和 D和 【分析】直接利用两数相乘运算法则求出答案 【解答】解：A、2（2）4，故此选项不合题意； B、2
11、1，故此选项不合题意； C、1，故此选项符合题意； D、（）3，故此选项不合题意； 故选：C 【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握运算法则是解题关键 2 （3 分）如果代数式有意义，那么 x 取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 且 x0 Dx1 或 x0 【分析】根据分式有意义的条件可得 x10，再解不等式即可 【解答】解：由题意得：x10， 解得：x1， 故选：B 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不能 等于零 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （2a2）38a6 Bx2+x3x5 C D 【分析】直接利用积的乘方运算法则以
12、及合并同类项法则和约分的法则、二次根式的性 质分别化简得出答案 第 8 页（共 29 页） 【解答】解：A、 （2a2）38a6，正确； B、x2+x3，无法计算，故此选项错误； C、a+b，故此选项错误； D、|a|，故此选项错误； 故选：A 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及合并同类项和约分等知识，正确掌 握相关运算法则是解题关键 4 （3 分）关于二次函数 y（x3）22 的图象与性质，下列结论错误的是（ ） A抛物线开口方向向下 B当 x3 时，函数有最大值2 C当 x3 时，y 随 x 的增大而减小 D抛物线可由 yx2经过平移得到 【
13、分析】分别利用二次函数的性质判断开口方向，得出最值以及增减性，进而判断即可 【解答】解：A、a0，抛物线开口方向向下，故此选项正确，不合题意； B、y（x3）22 的顶点坐标为： （3，2） ，故当 x3 时，函数有最大值2， 故此选项正确，不合题意； C、当 x3 时，y 随 x 的增大而减小，此选项正确，不合题意； D、抛物线 y （x3） 22 可由 y x2经过平移得到，不是由 yx2经过平移 得到，故此选项错误，符合题意 故选：D 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键 5 （3 分）某中学篮球队 12 名队员的年龄如下表所示： 年龄（岁）
14、 15 16 17 18 人数 4 5 2 1 则这 12 名队员年龄的众数和平均数分别是（ ） A15，15 B15，16 C16，16 D16，16.5 【分析】根据表格中的数据，求出众数与平均数即可 第 9 页（共 29 页） 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 得 ： 这 12 名 队 员 年 龄 的 众 数 为 16 ； 平 均 数 为 16， 故选：C 【点评】此题考查了众数，以及加权平均数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 6 （3 分）如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到DEC若点 A 的坐标为（3， 1） ，则点 D 的坐标为（ ） A （3，1） B （2
15、，2） C （3，3） D （3，2） 【分析】利用平移，把对称中心 C 点平移都原点，再利用关于原点对称的点的坐标特征 得到 D 点平移后对应点的坐标，然后利用点平移的坐标规律写出 D 点坐标 【解答】解：点 A、D 关于 C 点中心对称，把ABC 向下平移 1 个单位， 则点 C 平移到原点，A 点平移后的对应点的坐标为（3，2） ， 则点（3，2）关于原点对称的点的坐标为（3，2） ， 把（3，2）向上平移 1 个单位的对应点的坐标为（3，3） ， 所以点 D 的坐标为（3，3） 故选：C 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图 形的特殊性质来求出旋转
16、后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60， 90，180 7 （3 分）如图，ABC 中，ABAC13，BC10，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则CDE 的周长为（ ） A16.5 B18 C23 D26 第 10 页（共 29 页） 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得 ADBC，DC，再根据直角三角形 的性质可得 DEEC6.5，然后可得答案 【解答】解：ABAC，AD 平分BAC， ADBC，DC， BC10， DC5， 点 E 为 AC 的中点， DEEC6.5， CDE 的周长为：DC+EC+DE13+518， 故选：B
17、【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直 角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 8 （3 分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第 n 个图形中小正方形的个 数是（ ） A2n+1 Bn21 Cn2+2n D5n2 【分析】由第 1 个图形中小正方形的个数是 221、第 2 个图形中小正方形的个数是 32 1、 第 3 个图形中小正方形的个数是 421， 可知第 n 个图形中小正方形的个数是 （n+1） 21，化简可得答案 【解答】解：第 1 个图形中，小正方形的个数是：2213； 第 2 个图形中，小正方形的个数是：3218； 第 3 个图形
