1、2018 年广东省广州二中中考数学一模试卷年广东省广州二中中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，每小题只有一个正确答案分，每小题只有一个正确答案.） 1 （3 分）在 A、B、C、D 四幅图案中，能通过图平移得到的是（ ） A B C D 2（3 分） 已知一组数据 a、 b、 c 的平均数为 5， 那么数据 a2、 b2、 c2 的平均数是 （ ） A2 B3 C5 D1 3 （3 分）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（ ） A B C D 4 （3 分）下列单项式中，与 a2b 是同类项的是（
2、 ） A2a2b Ba2b2 Cab2 D3ab 5 （3 分）关于的叙述不正确的是（ ） A2 B面积是 8 的正方形的边长是 C是有理数 D在数轴上可以找到表示的点 第 2 页（共 28 页） 6 （3 分）如图，为了测量河岸 A、B 两点的距离，在与 AB 垂直的方向点 C 处测得 ACa， ACB50，那么 AB 等于（ ） Aasin50 Batan50 Cacos50 D 7 （3 分）如图，圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则侧面积为（ ） A4 B6 C12 D16 8 （3 分）方程组的解是（ ） A B C D 9 （3 分）下列命题中假命题是（ ） A正六边形的外角和等
3、于 360 B位似图形必定相似 C样本方差越大，数据波动越小 D方程 x2+x+10 无实数根 10 （3 分）如图，已知在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，AD：BD2： 1，点 F 在 AC 上，AF：FC1：2，联结 BF，交 DE 于点 G，那么 DG：GE 等于（ ） A1：2 B1：3 C2：3 D2：5 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题小题，每小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）人体中成熟的红细胞的平均直径为 0.00000077m，用科学记数法表示 m 第 3 页（共 28 页） 12 （3 分）分解因式：
4、x34x 13 （3 分）已知直线 y2x+（3a）与 x 轴的交点在 A（1，0） ，B（3，0）之间（包括 A、 B 两点） ，则 a 的取值范围是 14 （3 分）如图，由 6 个小正方形组成的 23 网格中，任意选取 5 个小正方形并涂黑，则 黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 15 （3 分）如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为正方形，顶点 A，C 在坐标轴上，以 边 AB 为弦的M 与 x 轴相切，若点 A 的坐标为（0，8） ，则圆形 M 的坐标为 16 （3 分）如图（a） ，在直角坐标系中，将平行四边形 ABCD 放置在第一象限，且 ABx 轴，直线 yx 从原点出发沿
5、 x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的 线段长度 l 与直线在 x 轴上平移的距离 m 的函数图象如图（b）所示，那么 AD 的长 为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （9 分）解不等式 3x2，并把它的解集在数轴上表示出来 18 （9 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，F 是 CD 的中点，连接 AF 并延长与 BC 的 延长线交于点 E求证：BCCE 第 4 页（共 28 页） 19 （10 分）某校举行了“文明在我身边”摄影比
6、赛已知每幅参赛作品成绩记为 x 分（60 x100） 校方从 600 幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并 绘制了如下不完整的统计图表 “文明在我身边”摄影比赛成绩统计表 分数段 频数 频率 60x70 18 0.36 70x80 17 c 80x90 a 0.24 90x100 b 0.06 合计 1 根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中 c 的值为 ；样本成绩的中位数落在分数段 中； （2）补全频数分布直方图； （3） 若 80 分以上 （含 80 分） 的作品将被组织展评， 试估计全校被展评作品数量是多少？ 20 （10 分）如图，已知 RtABC 中A90，A
