1、2018 年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）实数 是（ ） A整数 B分数 C有理数 D无理数 2 （2 分）如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图，这个几何体的摆搭方式可 能是（ ） A B C D 3 （2 分）中华人民共和国国家统计局网站公布，2016 年国内生产总值约为 74300 亿元，将 74300 亿用科学记数法可以表示为（ ） A7431010 B74.31011 C7.431010 D7.431012 4 （
2、2 分）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则它是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D八边形 5 （2 分）在平面直角坐标系内，点 P（a，a+3）的位置一定不在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 6 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，P 是反比例函数 y的图象上一点，过点 P 作 PQ x 轴于点 Q，若OPQ 的面积为 2，则 k 的值是（ ） 第 2 页（共 28 页） A2 B2 C4 D4 7 （2 分）下列运算正确的是（ ） Ax2+x3x5 Bx2+x3x6 C （x2）3x5 D （x2）3x6 8 （2 分） “车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个
3、事件是（ ） A不可能事件 B不确定事件 C确定事件 D必然事件 9 （2 分）一次数学测试后，随机抽取九年级某班 5 名学生的成绩如下：91，78，98，85， 98关于这组数据说法错误的是（ ） A极差是 20 B中位数是 91 C众数是 98 D平均数是 91 10 （2 分）在平面直角坐标系中，二次函数 ya（xh）2+k（a0）的图象可能是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：3a212 12 （3 分）不等式组的解集是 13 （3 分）化简（1） （1m） 14 （
4、3 分）某田径队中甲、乙两名跳高运动员最近 10 次成绩的平均数相同，在“区运动会 跳高纪录” 附近， 若甲跳高成绩的方差为 S甲 265.84， 乙跳高成绩的方差为 S 乙 2285.21， 那么单从方差的角度看，为了打破“区运动会跳高纪录”应选 参加区运动会 15 （3 分）如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上， 如果127，那么2 第 3 页（共 28 页） 16 （3 分）在平面直角坐标系内，一次函数 y2xb 与 y2x1 的图象之间的距离为 3， 则 b 的值为 三、解答题（共三、解答题（共 22 分）分） 17 （6 分）计算：|1|2 1+2co
5、s30+（3.14）0 18 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点 （1）求证：四边形 AEDF 是菱形； （2）如果 ABACBC10，求四边形 AEDF 的面积 S 19 （8 分）某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了九年级学生对 A， B，C，D，E 五类校本课程的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程， 根据调查结果绘制了如下的两个统计图 请根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次被调查的学生的人数为 ； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，C 类所在扇形的圆心角的度数为 ； 第 4
6、 页（共 28 页） （4）若该中学有 4000 名学生，请估计该校喜爱 C，D 两类校本课程的学生共有多少名 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）在一个不透明的布袋中装两个红球和一个白球，这些球除颜色外均形同 （1）搅匀后从袋中任意摸出 1 个球，摸出红球的概率是 （2）甲、乙、丙三人依次从袋中摸出一个球，记录颜色后不放回，试求出乙摸到白球的 概率 21 （8 分）如图，直线 yx+4 与双曲线 y（k0）相交于 A（1，a） 、B 两点 （1）a ，点 B 坐标为 ； （2）在 x 轴上找一点 P，在 y 轴上找一点 Q，使 BP+PQ+
7、QA 的值最小，求出点 P、Q 两 点坐标 五、解答题（本题五、解答题（本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，BCD120，CA 平分BCD （1）求证：ABD 是等边三角形； （2）若 BD3，求O 的半径 六、解答题（本题六、解答题（本题 10 分）分） 23 （10 分）我们知道ABC 中，如果 AB3，AC4，那么当 ABAC 时，ABC 的面积 最大为 6 （1）若四边形 ABCD 中，AD+BD+BC16，且 BD6，直接写出 AD，BD，BC 满足什 么位置关系时四边形 ABCD 面积最大？并直接写出最大面积 （2） 已知四边形 ABCD
