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    著名机构初中数学培优讲义轴对称与等腰三角形.第06讲(C级).学生版

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    著名机构初中数学培优讲义轴对称与等腰三角形.第06讲(C级).学生版

    1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称, 理解对应 点所连的线段被对称轴垂直 平分性质; 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形; 掌握简单图形之间的轴对称关系,并 能指出对称轴;掌握基本图形(等腰 三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正 多边形、 圆) 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 旋转 了解图形的旋转, 理解对应点 到旋转中心的距离相等、 对应 点与旋转中心连线所成的角 彼此相等的性质; 会识别中心 对称图形 能按要求作出简单平面图形旋转后的 图形,能依据旋转前、后的图形,指 出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识

    2、 解决简单问题; 平移 了解图形平移, 理解平移中对 应点连线平行 (或在同一条直 线上)且相等的性质 能按要求作出简单平面图形平移后的 图形;能依据平移前后的图形,指出 平移的方向和距离 能运用平移的知识 解决简单的计算问 题; 等腰三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 的概念,会识别这二种图形, 并理解这二种图形的性质和 判定 能用等腰三角形、等边三角形的性质 和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形的知识 解决有关问题 1 轴对称及等腰三角形性质的综合应用 2 全等三角形与轴对称、旋转、平移变换的综合应用 版块一 轴对称 垂直平分线类垂直平分线类 例题精讲 中考要求 重难点 轴对

    3、称与等腰三角形 垂直平分线: “垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等” ,主要是转化线段之间的关系,尤其是在轴对 称有关作图中,应用更为广泛 【例1】 如图ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F. 说明BECF的理由; 如果ABa,ACb,求AE,BE的长. G F E D C B A 【例2】 如图,ABAC,ADAE,BE和CD相交于点O,AO的延长线交BC于点F。 求证:BFFC。 F O ED C B A 双对称轴路程和最短问题双对称轴路程和最短问题 【例3】 如图, 30AOB, 角内有点P, 且5OP , 在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)

    4、, 则PQR 的周长的最小值为 O P A B 【巩固】如图,在POQ内部有M点和N点,同时能使MOPNOQ,这时在直线OP上再取A点, 使从A点到M点及N点的距离和为最小;在直线OQ上也取B点,使从B点到M点和N点的距 离和也最小证明:AMANBMBN Q O N M P B A 多对称轴路程和最短问题多对称轴路程和最短问题 【例4】 如图,当点A与 123 lll、 、连续相撞时,假设入射角等于反射角,求作出点A向点B运动时的最短 路程 l3 l2 l1 B A 【例5】 如图,矩形台球桌ABCD上有两个球PQ、,求作一击球路线,使P球顺次撞击球桌四边后再撞 击Q球(球撞击桌边的入射角等于

    5、反射角) D CB A Q P 平移路程和最短问题平移路程和最短问题 【例6】 如图,在a上找到M、N两点,且10MN ,M在N的左边,使四边形ABMN的周长最短。 B A a 【巩固】如图,A B,两村相隔一条河,为使两村之间行程最短,应在河的什么位置架一座桥?(河岸可 看成平行线,桥是垂直于河岸的) l2 l1 B A 轴对称与轴对称与路程差最大问题路程差最大问题 【例1】 已知:A、B两点在直线l的同侧,在l上求作一点M,使得|BMAM 最大。 B A l 【巩固】求在直线l上找一点P,使得直线l为APB的角平分线 B A 版块二、等腰三角形 【例7】 已知ABC中,90A,67.5B.

    6、请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请 你利用下面给出的备用图,画出两种 不同的分割方法.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出 相等两角的度数). CB A CB A 【例8】 等腰三角形的顶角90,如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形,求 A BCD 【例9】 P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点,PEAC于点E,PF BC于点F,ADBC 点D,如图,求证:PEPFAD AB C E D P F 【巩固】 如图, 点P为等腰三角形ABC的底边BA的延长线上的一点,PECA的延长线于点E,PFBC 于点F,ADBC于点DPE、PF、AD之间存在着怎样的数

    7、量关系? AB C E D P F 【例10】 如下图,ABC是等边三角形,1 2 2CBFACDBAE,38DEFDFE 求出DEF 的每个内角度数 F E D CB A 【巩固】如图所示,已知ABC,延长CA、AB、BC到D、E、F,连接DE、EF、FD,使得 AEDBFECDF ,若60ABC,50DFE,求BAC及EDF的度数 A B C D E F 【例11】 如图, 六边形ABCDEF中, AB C DEF , 且AB+BC 11 ,FACD3 求 B C D E FE D C B A 模块三 全等三角形与轴对称 角平分线类角平分线类 “角”是轴对称图形,对称轴为角平分线所在的直线

    8、。因此在遇见与角平分线有关问题的时候,可以有 下面几个基本解题思路:平分角;角平分线上点到角两边的距离相等;沿角平分线进行翻折。 【例12】 已知ABC中,60A ,BD、CE分别平分ABC和ACB,BD、CE交于点O, 试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明。 OD E CB A 【例13】 如图, 在Rt ABC中,AD是斜边BC上的高,BE是ABC的平分线,AD交BE于O,EFAD 于F,求证:AFOD O F D E CB A 2 1 【例14】 已知在ABC中,90A,B的平分线交AC于E, 交BC边上的高AH于D, 过D作DFBC 交AC于F,求证:AEFC H FE D C