18、中，小正方形的个数是：42115； 第 n 个图形中，小正方形的个数是： （n+1）21n2+2n+11n2+2n； 第 11 页（共 29 页） 故选：C 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现 不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键 9 （3 分）现定义运算“” ，对于任意实数 a，b，都有 aba2ab+b，如：3532 35+5，若 x210，则实数 x 的值为（ ） A4 或1 B4 或1 C4 或2 D4 或 2 【分析】已知等式利用已知的新定义化简，计算即可求出 x 的值 【解答】解：根据题中的新定义化简 x210 得：x22x+
19、210， 整理得：x22x80，即（x4） （x+2）0， 解得：x4 或 x2， 故选：C 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0） ，点 A 在第一象限内，将OAB 沿直线 OA 的方向平移至OAB的位置，此时点 A的 横坐标为 3，则点 B的坐标为（ ） A （4，2） B （3，3） C （4，3） D （3，2） 【分析】作 AMx 轴于点 M根据等边三角形的性质得出 OAOB2，AOB60， 在直角OAM 中利用含 30角的直角三角形的性质求出 OMOA1， AMOM ，
20、则 A（1，） ，直线 OA 的解析式为 yx，将 x3 代入，求出 y3，那么 A（3，3） ，由一对对应点 A 与 A的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求 出点 B的坐标 【解答】解：如图，作 AMx 轴于点 M 正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0） ， 第 12 页（共 29 页） OAOB2，AOB60， OMOA1，AMOM， A（1，） ， 直线 OA 的解析式为 yx， 当 x3 时，y3， A（3，3） ， 将点 A 向右平移 2 个单位，再向上平移 2个单位后可得 A， 将点 B（2，0）向右平移 2 个单位，再向上平移 2个单位后可得 B， 点 B的坐标为
21、（4，2） ， 故选：A 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形 上某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加， 下移减也考查了等边三角形的性质，含 30角的直角三角形的性质求出点 A的坐 标是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）如图，直线 ab，若255，3100，则1 的度数为 45 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得42，再根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：如图，直线 ab， 4
22、255， 第 13 页（共 29 页） 1341005545 故答案为：45 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键 12 （3 分）分解因式：a2b4ab2+4b3 b（a2b）2 【分析】根据提公因式法，完全平方公式，可得答案 【解答】解：原式b（a24ab+4b2） b（a2b）2， 故答案为：b（a2b）2 【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法与完全平方公式是解题关键 13 （3 分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图是 一个圆，那么这个几何体的侧面积是 2 【分析】
23、根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥又已知底面半径可求出母线长以 及侧面积 【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆 的半径为 1，母线长为 2， 因此侧面面积为：122 故答案为：2 【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆 锥的侧面积的计算方法是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长 14 （3 分）如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若BAD30，且 BE2， 第 14 页（共 29 页） 则 CD 4 【分析】连结 OD，设O 的半径为 R，先根据圆周角定理得到BOD2BAD60， 再根据垂径定理
24、由 CDAB 得到 DECE，在 RtODE 中，OEOBBER2，利用 余弦的定义得 cosEODcos60， 即， 解得 R4， 则 OE2， DEOE 2，所以 CD2DE4 【解答】解：连结 OD，如图，设O 的半径为 R， BAD30， BOD2BAD60， CDAB， DECE， 在 RtODE 中，OEOBBER2，ODR， cosEODcos60， ，解得 R4， OE422， DEOE2， CD2DE4 故答案为：4 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也 考查了圆周角定理和解直角三角形 第 15 页（共 29 页） 15 （3 分）如图