7、C4 （1）利用尺规作ABC 的平分线交 AC 于点 D； （保留作图痕迹，不写作法） （2）过点 D 作 DEBC 于点 E，若 CE，CDE 的周长为 y，先化简 A 第 5 页（共 28 页） ，再求 A 的值 21 （12 分）已知反比例函数 y（k0） （1）若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比 例函数的性质比较 y1和 y2的大小； （2）设点 P（m，n） （m0）是其图象上的一点，过点 P 作 PMx 轴于点 M，若 cos POM，PO（O 为坐标原点） ，求 k 的值，并直接写出不等式 2kx 0 的解集 22 （12 分）某水果店销售樱桃，其进价为 40 元/千
8、克，按 60 元/千克出售，平均每天可售 出 100 千克，经调查发现，这种樱桃每降价 1 元/千克，每天可多售出 10 千克，若该水 果店销售这种樱桃要想每天获利 2240 元，每千克樱桃应降价多少元？ 23 （12 分）如图，边长为 2 的圆内接正方形 ABCD 中，P 为边 CD 的中点，直线 AP 交圆 于 E 点 （1）求证：AED45； （2）求弦 DE 的长； （3）若 Q 是线段 BC 上一动点，当线段 BQ 的长度为何值时，AQDE 24 （14 分）已知抛物线 yx22mx+m23（m 是常数）与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，点
9、 D 为抛物线的顶点 （1）若 m 取不同的值，线段 AB 的长度是否保持不变？若不变，请求出 AB 的长；若改 变，请说明理由； （2）若点 B 在 x 轴正半轴上，且BCD 是以点 D 为直角顶点的直角三角形，请求出 m 第 6 页（共 28 页） 的值； （3）设抛物线与直线 x交于点 P，PAB 的外接圆圆心为点 Q，问：点 Q 是否总在 某个函数的图象上？若是，请求出该函数解析式；若不是，请说明理由 25 （14 分）已知菱形 ABCD，DAB60 （1）若菱形 ABCD 的边长为 2cm，如图（a）所示，点 P 从 A 点出发，以cm/s 的速 度沿 AC 向 C 作匀速运动；与此
10、同时，点 Q 也从 A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运动当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动，设 P 点的运动时间为 t 秒 当 P 异于 A、C 时，请说明 PQBC； 以 P 为圆心，PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与 边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ （2）如图（b）所示，菱形 ABCD 对角线交于点 O，AE，BE1，连接 OE，请直 接写出 OE 的最大值 第 7 页（共 28 页） 2018 年广东省广州二中中考数学一模试卷年广东省广州二中中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选
11、择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分，每小题只有一个正确答案分，每小题只有一个正确答案.） 1 （3 分）在 A、B、C、D 四幅图案中，能通过图平移得到的是（ ） A B C D 【分析】根据平移后对应点的连线平行且相等可得答案 【解答】解：能通过图甲平移得到的是 B， 故选：B 【点评】此题主要考查了图形的平移，关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不 改变图形的形状、大小和方向 2（3 分） 已知一组数据 a、 b、 c 的平均数为 5， 那么数据 a2、 b2、 c2 的平均数是 （ ） A2 B3 C5 D1 【分析】根
12、据数据 a，b，c 的平均数为 5 可知（a+b+c）5，据此可得出（a2+b 2+c2）的值 【解答】解：数据 a，b，c 的平均数为 5， （a+b+c）5， （a2+b2+c2）（a+b+c）2523， 数据 a2、b2、c2 的平均数是 3 第 8 页（共 28 页） 故选：B 【点评】本题考查了平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个 数它是反映数据集中趋势的一项指标 3 （3 分）从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是（ ） A B C D 【分析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形；找到从上面看所得到的图 形即可 【解答】解：选项 A 的图形是从茶
13、壶上面看得到的图形 故选：A 【点评】本题考查了三视图的知识，明确一个物体的三视图：俯视图就是从物体的上面 看物体，从而得到的图形 4 （3 分）下列单项式中，与 a2b 是同类项的是（ ） A2a2b Ba2b2 Cab2 D3ab 【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解 答即可 【解答】解：A、2a2b 与 a2b 所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本 选项正确； B、a2b2与 a2b 所含字母相同，但相同字母 b 的指数不相同，不是同类项，故本选项错误； C、ab2与 a2b 所含字母相同，但相同字母 a 和字母 b 的指数都不相同