8、 中， AD+BD+BC16， 求 BD 为多少时， 四边形 ABCD 面积最大？ 第 5 页（共 28 页） 并求出最大面积是多少？ 七七、解答题（本题、解答题（本题 12 分）分） 24 （12 分） （1）如图 1，四边形 ABCD 为正方形，BFAE，那么 BF 与 AE 相等吗？为什 么？ （2）如图 2，在 RtABC 中，BABC，ABC90，D 为 BC 边的中点，BEAD 于 点 E，交 AC 于 F，求 AF：FC 的值； （3）如图 3，RtACB 中，ABC90，D 为 BC 边的中点，BEAD 于点 E，交 AC 于 F，若 AB3，BC4，求 CF 八、解答题（共八
9、、解答题（共 1 小题，满分小题，满分 12 分）分） 25 （12 分）如图 1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形成为“果圆” ，已知 A，B，C，D 分别为“果圆”与坐标轴的交点，直线 yx3 与“果圆”中的抛物线 y x2+bx+c 交于 BC 两点 （1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被 y 轴截得的线段 BD 的长； （2）如图 2，E 为直线 BC 下方“果圆”上一点，连接 AE、AB、BE，设 AE 与 BC 交于 F，BEF 的面积记为 SBEF，ABF 的面积记为 SABF，求的最小值 （3） “果圆”上是否存在点 P，使APCCAB，如果存在，
10、直接写出点 P 坐标，如果 不存在，请说明理由 第 6 页（共 28 页） 第 7 页（共 28 页） 2018 年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）实数 是（ ） A整数 B分数 C有理数 D无理数 【分析】由于圆周率 是一个无限不循环的小数，由此即可求解 【解答】解：实数 是一个无限不循环的小数所以是无理数 故选：D 【点评】本题主要考查无理数的概念， 是常见的一种无理数的形式，比较简单 2 （
11、2 分）如图，是由几个相同的小正方形搭成几何体的左视图，这个几何体的摆搭方式可 能是（ ） A B C D 【分析】根据左视图的概念得出各选项几何体的左视图即可判断 【解答】解：A 选项几何体的左视图为； B 选项几何体的左视图为； 第 8 页（共 28 页） C 选项几何体的左视图为； D 选项几何体的左视图为； 故选：A 【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握左视图的概念 3 （2 分）中华人民共和国国家统计局网站公布，2016 年国内生产总值约为 74300 亿元，将 74300 亿用科学记数法可以表示为（ ） A7431010 B74.31011 C7.43101
12、0 D7.431012 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：74300 亿7.431012， 故选：D 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （2 分）一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则它是（ ） A四边形 B五边形 C六边形 D八边形 【分析】多边形的
13、外角和是 360，则内角和是 2360720设这个多边形是 n 边 形，内角和是（n2） 180，这样就得到一个关于 n 的方程组，从而求出边数 n 的值 【解答】解：设这个多边形是 n 边形，根据题意，得 （n2）1802360， 解得：n6 即这个多边形为六边形 故选：C 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是 解题的关键根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解 决 第 9 页（共 28 页） 5 （2 分）在平面直角坐标系内，点 P（a，a+3）的位置一定不在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】判断
14、出 P 的横纵坐标的符号，进而判断出相应象限即可 【解答】解：当 a 为正数的时候，a+3 一定为正数，所以点 P 可能在第一象限，一定不 在第四象限， 当 a 为负数的时候，a+3 可能为正数，也可能为负数，所以点 P 可能在第二象限，也可 能在第三象限， 故选：D 【点评】此题主要考查了点的坐标，根据 a 的取值判断出相应的象限是解决本题的关键 6 （2 分）如图，在平面直角坐标系中，P 是反比例函数 y的图象上一点，过点 P 作 PQ x 轴于点 Q，若OPQ 的面积为 2，则 k 的值是（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】根据反比例函数 k 的几何意义，求出 k 的值即可解决问题
15、【解答】解：过点 P 作 PQx 轴于点 Q，OPQ 的面积为 2， |2， k0， k4 故选：C 【点评】本题考查反比例函数 k 的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型 7 （2 分）下列运算正确的是（ ） Ax2+x3x5 Bx2+x3x6 C （x2）3x5 D （x2）3x6 【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案 【解答】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误； 第 10 页（共 28 页） B、x2+x3，无法计算，故此选项错误； C、 （x2）3x6，故此选项错误； D、 （x2）3x6，故此选项正确 故选