25、，AB 是双曲线 y上的两点，过 A 点作 ACx 轴，交 OB 于 D 点，垂 足为 C若ADO 的面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为 【分析】过点 B 作 BEx 轴于点 E，根据 D 为 OB 的中点可知 CD 是OBE 的中位线， 即 CDBE，设 A（x， ） ，则 B（2x，） ，故 CD，AD，再由ADO 的面积为 1 求出 y 的值即可得出结论 【解答】解：过点 B 作 BEx 轴于点 E， D 为 OB 的中点， CD 是OBE 的中位线，即 CDBE 设 A（x，） ，则 B（2x，） ，CD，AD， ADO 的面积为 1， ADOC1，（） x1，解得 k，
26、 故答案是： 【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐 标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|本知识点是中考的重要考点，同学们 应高度关注 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接 DF分 析下列四个结论：AEFCAB；CF2AF；DFDC；tanCAD其 中正确的结论是 第 16 页（共 29 页） 【分析】正确只要证明EACACB，ABCAFE90即可； 正确由 ADBC，推出AEFCBF，推出，由 AEADBC，推出 ，即 CF2AF； 正确只要证明 DM 垂直平分 CF，即可证明；
27、正确设 AEa，ABb，则 AD2a，由BAEADC，有，即 ba， 可得 tanCAD 【解答】解：如图，过 D 作 DMBE 交 AC 于 N， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABC90，ADBC， BEAC 于点 F， EACACB，ABCAFE90， AEFCAB，故正确； ADBC， AEFCBF， ， AEADBC， ， CF2AF，故正确； 第 17 页（共 29 页） DEBM，BEDM， 四边形 BMDE 是平行四边形， BMDEBC， BMCM， CNNF， BEAC 于点 F，DMBE， DNCF， DM 垂直平分 CF， DFDC，故正确； 设 AEa，ABb，
28、则 AD2a， 由BAEADC，有，即 ba， tanCAD故错误； 故答案为： 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及 解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键解题时注 意：相似三角形的对应边成比例 三、解答三、解答题（本大题共题（本大题共 9 小题，共小题，共 102 分）分） 17解方程：1 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成 1 即可求解 【解答】解：去分母，得 3（x+3）（4x1）6 去括号，得 3x+94x+16， 移项，得 3x4x619， 合并同类项，得x4， 系数化成 1 得 x4 【点评】本题
29、考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、 移项、合并同类项、化系数为 1注意移项要变号 18已知 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AFCE 第 18 页（共 29 页） 求证：CDFABE 【分析】易证明CDFBAE，只要证明DCFBAE 即可； 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，CDAB， DCFBAE， AFCE， CFAE， DCFBAE（SAS） ， CDFABE 【点评】本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确 寻找全等三角形解决问题，属于中考基础题 19已知 A（x1） （1）化简
30、 A （2）已知 x|1tan60|1，求 A 的值 【分析】 （1）根据分式的减法和除法可以解答本题； （2）将 x 的值代入（1）中化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1）A（x1） ； （2）当 x|1tan60|1|1|1112 时，原式 第 19 页（共 29 页） 【点评】本题考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式 混合运算的计算方法 20如图，RtABC 中，C90，AC8，BC6 （1）尺规作图：作BAC 的角平分线 AD（保留作图痕迹，不写作法） ； （2）求 AD 的长 【分析】 （1）利用尺规作出BAC 的平分线即可； （2）作 DEAB
31、于 E，设 DECDx，在 RtBDE 中，根据勾股定理构建方程求出 x， 再根据勾股定理即可解决问题； 【解答】解： （1）如图线段 AD 即为BAC 的平分线； （2）作 DEAB 于 E DEAC90，DAEDAC，ADAD， ADEADC， AEAC8，DEDC，设 DEDCx AB10， BE2， 在 RtBDE 中，DE2+BE2BD2， x2+22（6x）2， x， 在 RtACD 中AD 【点评】本题考查作图复制作图、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题 第 20 页（共 29 页） 的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 &nbs