14、，不是同类项，本 选项错误； D、3ab 与 a2b 所含字母相同，但相同字母 a 的指数不相同，不是同类项，本选项错误 故选：A 【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相 同的概念 第 9 页（共 28 页） 5 （3 分）关于的叙述不正确的是（ ） A2 B面积是 8 的正方形的边长是 C是有理数 D在数轴上可以找到表示的点 【分析】2，是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是 8 的正方形 的边长，由此作判断 【解答】解：A、2，所以此选项叙述正确； B、面积是 8 的正方形的边长是，所以此选项叙述正确； C、2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；
15、 D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点； 所以此选项叙述正确； 本题选择叙述不正确的， 故选：C 【点评】本题考查了实数的定义、二次根式的化简、数轴，熟练掌握实数的有关定义是 关键 6 （3 分）如图，为了测量河岸 A、B 两点的距离，在与 AB 垂直的方向点 C 处测得 ACa， ACB50，那么 AB 等于（ ） Aasin50 Batan50 Cacos50 D 【分析】根据题意，可得 RtABC，同时可知 AC 与ACB根据三角函数的定义解答 【解答】解：根据题意，在 RtABC，有 ACa，ACB50，且 tan50， 则 ABACtan50ata
16、n50， 故选：B 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义 7 （3 分）如图，圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则侧面积为（ ） 第 10 页（共 28 页） A4 B6 C12 D16 【分析】根据圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧 面积 【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：rl2612， 故选：C 【点评】本题主要考查了圆锥侧面积公式熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题 的关键 8 （3 分）方程组的解是（ ） A B C D 【分析】本题解法有多种可用加减消元法或代入消元法解方程组，解得 x、 y 的值；也可以将 A、B、C
17、、D 四个选项的数值代入原方程检验，能使每个方程的左右 两边相等的 x、y 的值即是方程的解 【解答】解：将方程组中 4xy13 乘以 2，得 8x2y26， 将方程与方程 3x+2y7 相加，得 x3 再将 x3 代入 4xy13 中，得 y1 故选：B 【点评】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法 9 （3 分）下列命题中假命题是（ ） A正六边形的外角和等于 360 B位似图形必定相似 C样本方差越大，数据波动越小 第 11 页（共 28 页） D方程 x2+x+10 无实数根 【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可 【解答】解：A、正六边形的外角和等
18、于 360，是真命题； B、位似图形必定相似，是真命题； C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题； D、方程 x2+x+10 无实数根，是真命题； 故选：C 【点评】此题主要考查了真假命题，关键是掌握真假命题的定义 10 （3 分）如图，已知在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，AD：BD2： 1，点 F 在 AC 上，AF：FC1：2，联结 BF，交 DE 于点 G，那么 DG：GE 等于（ ） A1：2 B1：3 C2：3 D2：5 【分析】首先证明 AFEFEC，由题意，设 GEm，求出 DG 即可 解决问题； 【解答】解：DEBC， 2， CE：CA1：3，
19、AF：FC1：2， AF：AC1：3， AFEFEC， EG：BC1：2，设 EGm，则 BC2m， DEm，DGmmm， DG：GEm：m1：3， 故选：B 第 12 页（共 28 页） 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）人体中成熟的红细胞的平均直径为 0.00000077m，用科学记数法表示 7.710 7 m 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
