1、2019 年安徽省“万友”名校中考数学一模试卷年安徽省“万友”名校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 2 （4 分）下列计算中正确的是（ ） A2a+3a5a Ba3a2a6 C （ab）2a2+b2 D （a2）3a5 3（4 分） 据统计， 2018 年安徽省属企业实现营业收入总额 8339.4 亿元， 同比增长 12.4% 这 里“8339.4 亿”用科学记数法表示为（ ） A8339.4108 B8.33941011 &nbs
2、p;C8.33941010 D8.3394109 4 （4 分）如图所示的正六棱柱的左视图是（ ） A B C D 5 （4 分）将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（ ） 第 2 页（共 29 页） A若230，则有 ACDE BBAE+CAD180 C若 BCAD，则有230 D如果CAD150，必有4C 6 （4 分）某校组织“国学经典”诵读比赛，参赛的 10 名选手得分情况如表示所示： 分数/分 50 85 90 95 人数/人 3 4 2 1 那么，这 10 名选手得分数的中位数和众数分别是（ ） A85 和 85 B85
3、.5 和 85 C85 和 82.5 D85.5 和 80 7 （4 分） 九章算术中记载： “今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问 人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人 出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根 据题意，可列方程组为（ ） A B C D 8 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10cm，BC8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点
4、Q 运动到点 B 停止） 则四边形 PABQ 的面积 y（cm2）与运动时间 x（s）之间的函数图象 为（ ） A B 第 3 页（共 29 页） C D 9 （4 分）已知O 的直径 CD 为 2，弧 AC 的度数为 80，点 B 是弧 AC 的中点，点 P 在 直径 CD 上移动，则 BP+AP 的最小值为（ ） A1 B2 C2 D 10 （4 分）如图，过原点的直线 l 与反比例函数 y的图象交于 M，N 两点，根据图象 猜想线段 MN 的长的最小值是（ ） A B2 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分
5、20 分）分） 11 （5 分）分解因式：a3bab3 12 （5 分）中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益 若沿线某地区居民 2017 年人均收入 300 美元，预计 2019 年人均收入将达到 432 美元，则 2017 年到 2019 年该地 区居民年人均收入增长率为 13 （5 分）如图，将半径为 6 的半圆，绕点 A 逆时针旋转 75，使点 B 落到点 B处，则 图中阴影部分的面积是 第 4 页（共 29 页） 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，ABm，BC8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B，C 重合） ，EFDE
6、，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CEx，BFy，若 y，当 DEF 为等 腰三角形时，m 的值为 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算： （2019）0|22|+tan45 16 （8 分）某文具店购进一批单价为 10 元的学生用品，如果以单价 12 元售出，那么一个 月内可售 200 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提 高 1 元，销售量相应减少 10 件，当售价提高多少元时，可在一个月内获得最大的利润？ 最大利润是多少 四、 （本大题共四、 （本大题共 2
7、 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分） 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1111 网格中， 已知点 A （3， 3） ，B（1，3） ，C（1，1） （1）画出ABC； （2）画出ABC 关于 x 轴对称A1B1C1，并写出各点的坐标； （3）以 O 为位似中心，在第一象限画出将ABC 放大 2 倍后的A2B2C2 第 5 页（共 29 页） 18 （8 分） 【问题背景】在ABC 内部，由一点 P1，可构成 3 个不重叠的小三角形（如图 1） 【探究发现】当ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，探究三角形内互不重叠