16、：D 【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键 8 （2 分） “车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是（ ） A不可能事件 B不确定事件 C确定事件 D必然事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解： “车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件， 故选：B 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事 件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生 的事件 9 （2 分）一次数学测试后
17、，随机抽取九年级某班 5 名学生的成绩如下：91，78，98，85， 98关于这组数据说法错误的是（ ） A极差是 20 B中位数是 91 C众数是 98 D平均数是 91 【分析】根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可 【解答】解：将数据从小到大排列为：78，85，91，98，98， A、极差为 987820，说法正确，故本选项错误； B、中位数是 91，说法正确，故本选项错误； C、众数是 98，说法正确，故本选项错误； D、平均数是90，说法错误，故本选项正确； 故选：D 【点评】本题考查了极差、中位数、众数及平均数的知识，属于基础题，解答本题的关 键是掌握各部分的定
18、义 10 （2 分）在平面直角坐标系中，二次函数 ya（xh）2+k（a0）的图象可能是（ ） 第 11 页（共 28 页） A B C D 【分析】根据二次函数 ya（xh）2+k（a0）的顶点坐标为（h，k） ，它的开口方向 向下，即可解答 【解答】解：二次函数 ya（xh）2+k（a0）的顶点坐标为（h，k） ，它的开口方向 向下， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）分解因式：3a212 3（a+2） （a2） 【分析
19、】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】解：3a2123（a+2） （a2） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后要继续利用平方差公 式进行因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止 12 （3 分）不等式组的解集是 3x2 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 【解答】解：， 由得：x3； 由得：x2， 则不等式组的解集为3x2， 故答案为3x2 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 第 12 页
20、（共 28 页） 13 （3 分）化简（1） （1m） 2m 【分析】根据分式的运算法则先算括号里面，再作乘法亦可利用乘法对加法的分配律求 解 【解答】解：法一、 （1） （1m） （） （1m） （1m） 2m 故答案为：2m 法二、原式（1+） （1m） 1m+1 2m 故答案为：2m 【点评】本题考查了分式的加减和乘法，解决本题的关键是熟练运用运算法则或运算律 14 （3 分）某田径队中甲、乙两名跳高运动员最近 10 次成绩的平均数相同，在“区运动会 跳高纪录” 附近， 若甲跳高成绩的方差为 S甲 265.84， 乙跳高成绩的方差为 S 乙 2285.21， 那么单从方差的角度看，为了打
21、破“区运动会跳高纪录”应选 甲 参加区运动会 【分析】根据方差的意义进行判断 【解答】解：S甲 265.84，S 乙 2285.21， S甲 2S 乙 2， 甲的成绩比乙稳定 故答案为甲 【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平 均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性 越好 15 （3 分）如图，将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上， 如果127，那么2 57 第 13 页（共 28 页） 【分析】先根据三角形内角和定理求出4 的度数，根据平行线性质求出3，根据邻补 角定义求出即可 【解答】解：
22、将一块含有 30角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，127， 490302733， ADBC， 3433， 2180903357， 故答案为：57 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，邻补角的定义的应用，解此 题的关键是能求3 的度数，难度适中 16 （3 分）在平面直角坐标系内，一次函数 y2xb 与 y2x1 的图象之间的距离为 3， 则 b 的值为 1+3或 13 【分析】设直线 y2x1 与 x 轴交点为 C，与 y 轴交点为 A，过点 A 作 AD直线 y2x b 于点 D，根据直线的解析式找出点 A、B、C 的坐标，通过同角的余角相等可得出 BADACO