20、a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.00000077m7.710 7m 故答案为：7.710 7 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 12 （3 分）分解因式：x34x x（x+2） （x2） 【分析】应先提取公因式 x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：x34x， x（x24） ， x（x+2） （x2） 故答案为：x（x+2） （x2） 【点评】本题考查了
21、提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行 二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止 13 （3 分）已知直线 y2x+（3a）与 x 轴的交点在 A（1，0） ，B（3，0）之间（包括 A、 B 两点） ，则 a 的取值范围是 5a9 【分析】根据题意得到 x 的取值范围是 1x3，则通过解关于 x 的方程 2x+（3a） 0 求得 x 的值，由 x 的取值范围来求 a 的取值范围 【解答】解：直线 y2x+（3a）与 x 轴的交点在 A（1，0） 、B（3，0）之间（包括 A、B 两点） ， 第 13 页（共 28 页） 1x3， 令 y0，则 2x+（3a）0
22、， 解得 x， 则 13， 解得 5a9 故答案是：5a9 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系根据一次函数解析式与一元一次方程 的关系解得 x 的值是解题的突破口 14 （3 分）如图，由 6 个小正方形组成的 23 网格中，任意选取 5 个小正方形并涂黑，则 黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案 【解答】解：由题意可得：空白部分一共有 6 个位置，白色部分只有在 1 或 2 处时， 黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是： 故答案为： 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确得出符合题意的位
23、置是解题关键 15 （3 分）如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 为正方形，顶点 A，C 在坐标轴上，以 边 AB 为弦的M 与 x 轴相切， 若点 A 的坐标为 （0， 8） ， 则圆形 M 的坐标为 （4， 5） 第 14 页（共 28 页） 【分析】如图，作 MNAB 于 N，NM 的延长线交于 OC 于 K，连接 AM，设M 的半径 为 r，在 RtAMN 中，利用勾股定理列出方程即可解决问题 【解答】解：如图，作 MNAB 于 N，NM 的延长线交于 OC 于 K，连接 AM 四边形 ABCD 是正方形， ABCBCO90，KNB90， 四边形 BCKN 是矩形， BCNKOA8
24、，设M 的半径为 r， 在 RtAMN 中，AM2MN2+AN2，BNAN4，MN8r， r242+（8r）2， r5， 点 M 的坐标为（4，5） 故答案为（4，5） 【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 16 （3 分）如图（a） ，在直角坐标系中，将平行四边形 ABCD 放置在第一象限，且 ABx 轴，直线 yx 从原点出发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的 线段长度 l 与直线在 x 轴上平移的距离 m 的函数图象如图（b）所示，那么 AD 的长为 第 15 页
25、（共 28 页） 【分析】图象可知，直线 yx 由点 A 平移到点 D 平移距离为 3，则由 B 平移到 C 时平 移距离 BE3，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度最大值为 CE2，由 CEF45，可求 EF，进而求 BF 及 AD 【解答】解：设当直线 yx 平移到 C 时，与直线 AB 交于点 E，过点 C 作 CFAE 于 F 由题意，直线 yx 从 A 平移到 D 时，平移距离为 743 则 BE3， 设直线平移到 D 时交 AB 于 M，此时直线被平行四边形所截线段最长 DM 由平移可知 CEDM CEF45 CFEF2 则 BF1 ADBC 故答案为： 【点评】本题为动点
26、问题的函数图象探究题，考查了平行四边形的性质、图形平移的性 质以及一次函数的知识解题关键是数形结合 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （9 分）解不等式 3x2，并把它的解集在数轴上表示出来 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可 第 16 页（共 28 页） 【解答】解：3x2， 6x4x+1， 6xx1+4， 5x5， x1， 在数轴上表示为： 【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的 解集是解此题的关键