    9、 B A 构造等腰三角形类构造等腰三角形类 构造等腰三角形类的主要方法有两种:是将直角三角形沿着某一直角边翻折;是截取等长线段 【例15】 如图,在ABC中,46ABC,D是BC边上一点,DCAB,21DAB,试确定CAD 的度数 A BC D 构造等边三角形类构造等边三角形类 构造等边三角形类的方式主要有两种: 直接以某一线段长为边, 直接构造等边三角形; 作等腰三角形, 然后利用题目给出的特殊角,如60,证明此等腰三角形为等边三角形 【例16】 如图,BD是ABC的角平分线,60A ,2ADCDAB ,判断ABC的度数并说明理由。 答:ABC= 证明: D C B A 【巩固】如图,在等腰

    10、ABC中,ABAC,顶角20A ,在边AB上取点D,使ADBC, 求BDC的度数。 D C B A 【例17】 如图,在ABC中,40ABC,40ACB,P为三角形内的一点,且20PCA, 20PAB,求PBC的度数。 P C B A 模块四 全等三角形与旋转 倍长中线类倍长中线类 倍长中线是我们耳熟能详的一种辅助线的作法,其实此作法最主要是通过旋转的方式,构造出一对“8” 字型全等三角形,从而转化线段与角的数量关系 【例18】 在后面的学习中,我们会学习到与直角三角形斜边上有关的性质: “直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半” ,用数学语言改编如下: 已知:在Rt ABC中,90C,D为斜

    11、边AB的中点,证明: 1 2 CDAB D CB A 【巩固】两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置,E、A、C三点在一 条直线上,连结BD,取BD的中点M,连结ME、MC,试判断EMC的形状,并说明理由 AE C B M D 一般等腰三角形旋转 一般等腰三角形旋转的问题主要有:通过对等腰三角形旋转,构造全等三角形;通过对一般三角形旋 转构造等腰三角形 【例19】 如图,ABC是边长为 1 的正三角形,BDC是顶角为120的等腰三角形, 以D为顶点作一个60 的MDN,点,M N分别在,AB AC上,则AMN的周长是 N M D CB A 等腰直角三角形旋转等腰直角

    12、三角形旋转 等腰直角三角形旋转有关问题要充分考虑到: “边相等” “角相等” ,还有斜边上的中线,这条特殊的线段, 尤其是涉及到斜边中点的时候,基本上都会连接这条中线 【例20】 已知: 在Rt ABC中,ABBC, 在R t A D E中,ADDE, 连结EC, 取EC的中点M, 连结DM 和BM 若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图,探索BM、DM的关系并给 予证明; 如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角,如图,那么中的结论是否仍成 立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明 A B C D E M A B C D E M 等边三角形旋转等边三角形旋转 【例

    13、21】 如图,已知四边形ABCD中,,60ABADBAD,120BCD,证明:BCDCAC D C B A 三垂直全等及三垂直的变形三垂直全等及三垂直的变形 三垂直模型及其变形最主要的是转化角度之间的关系 【例22】 在 ABC 中, 90ACB,ACBC ,直线MN经过C点,且AD MN 于D,BE MN 于E 当直线MN绕点C旋转到图的位置时,求证:DEADBE; 当直线MN绕点C旋转到图的位置时,求证:DEADBE; 当直线MN绕点C旋转到图的位置时,试问:DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出 这个等量关系,并加以证明 图 N M E D C BA AB C D E M N 图 图

    14、N M E D C BA 【巩固】如图,CD是经过BCA顶点C的一条直线,CACB,E、F分别是直线CD上两点,且 BECCFA (1)若直线CD经过BCA的内部,且E、F在直线CD上,请解决下面两个问题: 如图,若90BCA,90,则BE CF;EF BEAF (填“” 、 “” 、 “” ) ; 如图,若0180BCA,请添加一个关于与BCA关系的条件 ,使 中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论 (2)如图,若直线CD经过BCA的外部,BCA ,请提出EF、BE、AF三条线段数 量关系的合理猜想(不要求证明) 图图 图 D F A E C B F E D B AC F E D C B A

    15、 【巩固】如图,在等边ABC中,点DE,分别在边BCAB,上,BDAE,AD与CE交于点F (1)求证:ADCE;(2)求DFC的度数 F E D CB A 模块五 全等三角形与平移 平移的基本思路是通过平移,将有关系但又不在一起的量集中起来,且对应边平行且相等 【例23】如图所示,在ABC的边BC上取两点D、E,且BDCE 求证:ABACADAE A BCDE 【巩固】如图所示,在ABC中,90B,M为AB上的一点,且AMBC;N为BC上的一点,且 CNBM连接AN、CM交于点P,求证:45APM P N M C BA 【例24】 在ABC中,ABAC,CA,AB的延长线上截取E,D,有EDDAECBC 求证:100BAC E D CB A 1. 如图,ABC中,ABAC,点P、Q分别在AC、AB边上,且APPQQBBC,则A的大 小是 课堂检测 Q P CB A 2. 如图所示,一个六边形的六个内角都是120,连续四边的长依次是1、3、3、2,则该六边形的周长 是多少? 2 1 3 3D F E C B A 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评: 1. 如图,在ABC中,90C,30CAD,ACBCAD求证:CDBD 课后作业 总结复习 C A B D


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