8、 的小三角形的个数情况 （1）填表： 三角形内点的 个数 n 1 2 3 4 不重叠三角形 个数 S （2）当ABC 内部有 2019 个点（P1，P2P2019）时，三角形内不重叠的小三角形的 个数 S 为多少？ 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）图 1 所示的是某超市入口的双翼闸门，如图 2，当它的双翼展开时，双翼边缘 的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm， 双翼的边缘 ACBD54cm， 且与闸机侧立面夹角 PCABDQ30，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度 第 6 页（共 29 页
9、） 20 （10 分）已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BCD25 （1）如图 1，求ABD 的大小； （2）如图 2，过点 D 作 O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD 的 度数 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）某学校为了了解在校初中生阅读数学文化史类书籍的现状，随机抽取了初中部 部分学生进行研究调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请你根据图表中 的信息解答下列问题： 类别 人数 占总人数比例 重视 a 0.3 一般 57 0.38 不重视 b C 说不清楚 9 0.06 （1）求表格中 a，b，c
10、的值，并补全统计图； （2）若该校共有初中生 2400 名，请估计该校“不重视”阅读数学文化史书籍的初中生 人数； （3）若小明和小华去书店，打算从 A，B，C，D 四本数学文化史类书籍中随机选取一本， 请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一本书籍的概率 第 7 页（共 29 页） 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 22 （12 分）设 m，n 是任意两个实数，规定 m，n 两数较大的数称作这两个数的“绝对最 值” ，用 sec（m，n）表示例如：sec（1，2）1，sec（1，2）2，sec（0，0） 0，参照上面的材料，解答下列问题： （1）sec（，3.14） &
11、nbsp; ，sec（，） ； （2）若 sec（3x1，x+1）3x1，求 x 的取值范围； （3）求函数 yx22x4 与 yx+2 的图象的交点坐标，函数 yx22x4 图象如图 所示，请你在图中作出函数 yx+2 的图象，并根据图象直接写出 sec（x+2，x22x 4）的最小值 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图 1，在ABC 中，D，E 分别是 AC，BC 边上的点，且 ADCE，连接 BD， AE 相交于点 F （1）当ABCC60时，那么 ； （直接写出结论） 第 8 页（共 29 页） （2）当ABC 为等边三
12、角形，时，请用含 n 的式子表示 AF，BF 的数量关系，并 说明理由； （3）如图 2，在ABC 中，ABC45，ACB30，AC，点 E 在 BC 上， 点 D 是 AE 的中点，当EDC30时，CE 和 DE 的数量关系为 （直接写出结 论，不必证明） 第 9 页（共 29 页） 2019 年安徽省“万友”名校中考数学一模试卷年安徽省“万友”名校中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1 （4 分）2 的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】
13、根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可 【解答】解：2 的相反数是：（2）2， 故选：A 【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号： 一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的 意义与倒数的意义混淆 2 （4 分）下列计算中正确的是（ ） A2a+3a5a Ba3a2a6 C （ab）2a2+b2 D （a2）3a5 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式解答即可 【解答】解：A、2a+3a5a，正确； B、a3a2a5，错误； C、 （ab）2a2+2ab+b2，错误；
14、D、 （a2）3a6，错误； 故选：A 【点评】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘 方和完全平方公式的法则判断 3（4 分） 据统计， 2018 年安徽省属企业实现营业收入总额 8339.4 亿元， 同比增长 12.4% 这 里“8339.4 亿”用科学记数法表示为（ ） A8339.4108 B8.33941011 C8.33941010 D8.3394109 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 第 10 页（
15、共 29 页） 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：8339.4 亿8.33941011， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （4 分）如图所示的正六棱柱的左视图是（ ） A B C D 【分析】利用正六棱柱的形状结合三视图进而结合观察角度不同分别得出即可 【解答】解：该几何体的三视图如图所示： 故选：C 【点评】此题主要考查了画三视图，注意观察角度分别得出是解题关键 第 11 页（共 29 页） 5