27、18 （9 分）如图，四边形 ABCD 为平行四边形，F 是 CD 的中点，连接 AF 并延长与 BC 的 延长线交于点 E求证：BCCE 【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得 ADBC，ADBC，根据两直线平行， 内错角相等可得DAFE，ADFECF，根据线段中点的定义可得 DFCF，然 后利用“角角边”证明ADFECF，根据全等三角形对应边相等可得 ADCE，从而 得证 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， DAFE，ADFECF， 又F 是 CD 的中点，即 DFCF， ADFECF， ADCE， BCCE 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三
28、角形的判定与性质等知识，解题的关键 是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 第 17 页（共 28 页） 19 （10 分）某校举行了“文明在我身边”摄影比赛已知每幅参赛作品成绩记为 x 分（60 x100） 校方从 600 幅参赛作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了它们的成绩，并 绘制了如下不完整的统计图表 “文明在我身边”摄影比赛成绩统计表 分数段 频数 频率 60x70 18 0.36 70x80 17 c 80x90 a 0.24 90x100 b 0.06 合计 1 根据以上信息解答下列问题： （1）统计表中 c 的值为 0.34 ；样本成绩的中位数落在分数段 70x80 中
29、； （2）补全频数分布直方图； （3） 若 80 分以上 （含 80 分） 的作品将被组织展评， 试估计全校被展评作品数量是多少？ 【分析】 （1）由 60x70 频数和频率求得总数，根据频率频数总数求得 a、b、c 的值，由中位数定义求解可得； （2）根据（1）中所求数据补全图形即可得； （3）总数乘以 80 分以上的频率即可 【解答】解： （1）本次调查的作品总数为 180.3650（幅） ， 则 c17500.34，a500.2412，b500.063， 其中位数为第 25、26 个数的平均数， 中位数落在 70x80 中， 故答案为：0.34，70x80； 第 18 页（共 28 页）
30、 （2）补全图形如下： （3）600（0.24+0.06）180（幅） ， 答：估计全校被展评作品数量是 180 幅 【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及 条形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正 确的判断和解决问题 20 （10 分）如图，已知 RtABC 中A90，AC4 （1）利用尺规作ABC 的平分线交 AC 于点 D； （保留作图痕迹，不写作法） （2）过点 D 作 DEBC 于点 E，若 CE，CDE 的周长为 y，先化简 A ，再求 A 的值 【分析】 （1）利用尺规作出ABC 的角平分线即可； （2）
31、根据角平分线角平分线的性质定理可知 ADDE， 可得， CDE 的周长为 y4+， 化简后代入计算即可； 【解答】解： （1）如图，ABC 的平分线如图所示； 第 19 页（共 28 页） （2）BD 平分ABC，DABA，DEBC， DADE， CDE 的周长为 yDE+DC+CEDA+DC+ECAC+EC4+， A ， 把 y4+代入，原式14+5 【点评】本题考查作图复杂作图、角平分线的性质、分式的混合运算等知识，解题的 关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 21 （12 分）已知反比例函数 y（k0） （1）若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比 例函数的性质比较 y1和
32、y2的大小； （2）设点 P（m，n） （m0）是其图象上的一点，过点 P 作 PMx 轴于点 M，若 cos POM，PO（O 为坐标原点） ，求 k 的值，并直接写出不等式 2kx 0 的解集 【分析】 （1）根据反比例函数的增减性即可解决问题； （2）求出点 P 坐标即可解决问题； 【解答】解： （1）y（k0） k20， x0 时，y 随 x 的增大而减小， ， y1y2 （2）如图作 PMx 轴于 M 第 20 页（共 28 页） OP，cosPOM， PM4，OM1， P（1，4） ， 点 P 在 y上， k24， k2， 当 k2 时，解得或 A（1，4） ，B（1，4） ， 不