23、，再利用ACO 的余弦值即可求出直线 AB 的长度，从而得出关于 b 的含 绝对值符号的方程，解方程即可得出结论 【解答】解：设直线 y2x1 与 x 轴交点为 C，与 y 轴交点为 A，过点 A 作 AD直线 y 2xb 于点 D，如图所示 第 14 页（共 28 页） 直线 y2x1 与 x 轴交点为 C，与 y 轴交点为 A， 点 A（0，1） ，点 C（，0） ， OA1，OC，AC， cosACO BAD 与CAO 互余，ACO 与CAO 互余， BADACO AD3，cosBAD， AB3 直线 y2xb 与 y 轴的交点为 B（0，b） ， AB|b（1）|3， 解得：b13或
24、b1+3 故答案为 1+3或 13 【点评】本题考查了两条直线相交与平行的问题，利用平行线间的距离转化成点到直线 的距离得出关于 b 的方程是解题关键 三、解答题（共三、解答题（共 22 分）分） 17 （6 分）计算：|1|2 1+2cos30+（3.14）0 【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三 角函数值计算即可求出值 【解答】解：原式1+12 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 第 15 页（共 28 页） 18 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点 （1）求证：四
25、边形 AEDF 是菱形； （2）如果 ABACBC10，求四边形 AEDF 的面积 S 【分析】 （1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出 DEABAE，DFAC AF，再根据 ABAC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点，即可得到 AEAFDEDF， 进而判定四边形 AEDF 是菱形； （2）根据等边三角形的性质得出 EF5，AD5，进而得到菱形 AEDF 的面积 S 【解答】解： （1）ADBC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点， RtABD 中，DEABAE， RtACD 中，DFACAF， 又ABAC，点 E、F 分别是 AB、AC 的中点， AEAF， AEAFDEDF
26、， 四边形 AEDF 是菱形； （2）如图， ABACBC10， EF5，AD5， 菱形 AEDF 的面积 S 【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形 是菱形；菱形的面积等于对角线长乘积的一半 第 16 页（共 28 页） 19 （8 分）某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了九年级学生对 A， B，C，D，E 五类校本课程的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程， 根据调查结果绘制了如下的两个统计图 请根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）本次被调查的学生的人数为 300 ； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，
27、C 类所在扇形的圆心角的度数为 108 ； （4）若该中学有 4000 名学生，请估计该校喜爱 C，D 两类校本课程的学生共有多少名 【分析】 （1）根据 A 种类人数及其占总人数百分比可得答案； （2）用总人数乘以 B 的百分比得出其人数，即可补全条形图； （3）用 360乘以 C 类人数占总人数的比例可得； （4）总人数乘以 C、D 两类人数占样本的比例可得答案 【解答】解： （1）本次被调查的学生的人数为 6923%300（人） ， 故答案为：300； （2）喜欢 B 类校本课程的人数为 30020%60（人） ， 补全条形图如下： 第 17 页（共 28 页） （3）扇形统计图中，C
28、类所在扇形的圆心角的度数为 360108， 故答案为：108； （4）40001680， 估计该校喜爱 C，D 两类校本课程的学生共有 1680 名 【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信 息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）在一个不透明的布袋中装两个红球和一个白球，这些球除颜色外均形同 （1）搅匀后从袋中任意摸出 1 个球，摸出红球的概率是 （2）甲、乙、丙三人依次从袋中摸出一个球，记录颜色后不放回，试求出乙摸到白球的 概率 【分析】 （1）直接利
29、用概率公式求解； （2）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出乙摸到白球的结果数，然后根据概 率公式求解 【解答】解： （1）搅匀后从袋中任意摸出 1 个球，摸出红球的概率是； 故答案为； （2）画树状图为： 第 18 页（共 28 页） 共有 6 种等可能的结果数，其中乙摸到白球的结果数为 2， 所以乙摸到白球的概率 【点评】 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率 21 （8 分）如图，直线 yx+4 与双曲线 y（k0）相交于 A（1，a） 、B 两点