16、（4 分）将一副三角板按如图的所示放置，下列结论中不正确的是（ ） A若230，则有 ACDE BBAE+CAD180 C若 BCAD，则有230 D如果CAD150，必有4C 【分析】要解答此题，首先要知道一幅三角板中各角的度数；对于根据已知可求出1 的度数，再根据E60，结合1 与E 的位置关系，即可判断；根据角的关系判断 ，根据平行线的性质定理判断，结合的结论和平行线的性质定理判断； 【解答】解：230， 160， 又E60， 1E， ACDE，故 A 正确； 1+290，2+390， 即BAE+CAD1+2+2+390+90180，故 B 正确； B
17、CAD， 1+2+3+C180 C45，1+290， 345， 2904545，故 C 不正确； D30，CAD150， D+CAD180， ACDE， 4C，故 D 正确 故选：C 第 12 页（共 29 页） 【点评】本题侧重考查对知识点的应用能力，两直线平行，同旁内角互补；两直线平行， 同错角相等；内错角相等，两直线平行；同角（等角）的余角相等 6 （4 分）某校组织“国学经典”诵读比赛，参赛的 10 名选手得分情况如表示所示： 分数/分 50 85 90 95 人数/人 3 4 2 1 那么，这 10 名选手得分数的中位数和众数分别是（ ） A85 和 85 B85.5 和 85 C8
18、5 和 82.5 D85.5 和 80 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的 平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案 【解答】解：在这一组数据中 85 是出现次数最多的，故众数是 85； 排序后处于中间位置的两个数都是 85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 85； 故选：A 【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义众数是一组数据中出现次数最多的 数据；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或 最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数如果中位数的概念掌握得不好，不把 数据按要求重新
19、排列，就会出错 7 （4 分） 九章算术中记载： “今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问 人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人 出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根 据题意，可列方程组为（ ） A B C D 【分析】设设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据羊的价格不变列出方程组 【解答】解：设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意，可列方程组为： 第 13 页（共 29 页） 故选：A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准
20、等量关系是解题的关键 8 （4 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10cm，BC8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止） 则四边形 PABQ 的面积 y（cm2）与运动时间 x（s）之间的函数图象 为（ ） A B C D 【分析】先算出点 Q 运动到点 B 所需要的时间，再利用勾股定理算出 AC 的长度，从而 表示出 CP 的长度，算出CPQ 的面积，则四边形 PABQ 的面积可表示，再根据关系式 选出合适的函数图象即可 【解答】解：824，
21、 点 Q 运动到点 B 需要 4s， AB10，BC8， 在 RtABC 中，AC6， APt， CP6t， CQ2t， 第 14 页（共 29 页） SCPQCPCQ2t （6t）6tt2 S四边形APQB246t+t2 S 与 t 的关系式为二次函数， 符合题意的为 C 选项 故选：C 【点评】此题考查了动点问题的函数图象，表示出四边形 PABQ 的面积为解题关键，根 据函数解析式选择相应的函数图象即可 9 （4 分）已知O 的直径 CD 为 2，弧 AC 的度数为 80，点 B 是弧 AC 的中点，点 P 在 直径 CD 上移动，则 BP+AP 的最小值为（ ） A1 B2 C2 D 【
22、分析】根据翻折的性质得到 PBPB，得到BEA60当点 B、 P、A 在一条直线上时，PB+PA 有最小值，最小值为 AB，根据正弦的定义计算即可 【解答】解：过点 B 关于 CD 的对称点 B，连接 AB交 CD 于点 P，延长 AO 交圆 O 与点 E，连接 BE 点 B 与点 B关于 CD 对称， PBPB， 当点 B、P、A 在一条直线上时，PB+PA 有最小值，最小值为 AB 点 B 是的中点， 120 BEA60 ABAEsin602 故选：D 第 15 页（共 29 页） 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、轴对称最短路线问题，正确找出点 P 的位置是解题的关键 10 （4