33、等式 2kx0 的解集为1x0 或 x1 当 k2 时，不等式 2kx0 的解集为 x0 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、解直角三角形、勾股定理等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 22 （12 分）某水果店销售樱桃，其进价为 40 元/千克，按 60 元/千克出售，平均每天可售 出 100 千克，经调查发现，这种樱桃每降价 1 元/千克，每天可多售出 10 千克，若该水 果店销售这种樱桃要想每天获利 2240 元，每千克樱桃应降价多少元？ 【分析】设每千克樱桃应降价 x 元，则每天销售量为（100+10x）千克，根据总利润每 千克利润销售数量，即可
34、得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设每千克樱桃应降价 x 元，则每天销售量为（100+10x）千克， 根据题意得： （6040x） （100+10x）2240， 整理得：x210x+240， 解得：x14，x26 第 21 页（共 28 页） 答：每千克樱桃应降价 4 元或 6 元 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据总利润每千克利润销售数量，列出 关于 x 的一元二次方程是解题的关键 23 （12 分）如图，边长为 2 的圆内接正方形 ABCD 中，P 为边 CD 的中点，直线 AP 交圆 于 E 点 （1）求证：AED45； （2）求弦 DE 的长； （3）
35、若 Q 是线段 BC 上一动点，当线段 BQ 的长度为何值时，AQDE 【分析】 （1）由题意可得 AC，BD 是圆的直径，即点 O 是直径，根据同弧所对的圆周角 等于圆心角的一半，可证AED45； （2）由题意可证APCDPE，可求 DE 的长； （3）连接 AQ，PQ，延长 CB 到 F，使 BFDP，连接 AF，可证AFBADP，可得 AFAP，FABDAP，再证AFQAPQ，可得 PQFQ，根据勾股定理可求 BQ 的长 【解答】证明： （1）连接 AC，BD 交于点 O 四边形 ABCD 是正方形 BADADC90，ACBD AC 与 BD 是直径 O 是圆心 AEDAOD AED45
36、 第 22 页（共 28 页） （2）点 P 是 CD 的中点， DPPC1 在 RtADP 中，AP 在 RtADC 中，AC2 CAECDE，ACDDEP ACPDPE 即 DE （3）如图：连接 AQ，PQ，延长 CB 到 F，使 BFDP，连接 AF 四边形 ABCD 是正方形 ABADBC2，ADCABC90 ABAD，BFDP，ABFADP ABFADP AFAP，DAPFAB 若 AQDE QAEAED45 BAQ+DAP45 FAB+BAQFAQ45 FAQQAE45，APAF，AQAQ AFQAPQ QPQF FQFB+BQDP+BQ1+BQ QP1+BQ 在 RtPQC 中
37、，PQ2QC2+CP2 第 23 页（共 28 页） （1+BQ）2（2BQ）2+1 BQ 【点评】本题考查了圆的综合题，圆周角定理，勾股定理，相似三角形，添加恰当的辅 助线构造全等三角形是本题的关键 24 （14 分）已知抛物线 yx22mx+m23（m 是常数）与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点 （1）若 m 取不同的值，线段 AB 的长度是否保持不变？若不变，请求出 AB 的长；若改 变，请说明理由； （2）若点 B 在 x 轴正半轴上，且BCD 是以点 D 为直角顶点的直角三角形，请求出 m 的值； （3）设抛物线与直线
38、 x交于点 P，PAB 的外接圆圆心为点 Q，问：点 Q 是否总在 某个函数的图象上？若是，请求出该函数解析式；若不是，请说明理由 【分析】 （1）令 y0，根据根与系数的关系得 x1+x22m，x1x2m23，进而得出 AB |x1x2|2得出结 论； （2）先确定出点 B，C，D 坐标，利用两点间的距离公式得出 BC2m45m2+2m+12， BD23+912，CD2m4+m2，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论 （3）先表示出点 A，B，P 坐标，设出点 Q 坐标，利用 Q 到点 A，B，P 的距离相等建立 方程求解即可得出结论 【解答】解： （1）抛物线 yx22mx+m23（m
39、是常数）与 x 轴交于点 A、B， 设（x1，0） ，B（x2，0） 令 y0， x22mx+m230， x1+x22m，x1x2m23， AB|x1x2|2， 即：m 取不同的值，线段 AB 的长度是保持不变，AB 的长为 2； （2）抛物线 yx22mx+m23（xm）23， C（0，m23） ，D（m，3） ， 第 24 页（共 28 页） 令 y0，0（xm）23， x1m，x2m+， A（m，0）B（m+，0） ， BC2（m+）2+（m23）2m45m2+2m+12，BD23+912，CD2m4+m2， BCD 是以点 D 为直角顶点的直角三角形， BC2BD2+CD2， m45m
