1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 轴对称 了解图形的轴对称， 理解对应 点所连的线段被对称轴垂直 平分性质； 了解物体的镜面对 称 能按要求作出简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形； 掌握简单图形之间的轴对称关系，并 能指出对称轴；掌握基本图形（等腰 三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正 多边形、 圆） 的轴对称性及相关性质。 能运用轴对称进行 图案设计 等腰三角形 了解等腰三角形、 等边三角形 和直角三角形的概念， 会识别 这三种图形， 并理解这三种图 形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形和直角 三角形的性质和判定解决简单问题 能用等腰三角形、 等边三角形和直角 三角形的知识解决
2、 有关问题 版块一 轴对称与轴对称图形 轴对称的有关概念轴对称的有关概念 1 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就 是对称轴。 2 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。 3 轴对称指两个图形，轴对称图形是指一个图形。 4 成轴对称的两个图形一定是全等形；全等的两个图形不一定成轴对称。 轴对称及轴对称图形的性质 1 如果两个图形关于某一直线对称，则对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相 等。 2 轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分；轴对称图形的对
3、应线段相等，对应角相等。 3 线段有两条对称轴；角有两条对称轴；等腰三角形（非等边）有两条对称轴；等边三角形有三条对称 轴；等腰梯形有一条对称轴；矩形有两条对称轴；菱形有两条对称轴；正方形有四条对称轴；圆有无 数条对称； 中考要求 例题精讲 中考复习： 几何变换之轴对称 【例1】 下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ） 【例2】 有下列语句：沿一条直线翻折后，能够重合的两个图形关于这条直线对称；一个轴对称图形 一定能沿一条直线翻折，直线两侧部分相互重合；两个能重合的图形一定关于某条直线对称； 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴。其中正确的有（ ） A.1句 B.2句 C.3句 D.4句 【
4、例3】 下列语句中错误的是（ ） A.线段有两条对称轴 B. 角有一条对称轴 C. 等腰三角形至少有一条对称轴 D.等腰三角形只有一条对称轴 【例4】 下列图形中对称轴最多的是（ ） A圆 B正方形 C等腰三角形 D线段 【例5】 如图，直线L是四边形ABCD的对称轴，若ABCD，有下面的结论：ABCD ACBD AOOC ABBC，其中正确的结论有_ O D C B A l 【例6】 将一个正方形纸片依次按图 1，a，b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪，成图 d 样式，将纸 展开铺平，所得到的图形是图 2 中的（ ） 图 1 图 2 【例7】 如图 a 是长方形纸带，DEF=20 ，
5、将纸带沿 EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c 中的 CFE 的度数是（ ） A、110 B、120 C、140 D、150 【例8】 如图，等边ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠， 点A落在点 A 处，且点 A 在ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm A D E C B A 版块二 垂直平分线的性质及判定 垂直平分线的性质垂直平分线的性质及判定及判定 性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 【例9】 如图所示，在ABC 中，BAC=106 ，EF、MN 分别是
6、AB、AC 的垂直平分线，点 E、M 在 BC 上，则EAM= N M F ECB A 【例10】 已知：如图，ABC及两点M、N。求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的 直线的距离相等。 N M C B A 【例11】 下列为边长为 1 的小正方形组成的网格图 请画出ABC 关于直线 a 对称的图形（不要求写作法） ； 求ABC 的面积（直接写出即可） C B A a 版块三、轴对称与线段和差最值问题 基本思路：通过轴对称的性质转化线段的数量关系 【例12】 如图，在等腰Rt ABC中，3CACB，E的BC上一点，满足2BE ，在斜边AB上求作一点 P使得PCPE长度之和最小，最
7、小值为多少？ E P CB A 【例13】 如图，30AOB， 角内有点P， 且5OP ， 在角的两边有两点Q、R（均不同于O点） ， 则PQR 的周长的最小值为 O P A B 【例14】 已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|BMAM 最大。 B A l 【巩固】求在直线l上找一点P，使得直线l为APB的角平分线 B A 板块四 等腰三角形 等腰三角形等腰三角形 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2 等腰三角形的两腰相等，两底相等。 3 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；简称三线合一。 4 等腰直角三角形的两个锐角都等于 45。 等边三角
8、形等边三角形 1 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都是 60；三边都相等。 2 有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形。 3 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。 【例15】 若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A50 80 65或50 50或80 【例16】 等腰三角形一个角为 70 ,它的另外两个角为_； 【例17】 等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 4cm,则它的周长是 ； 【例18】 等腰三角形的一边长为 3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是 。 【例19】 等腰三角形两边长为4和6，则它的面积为（ ） A.8 2 B.