23、 分）如图，过原点的直线 l 与反比例函数 y的图象交于 M，N 两点，根据图象 猜想线段 MN 的长的最小值是（ ） A B2 C2 D1 【分析】设 N 的横坐标是 a，则纵坐标是，利用 a 即可表示出 ON 的长度，然后根据 不等式的性质即可求解 【解答】解：设 N 的横坐标是 a，则纵坐标是 则 OMON则 MN 的最小值是 2 故选：B 【点评】本题是反比例函数与不等式的性质的综合应用，关键是理解不等式的性质 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11 （5 分）分解因式：a3bab3 ab（a+b） （ab）
24、【分析】先提公因式 ab，再利用公式法分解因式即可 【解答】解：a3bab3， ab（a2b2） ， ab（a+b） （ab） 【点评】本题主要考查了整式的因式分解，在解题时要注意因式分解的方法和结果要分 解到最后是本题的关键 第 16 页（共 29 页） 12 （5 分）中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益 若沿线某地区居民 2017 年人均收入 300 美元，预计 2019 年人均收入将达到 432 美元，则 2017 年到 2019 年该地 区居民年人均收入增长率为 20% 【分析】设 2017 年到 2019 年该地区居民年人均收入增长率为 x，根据 2017 年和 201
25、9 年该地区居民年人均收入，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结 论 【解答】解：设 2017 年到 2019 年该地区居民年人均收入增长率为 x， 依题意，得：300（1+x）2432， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 故答案为：20% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解 题的关键 13 （5 分）如图，将半径为 6 的半圆，绕点 A 逆时针旋转 75，使点 B 落到点 B处，则 图中阴影部分的面积是 30 【分析】根据整体思想，可知 S阴影S半圆AB+S扇形ABBS半圆ABS扇形ABB，再利用扇 形面积公式
26、计算即可 【解答】解：S阴影S半圆AB+S扇形ABBS半圆AB 而根据旋转的性质可知 S半圆ABS半圆AB S阴影S半圆AB+S扇形ABBS半圆ABS扇形ABB 而由题意可知 AB12，BAB75 即：S阴影30 故答案为 30 【点评】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方 法，再用公式计算扇形的面积即可 第 17 页（共 29 页） 14 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，ABm，BC8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B，C 重合） ，EFDE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CEx，BFy，若 y，当 DEF 为等 腰三角形时，m 的值为 2 或
27、 6 【分析】利用互余关系找角相等，证明BEFCDE，根据对应边的比相等得出 y ，把条件代入可得解出 x 的值，根据DEF90，只有当 DE EF 时，DEF 为等腰三角形，得出 m8x，即可得解 【解答】解：连结 DF， EFDE， BEF90CEDCDE， 又BC90， BEFCDE， ， 即，解得：y， 由题意有：， 解得：x16，x22， DEF90， 只有当 DEEF 时，DEF 为等腰三角形， 在BEF 和CDE 中， ， BEFCDE（AAS） ， 第 18 页（共 29 页） BECDm， 此时 m8x， 当 x2 时，m6， 当 x6 时，m2 故答案为：2 或 6 【点评
28、】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及一元 二次方程的解法等知识 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15 （8 分）计算： （2019）0|22|+tan45 【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得 出答案 【解答】解：原式14+1 2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 16 （8 分）某文具店购进一批单价为 10 元的学生用品，如果以单价 12 元售出，那么一个 月内可售 200 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单
29、价每提 高 1 元，销售量相应减少 10 件，当售价提高多少元时，可在一个月内获得最大的利润？ 最大利润是多少 【分析】直接利用总利润销量每件利润，进而得出关系式求出答案 【解答】解：设销售单价提高 x 元，销售利润为 y 元，根据题意可得： y（x+2） （20010x） 10x2+180x+400 10（x9）2+1210， 100， x9 时，y 有最大值，最大值为 1210， 答：当售价提高 9 元时，可在一个月内获得最大的利润，最大利润是 1210 元 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键 四、 （本四、 （本大题共大题共 2 小题，每小题小题，每小题