40、2+2m+12m4+m2+12， m0（舍）或 m； （3）抛物线与直线 x交于点 P， P（，m22m） ， 由（2）知，A（m，0）B（m+，0） ， PAB 的外接圆圆心为点 Q， AQPQ，设 Q（x，y） ， xm， Q（m，y） ， AQ2y2+3，PQ2（m）2+（m22m）y2 m22m+3+（m22m）22（m22m）y+y2 AQPQ， y2+3m22m+3+（m22m）22（m22m）y+y2， 0（m22m）2（m22m）+2（m22m）y， ym2m+， xm， yx2x+ 点 Q 总在函数 yx2x+的图象上 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与
41、系数的关系，两点间的 距离公式，勾股定理，三角形的外接圆的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键 25 （14 分）已知菱形 ABCD，DAB60 第 25 页（共 28 页） （1）若菱形 ABCD 的边长为 2cm，如图（a）所示，点 P 从 A 点出发，以cm/s 的速 度沿 AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从 A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运动当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动，设 P 点的运动时间为 t 秒 当 P 异于 A、C 时，请说明 PQBC； 以 P 为圆心，PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P
42、 与 边 BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ （2）如图（b）所示，菱形 ABCD 对角线交于点 O，AE，BE1，连接 OE，请直 接写出 OE 的最大值 【分析】 （1）连接 BD 交 AC 于 O，构建直角三角形 AOB利用菱形的对角线互相垂 直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知PAQCAB；然后根据“相似三角形的对 应角相等”证得APQACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平 行”可以证得结论； 如图 2，P 与 BC 切于点 M，连接 PM，构建 RtCPM，在 RtCPM 利用特殊角的 三角函数值求得 PMPC， 然后根据 PMPQAQt 列出关于 t 的
43、方程， 通过解方程即可求得 t 的值； 如图 3，P 过点 B，此时 PQPB，根据等边三角形的判定可以推知PQB 为等边三角 形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得 t 的值来确定此时 t 的取值范围； 如图 4，P 过点 C，此时 PCPQ，据此等量关系列出关于 t 的方程，通过解方程求得 t 的值 （2）当 OEAB 时，OE 取最大值，进而解答即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形，且菱形 ABCD 的边长为 2cm， ABBC2，BACDAB， 又DAB60（已知） ， 第 26 页（共 28 页） BACBCA30； 如图 1，连接 BD 交 AC 于 O 四边形
44、ABCD 是菱形， ACBD，OAAC， OBAB1（30角所对的直角边是斜边的一半） ， OA（cm） ，AC2OA2（cm） ， 运动 ts 后， 又PAQCAB， PAQCAB， APQACB（相似三角形的对应角相等） ， PQBC（同位角相等，两直线平行） 如图 2，P 与 BC 切于点 M，连接 PM，则 PMBC 在 RtCPM 中，PCM30， PMPC，由 PMPQAQt，即t 解得 t46，此时P 与边 BC 有一个公共点； 如图 3，P 过点 B，此时 PQPB， PQBPAQ+APQ60 PQB 为等边三角形， QBPQAQt， t1 时，P 与边 BC 有 2 个公共点
45、 如图 4，P 过点 C，此时 PCPQ，即t，t3 当 1t3时，P 与边 BC 有一个公共点， 当点 P 运动到点 C，即 t2 时 P 与 C 重合，Q 与 B 重合，也只有一个交点，此时，P 与边 BC 有一个公共点， 当 t46 或 1t3或 t2 时，P 与菱形 ABCD 的边 BC 有 1 个公共点； 第 27 页（共 28 页） 当 46t1 时，P 与边 BC 有 2 个公共点； （2）作EBF60，且 BEEF，如图 5， 则 cos60， 且OBEABF60+1， OBEABF， ，即 OEAF， 在BEF 中，BE1，EF， 在AEF 中 AFAE+EF， 当 A，E，F 三点共线时，AF 有最大值为， OE 的最大值为 第 28 页（共 28 页） 【点评】本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性 质解答（2）题时，根据P 的运动过程来确定 t 的值，以防漏解
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