30、 （1）a 3 ，点 B 坐标为 （3，1） ； （2）在 x 轴上找一点 P，在 y 轴上找一点 Q，使 BP+PQ+QA 的值最小，求出点 P、Q 两 点坐标 【分析】 （1）由点 A 在一次函数图象上，将 A（1，a）代入 yx+4，求出 a 的值，得 到点 A 的坐标，再由点 A 的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，联立两函数解 析式成方程组，解方程组即可求出点 B 坐标； （2）作点 A 关于 y 轴的对称点 A，作点 B 作关于 x 轴的对称点 B，连接 AB， 交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 Q，连接 PB、QA利用待定系数法求出直线 AB的解析 式，进而求出 P、Q
31、两点坐标 【解答】解： （1）把点 A（1，a）代入一次函数 yx+4， 得：a1+4，解得：a3， 点 A 的坐标为（1，3） 把点 A（1，3）代入反比例函数 y， 得：k3， 第 19 页（共 28 页） 反比例函数的表达式 y 联立两个函数关系式成方程组得：， 解得：，或， 点 B 的坐标为（3，1） 故答案为 3， （3，1） ； （2）作点 A 关于 y 轴的对称点 A，作点 B 作关于 x 轴的对称点 B，连接 AB， 交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 Q，连接 PB、QA，如图所示 点 B、B关于 x 轴对称，点 B 的坐标为（3，1） ， 点 B的坐标为（3，1） ，PBP
32、B， 点 A、A关于 y 轴对称，点 A 的坐标为（1，3） ， 点 A的坐标为（1，3） ，QAQA， BP+PQ+QABP+PQ+QAAB，值最小 设直线 AB的解析式为 ymx+n， 把 A，B两点代入得：， 解得：， 直线 AB的解析式为 yx+2 令 y0，则 x+20，解得：x2，点 P 的坐标为（2，0） ， 令 x0，则 y2，点 Q 的坐标为（0，2） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴 对称中的最短线路问题，解题的关键是： （1）联立两函数解析式成方程组，解方程组求 出交点坐标； （2）根据轴对称的性质找出点 P、Q 的位置本题属于
33、基础题，难度适中， 解决该题型题目时，联立解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键 第 20 页（共 28 页） 五、解答题（本题五、解答题（本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，BCD120，CA 平分BCD （1）求证：ABD 是等边三角形； （2）若 BD3，求O 的半径 【分析】 （1）根据角平分线的定义得到ACDACB60，根据圆周角定理证明； （2）连接 OB、OD，作 OHBD 于 H，利用正弦的定义计算 【解答】解： （1）BCD120，CA 平分BCD， ACDACB60， 由圆周角定理得，ADBACB60，ABDACD60， AB
34、D 是等边三角形； （2）连接 OB、OD，作 OHBD 于 H， 则 DHBD， BOD2BAD120， DOH60， 在 RtODH 中，OD， O 的半径为 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握等边三角形的判 断方法、圆周角定理是解题的关键 六、解答题（本题六、解答题（本题 10 分）分） 23 （10 分）我们知道ABC 中，如果 AB3，AC4，那么当 ABAC 时，ABC 的面积 第 21 页（共 28 页） 最大为 6 （1）若四边形 ABCD 中，AD+BD+BC16，且 BD6，直接写出 AD，BD，BC 满足什 么位置关系时四边形 ABCD 面积最
35、大？并直接写出最大面积 （2） 已知四边形 ABCD 中， AD+BD+BC16， 求 BD 为多少时， 四边形 ABCD 面积最大？ 并求出最大面积是多少？ 【分析】 （1）由题意当 ADBC，BDAD 时，四边形 ABCD 的面积最大，由此即可解 决问题 （2）设 BDx，由题意：当 ADBC，BDAD 时，四边形 ABCD 的面积最大，构建二 次函数，利用二次函数的性质即可解决问题 【解答】解： （1）由题意当 ADBC，BDAD 时，四边形 ABCD 的面积最大， 最大面积为6（166）30 （2）设 BDx，由题意：当 ADBC，BDAD 时，四边形 ABCD 的面积最大， 最大面积
36、x（16x）x2+8x（x8）2+32， 0， x8 时，四边形 ABCD 的面积最大，最大值为 32 即 BD8 时，四边形 ABCD 的面积最大，最大面积为 32 【点评】本题考查三角形的面积，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数 构建二次函数解决问题 七、解答题（本题七、解答题（本题 12 分）分） 24 （12 分） （1）如图 1，四边形 ABCD 为正方形，BFAE，那么 BF 与 AE 相等吗？为什 么？ （2）如图 2，在 RtABC 中，BABC，ABC90，D 为 BC 边的中点，BEAD 于 点 E，交 AC 于 F，求 AF：FC 的值； （3）如图 3，Rt
37、ACB 中，ABC90，D 为 BC 边的中点，BEAD 于点 E，交 AC 于 F，若 AB3，BC4，求 CF 第 22 页（共 28 页） 【分析】 （1）先判断出 ABAD，再利用同角的余角相等，判断出ABFDAE，进而 得出ABFDAE，即可得出结论； （2）构造出正方形，同（1）的方法得出ABDCBG，进而得出 CGAB，再判断 出AFBCFG，即可得出结论； （3）先构造出矩形，同（1）的方法得，BADCBP，进而判断出ABDBCP， 即可求出 CP，再同（2）的方法判断出CFPAFB，建立方程即可得出结论 【解答】解： （1）BFAE，理由： 四边形 ABCD 是正方形， AB