30、8 分，满分分，满分 16 分）分） 17 （8 分） 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 1111 网格中， 已知点 A （3， 3） ，B（1，3） ，C（1，1） 第 19 页（共 29 页） （1）画出ABC； （2）画出ABC 关于 x 轴对称A1B1C1，并写出各点的坐标； （3）以 O 为位似中心，在第一象限画出将ABC 放大 2 倍后的A2B2C2 【分析】 （1）根据 A，B，C 的坐标画出ABC 即可； （2）分别作出 A，B，C 关于 x 轴的对称点 A1，B1C1即可； （3）延长 AO 到 A2使得 OA22OA，同法作出 B2，C2即可解决问题 【解答】
31、解： （1）ABC 即为所求： （2）A1B1C1如图所示； （3）A2B2C2如图所示 【点评】本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型 18 （8 分） 【问题背景】在ABC 内部，由一点 P1，可构成 3 个不重叠的小三角形（如图 1） 【探究发现】当ABC 内的点的个数增加时，若其他条件不变，探究三角形内互不重叠 的小三角形的个数情况 （1）填表： 第 20 页（共 29 页） 三角形内点的 个数 n 1 2 3 4 不重叠三角形 个数 S 3 5 7 9 （2）当ABC 内部有 2019
32、个点（P1，P2P2019）时，三角形内不重叠的小三角形的 个数 S 为多少？ 【分析】 （1）观察图形，数出前几个图形中不重叠的小三角形的数量，此问得解； （2）观察图形，根据前几个图形中不重叠的小三角形数量的变化可找出变化规律“Sn 2n+1（n 为正整数） ” ，依此规律即可得出结论 【解答】解： （1）观察图形，可知：S13，S25，S37，S49 故答案为：3；5；7；9 （2）观察图形，可知：S1321+1，S2522+1，S3723+1，S492 4+1， Sn2n+1（n 为正整数） ， 当 n2019 时，S201922019+14039 答：第 2019 个图形中共有 40
33、39 个不重叠的小三角形 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中不重叠的小三角形数量的变化 找出变化规律“Sn2n+1（n 为正整数） ”是解题的关键 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19 （10 分）图 1 所示的是某超市入口的双翼闸门，如图 2，当它的双翼展开时，双翼边缘 的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm， 双翼的边缘 ACBD54cm， 且与闸机侧立面夹角 PCABDQ30，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度 第 21 页（共 29 页） 【分析】过 A 作 AECP 于 E，过 B
34、作 BFDQ 于 F，则可得 AE 和 BF 的长，依据端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度 【解答】解：如图所示，过 A 作 AECP 于 E，过 B 作 BFDQ 于 F，则 RtACE 中，AEAC5427（cm） ， 同理可得，BF27cm， 又点 A 与 B 之间的距离为 10cm， 通过闸机的物体的最大宽度为 27+10+2764（cm） ， 答：当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 64cm 【点评】本题主要考查了含 30角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30角所对 的直角边等于斜边的一半 20 （10 分）已知 AB 是O
35、的直径，弦 CD 与 AB 相交，BCD25 （1）如图 1，求ABD 的大小； （2）如图 2，过点 D 作 O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD 的 度数 第 22 页（共 29 页） 【分析】 （1）根据圆周角定理可求ACB90，即可求ABD 的度数； （2） 根据切线的性质可得ODP90， 且POD2BCD50， 即可求P40， 根据平行线性质和等腰三角形的性质可求OCD 的度数 【解答】解： （1）AB 是直径， ACB90，且BCD25， ACD65， ACDABD， ABD65 （2）连接 OD， DP 是O 的切线， ODP90， DOB2DCB，
36、DOB22550， P40， ACDP， POAC40， OAOC， OACOCA40， COBOAC+OCA80， CODCOB+DOB130 CODO 第 23 页（共 29 页） OCDODC25 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，熟练运用切 线的性质是本题的关键 六、 （本题满分六、 （本题满分 12 分）分） 21 （12 分）某学校为了了解在校初中生阅读数学文化史类书籍的现状，随机抽取了初中部 部分学生进行研究调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表，请你根据图表中 的信息解答下列问题： 类别 人数 占总人数比例 重视 a 0.3 一般 57 0