32、p;21AF 初中为了提高学生综合素质，决定开设以下校本课程：A 软笔书法；B 经典诵读；C 钢笔画；D 花样跳绳；为了了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行 了调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有多少人？ （2）请将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的花样跳绳的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定从这三名同学 中任选两名参加全区综合素质展示，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图 法或表格法解答） 【分析】 （1）由 A 是 36，A 的人数为 10 人，即可求得这次被调查的学生总人数； （2）由（1） ，
33、可求得 C 的人数，即可将条形统计图（2）补充完整； （3） 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、 乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解： （1）A 是 36， A 占 3636010%， A 的人数为 10 人， 这次被调查的学生共有：1010%100（人） ， （2）如图，C 有：10010402030（人） ， 第 21 页（共 29 页） （3）画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，甲、乙被选中的有 2 种情况， 恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计
34、图的知 识列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步 完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求 情况数与总情况数之比 22已知二次函数 yax2+b 的图象与直线 yx+2 相交于点 A（1，m）和点 B（n，0） （1）试确定点 A、点 B 的坐标； （2）确定二次函数的解析式； （3）在给出的平面直角坐标系中画出这样两个函数图象的草图，并结合图象直接写出 ax2+bx+2 时，x 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法求出 A、B 两点的坐标即可； （2）A、B 的坐标代入二次函数 yax2+b 求出 a、b 的值即可得出其
35、解析式； （3）在同一坐标系内画出一次函数及二次函数的图象，利用函数图象可直接得出结论； 【解答】解： （1）直线 yx+2 经过点 A（1，m）和点 B（n，0） ， m1+23，n+20，即 n2， A（1，3） ，B（2，0） ， 第 22 页（共 29 页） （2）二次函数 yax2+b 的图象经过 A（1，3） ，B（2，0） ， ，解得， 二次函数的解析式为 yx2+4； （3）如图，由函数图象可知，当2x1 时，ax2+bx+2 【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意画出图形，利用数形结合求出不 等式的解集是解答此题的关键 23某班为参加学校的大课间活动比赛
36、，准备购进一批跳绳，已知 2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元 （1）求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数 量的 3 倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由 【分析】 （1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，一根 B 型跳绳的售价是 y 元，根据： “2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元”列方程组 求解即可； （2）首先根据“A 型跳绳的
37、数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍”确定自变量的取值范围， 然后得到有关总费用和 A 型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可 【解答】解： （1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，一根 B 型跳绳的售价是 y 元， 根据题意，得： ， 解得：， 第 23 页（共 29 页） 答：一根 A 型跳绳售价是 10 元，一根 B 型跳绳的售价是 36 元； （2）设购进 A 型跳绳 m 根，总费用为 W 元， 根据题意，得：W10m+36（50m）26m+1800， 260， W 随 m 的增大而减小， 又m3（50m） ，解得：m37.5， 而 m 为正整数， 当 m37 时，W最小2
38、637+1800838， 此时 503713， 答：当购买 A 型跳绳 37 只，B 型跳绳 13 只时，最省钱 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意 得出正确的等量关系是解题关键 24如图，已知点 A（3，0） ，二次函数 yax2+bx+的对称轴为直线 x1，其图象 过点 A 与 x 轴交于另一点 B，与 y 轴交于点 C （1）求二次函数的解析式，写出顶点坐标； （2）动点 M，N 同时从 B 点出发，均以每秒 2 个单位长度的速度分别沿ABC 的 BA， BC 边上运动，设其运动的时间为 t 秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止 运动，