38、AD，BADD90， BAE+DAE90， AEBF， BAE+ABF90， ABFDAE， 在ABF 和DAE 中， ABFDAE， BFAE， （2）如图 2， 过点 A 作 AMBC，过点 C 作 CMAB，两线相交于 M，延长 BF 交 CM 于 G， 四边形 ABCM 是平行四边形， ABC90， ABCM 是矩形， ABBC， 矩形 ABCM 是正方形， 第 23 页（共 28 页） ABBCCM， 同（1）的方法得，ABDBCG， CGBD， 点 D 是 BC 中点， BDBCCM， CGCMAB， ABCM， AFBCFG， 2； （3）如图 3，在 RtABC 中，AB3，B
39、C4， AC5， 点 D 是 BC 中点， BDBC2， 过点 A 作 ANBC，过点 C 作 CNAB，两线相交于 N，延长 BF 交 CN 于 P， 四边形 ABCN 是平行四边形， ABC90，ABCN 是矩形， 同（1）的方法得，BADCBP， ABDBCP90， ABDBCP， ， ， CP， 同（2）的方法，CFPAFB， ， ， 第 24 页（共 28 页） CF 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定， 矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出（1） 题的图形，是解本题的关键 八、解答题（共八、解答题（共 1
40、小题，满分小题，满分 12 分）分） 25 （12 分）如图 1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形成为“果圆” ，已知 A，B，C，D 分别为“果圆”与坐标轴的交点，直线 yx3 与“果圆”中的抛物线 y x2+bx+c 交于 BC 两点 （1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被 y 轴截得的线段 BD 的长； （2）如图 2，E 为直线 BC 下方“果圆”上一点，连接 AE、AB、BE，设 AE 与 BC 交于 F，BEF 的面积记为 SBEF，ABF 的面积记为 SABF，求的最小值 （3） “果圆”上是否存在点 P，使APCCAB，如果存在，直接写出点 P 坐
41、标，如果 不存在，请说明理由 第 25 页（共 28 页） 【分析】 （1）先求出点 B，C 坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点 A 坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点 D 的坐标即可求出 BD； （2）先判断出要的最小值，只要 CG 最大即可，再求出直线 EG 解析式和抛物线 解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线 EG 解析式，即可求出 CG，结论得证 （3）求出线段 AC，BC 进而判断出满足条件的一个点 P 和点 B 重合，再利用抛物线的 对称性求出另一个点 P 【解答】解： （1）对于直线 yx3，令 x0， y3， B（0，3） ， 令 y0， x30
42、， x4， C（4，0） ， 抛物线 yx2+bx+c 过 B，C 两点， ， ， 抛物线的解析式为 yx2x3； 令 y0， 第 26 页（共 28 页） x2x30， x4 或 x1， A（1，0） ， AC5， 如图 2，记半圆的圆心为 O，连接 OD， OAODOCAC， OOOCOC4， 在 RtOOD 中，OD2， D（0，2） ， BD2（3）5； （2）如图 3， A（1，0） ，C（4，0） ， AC5， 过点 E 作 EGBC 交 x 轴于 G， ABF 的 AF 边上的高和BEF 的 EF 边的高相等，设高为 h， SABFAFh，SBEFEFh， ， 的最小值， 最小，
43、 CFGE， ， 最小，即：CG 最大， EG 和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG 最大， 第 27 页（共 28 页） 直线 BC 的解析式为 yx3， 设直线 EG 的解析式为 yx+m， 抛物线的解析式为 yx2x3， 联立化简得，3x212x124m0， 144+43（12+4m）0， m6， 直线 EG 的解析式为 yx6， 令 y0， x60， x8， CG4， ； （3）如图 1，AC 是半圆的直径， 半圆上除点 A，C 外任意一点 Q，都有AQC90， 点 P 只能在抛物线部分上， B（0，3） ，C（4，0） ， BC5， AC5， ACBC， BACABC， 当APCCAB 时，点 P 和点 B 重合，即：P（0，3） ， 由抛物线的对称性知，另一个点 P 的坐标为（3，3） ， 即：使APCCAB，点 P 坐标为（0，3）或（3，3） 第 28 页（共 28 页） 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似 三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出 CG 最大时， 两三角形面积之比最小是解本题的关键
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