37、.38 不重视 b C 说不清楚 9 0.06 （1）求表格中 a，b，c 的值，并补全统计图； （2）若该校共有初中生 2400 名，请估计该校“不重视”阅读数学文化史书籍的初中生 人数； （3）若小明和小华去书店，打算从 A，B，C，D 四本数学文化史类书籍中随机选取一本， 请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一本书籍的概率 【分析】 （1）用总人数乘以 a 所占的比例求出 a，用总人数减去其他部分所占的人数求出 b，用 c 的人数除以总人数即可； （2）用总人数乘以“不重视”阅读数学文化史书籍的初中生人数所占的百分比即可； （3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两人恰
38、好选中同一本书籍的结果 第 24 页（共 29 页） 数除以总的结果数即可 【解答】解： （1）根据题意得： 570.38150（人） ， a1500.345， b1505745939， c391500.26， 补图如下： （2）根据题意得： 24000.26624（人） ， 答：该校“不重视”阅读数学文化史书籍的初中生人数约为：624 人； （3）根据题意画树状图如下： 共有 16 种等可能的结果，其中两人恰好选中同一本书籍的结果有 4 种， 所以两人恰好选中同一本书籍的概率有 【点评】此题考查了树状图、条形统计图，树状图法适合两步或两步以上完成的事件； 解题时要注意此题是放回实验还是不放回
39、实验用到的知识点为：概率所求情况数与 总情况数之比 七、 （本题满分七、 （本题满分 12 分）分） 第 25 页（共 29 页） 22 （12 分）设 m，n 是任意两个实数，规定 m，n 两数较大的数称作这两个数的“绝对最 值” ，用 sec（m，n）表示例如：sec（1，2）1，sec（1，2）2，sec（0，0） 0，参照上面的材料，解答下列问题： （1）sec（，3.14） ，sec（，） ； （2）若 sec（3x1，x+1）3x1，求 x 的取值范围； （3）求函数 yx22x4 与 yx+2 的图象的交点坐标，函数 yx22x4 图象如图 所示，请你在图中作出函数 yx+2 的
40、图象，并根据图象直接写出 sec（x+2，x22x 4）的最小值 【分析】 （1）根据 sec（m，n）表示 m，n 两数较大的数，即可求出结论； （2）根据 sec（3x1，x+1）3x1，即可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即 可得出结论； （3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线 yx+2 的图象， 观察图形，即可得出 sec（x+2，x22x4）的最小值 【解答】解： （1）sec（，3.14），sec（，） 故答案为：； （2）sec（3x1，x+1）3x1， 3x1x+1， 解得：x （3）联立两函数解析式成方程组， 第 26 页（共 29 页） ，解得：
41、，或， 交点坐标为（2，4）和（3，1） 画出直线 yx+2，如图所示， 观察函数图象可知：当 x3 时，sec（x+2，x22x4）取最小值1 【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数 的图象，解题的关键是： （1）读懂题意，弄清“绝对最值”的意思； （2）根据 sec（3x 1，x+1）3x1，找出关于 x 的一元一次不等式； （3）联立两函数解析式成方程组， 通过解方程组求出交点坐标 八、 （本题满分八、 （本题满分 14 分）分） 23 （14 分）如图 1，在ABC 中，D，E 分别是 AC，BC 边上的点，且 ADCE，连接 BD， AE 相交于
42、点 F （1）当ABCC60时，那么 1 ； （直接写出结论） （2）当ABC 为等边三角形，时，请用含 n 的式子表示 AF，BF 的数量关系，并 说明理由； （3）如图 2，在ABC 中，ABC45，ACB30，AC，点 E 在 BC 上， 点 D 是 AE 的中点，当EDC30时，CE 和 DE 的数量关系为 CEDE （直 接写出结论，不必证明） 第 27 页（共 29 页） 【分析】 （1）由题意可证ABC 是等边三角形，可得 ABACBC，BACABC ACB60，可证ABDCAE，可得EACDBA，由等边三角形的性质可得 BAEDBA30，可求的值； （2）设 AFx，BFy，A
43、BACBCn，ADCE1，BDAEm，通过证ADF BDA，BFEBCD 可得，可得； （3）由题意可证CDEACE，可得，即可得 CEDE 【解答】解： （1）如图， ABCC60 ABC 是等边三角形 ABACBC，BACABCACB60 ADCE ABDCAE（SAS） EACDBA ， 点 D 是 AC 中点，且ABC 是等边三角形 DBA30 EAC30 第 28 页（共 29 页） BAEDBA30 AFBF 故答案为：1 （2）由（1）可得ABDCAE BDAE，EACDBA BFEDBA+BAFEAC+BAFBAD60， 设 AFx，BFy，ABACBCn，ADCE1，BDAEm EACDBA，ADBADB ADFBDA BFEC60，DBCDBC BFEBCD 得： （3）CEDE， 理由如下：点 D 是 AE 中点， AE2DE EDC30ACB，DECCEA CDEACE CE2AEDE2DE2， CEDE 故答案为：CEDE 第 29 页（共 29 页） 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质， 相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的关系是本题的关键
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