39、连结 MN，将BMN 沿 MN 翻折，若点 B 恰好落在抛物线弧上的 B处，试求 t 的值及点 B的坐标； （3）在（2）的条件下，Q 为 BN 的中点，试探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 B，Q， P 为顶点的三角形与ABC 相似？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，试说明 理由 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）根据等边三角形的判定，可得MBN 是正三角形，根据翻折的性质，可得 BN， 第 24 页（共 29 页） BNM，根据平行线的判定，可得 B的纵坐标，根据点的坐标满足函数解析式，可 得关于 t 的方程，根据解方程，可得 t，
40、可得 B的坐标； （3）根据相似三角形的判定与性质，可得答案 【解答】解： （1）由题意得， 解得， 二次函数的解析式为 yx2x+ 配方得 y（x+1）2+， 顶点坐标为（1，） ， （2）如图 1， 由题意知 OA3，OB1，ON， CBA60， 又BMBN， MBN 是正三角形， M（12t，0） ，N（1t，t） 将BMN 沿 MN 翻折后，得 BNBN2t，BNMBMN60， BNBM， B（13t，t） ， 又点 B在抛物线上， 第 25 页（共 29 页） t（13t）2（13t）+， 化简，得 9t29t0，解得 t0（不符合题意，舍）t1， t1 时，13t2，t， B（2，
41、） ； （3） 由题意可得ABC 是直角三角形， 且BAC30， ABC60 又 Q （，） 如图 2， 由题意知 OA3，OB1， P 在 x 轴上时，过 Q 作 P1QBQ 交 x 轴于 P1点， P1QAC， 1BQABC， ， 解得 P1B2，OP11，P1（1，0） ； 过 Q 作 P2Qx 轴于 P2， P2BQCBA，QPBACB， QBP2ABC， ， 解得 BP2，OP2， P2（，0） ； P 在 x 轴的其它位置时，PBQ 不可能为直角三角形，不可能与ABC 相似； 同理，当 P 在 y 轴上时，作 P3QBQ 交 y 轴于 P3， P3BQBACP3BO30
42、，P3QBACB90， BP3QABC 第 26 页（共 29 页） tanP3BO，P3O， P3（0，） B 作 P4BBQ 交 y 于 P4，但， QBP4Y 与ABC 不相似，P 在 y 轴上其它位置时，PQB 不为直角三角形，不能与 ABC 相似； 综上所述：坐标轴上存在点 P，使得以 B，Q，P 为顶点的三角形与ABC 相似，P 点坐 标为（1，0） ， （，0） ， （0，） 【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是 利用翻折的性质平行线的判定与性质得出 B的坐标，又利用了点的坐标满足函数解析 式；解（3）的关键是相似三角形的判定与性质，要分
43、类讨论，以防遗漏 25如图，在ABC 中，ABAC5，cosB，点 P 为边 BC 上一动点，过点 P 作射线 PE 交射线 BA 于点 D，BPDBAC，以点 P 为圆心，PC 长为半径作P 交射线 PD 于点 E，联结 CE，设 BDx，CEy （1）当P 与 AB 相切时，求P 的半径； （2）当点 D 在 BA 的延长线上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果O 与P 相交于点 C、E，且O 经过点 B，当 OP时，求 AD 的长 【分析】 （1）作 PFBD 于 F，作 AHBC 于 H，如图，设P 的半径为 r，根据等腰三 角形的性质得 BHCH， 再通
44、过解直角三角形得到 BH4， AH3， 则 BC2BH8， sinB ， 接着在 RtBPH 中利用正弦的定义得到 PF （8r） ， 然后根据切线的性质得 （8r）r，再解方程求出 r 即可； （2）先证明BDPBCA，利用相似比得到 r8x，作 PGCE 于 G，如图，利 第 27 页（共 29 页） 用垂径定理得到 CGEGy，再证明 FPPG，所以GPCB，接着在 RtPGC 中利用正弦定义得到yr，则y（8x） ，然后用 x 表示 y，同时写出 x 的取 值范围； （3）根据三角形外心性质可判定点 O 为 AH 和 GP 的交点，如图，在 RtOPH 中，利 用三角函数可计算出 PH
45、1，讨论：当点 D 在 AB 上，此时 r5，则 8x5，解方 程求出 x 后计算 5x 即可得到 AD 的长； 当点 D 在 AB 的延长线上， 此时 r3， 则 8x 3，然后方程求出 x 后计算 x5 即可得到 AD 的长 【解答】解： （1）作 PFBD 于 F，作 AHBC 于 H，如图，设P 的半径为 r， ABAC， BHCH， 在 RtABH 中，cosB， BH54， AH3，BC2BH8， 在 RtABH 中，sinB 在 RtBPF 中，sinB， PF（8r） ， 当P 与 AB 相切时，PFPC，即（8r）r，解得 r3， 即当P 与 AB 相切时，P 的半径为 3； （2）BPDBAC，DBPABC， BDPBCA， ，即， r8x， 作 PGCE 于 G，如图，则 CGEGy， PEPC， 第 28 页（共 29 页）
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