9、8 2或15 C.15 D.8 2或3 7 【例20】 在ABC中，ABAC，点D在AC边上，使BDBC，点E在AB边上，使ADDEEB，则 EDB等于（ ） A.22.5 B.25 C.30 D.37.5 E D C B A 【例21】 如图，15A，ABBCCDDEEF，那么FEM等于（ ） A.90 B.75 C.70 D.60 M F E D C B A 【例22】 如图，在ABC中，ABAC，ABC，ACB的平分线相交于点F，过F作DEBC ，交AB 于点D，交AC于E图中是等腰三角形有 F E CB A D 【例23】 已知ABC中，90A，67.5B.请画一条直线，把这个三角形分
10、割成两个等腰三角形.（请 你利用下面给出的备用图，画出两种 不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出 相等两角的度数）. CB A CB A 【例24】 已知：如图，ABC中，ABAC，36A 仿照图 1，请你再设计两种不同的分法，将ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰 三角形，作图工具不限，不要求写出画法；要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数 108 72 36 36 3672 36 36 108 【例25】 在正方形ABCD所在平面上找一点P，使APB是等腰直角三角形，这样的点P你能发现几个? 请作出这些点 D CB A 【例26】 等边三角形除一般的等腰
11、三角形的性质外，它的特有性质主要有： （1）边的性质：_； （2）角的性质：_； （3）对称性：等边三角形是_图形，它有_ 对称轴 【例27】 含 30 角的直角三角形的一个主要性质是_ 【例28】 面积为25 3 2 cm的正三角形的边长是（ ） A.15cm B.10 cm C.5 2 cm D.5 cm 【例29】 已知：如图 84，ABC 和BDE 都是等边三角形 （1）求证：ADCE； （2）当 ACCE 时，判断并证明 AB 与 BE 的数量关系 【例30】 如图，在等边ABC中，点DE，分别在边BCAB，上，BDAE，AD与CE交于点F (1)求证：ADCE；(2)求DFC的度数
12、 F E D CB A 板块六 全等与轴对称 【例31】 如图，在ABC中，ACBC，90ACB，D是AC上一点，AEBD交BD的延长线于E， 且 1 2 AEBD求证：BD是ABC的角平分线 D E C B A 【例32】 如图，在ABC中，ADBC于D，2BC 求证：ABBDCD DCB A 【例33】 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，8AD cm，6AB cm。现有一动点P按下列方 式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一 边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式 不停地运动， 即当P点碰到
13、BC边， 沿着BC边夹角为45的方向作直线运动， 当P点碰到CD边， 再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动，如图 1 所示，问P点第一次与D点重合前与 边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少。小贝的思考是这样开始的： 如图 2，将矩形ABCD沿直线CD折迭，得到矩形 11 ABCD，由轴对称的知识，发现 232 P PP E， 11 PAPE。 请你参考小贝的思路解决下列问题： P点第一次与D点重合前与边相碰 次； P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是 cm； 近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足ADAB，动点P从A点出发，按照 阅读材
14、料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上。 若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则:AB AD的值为 。 【例34】 如图，在ABC中，ABAC，D是ABC外的一点，且60ABD，60ACD A B C D E P A1 P1 P2 P3 B1 图 2 图 1 A B C D P P1 P2 P3 求证：BDDCAB D C B A 【例35】 问题：已知ABC中，2BACACB ，点D是ABC内的一点，且ADCD，BDBA。 探究DBC与ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 当90BAC
15、时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出15DAC时，可进一步推出DBC的度数为 ； 可得到DBC与ABC度数的比值为 ； 当90BAC时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值 是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。 A C B 1 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的 直线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点， 则_A N ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（2n ,且n为整数） ，则 _A N （用含有n的式子表示）
16、N M A ED C B A 2 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： B NM F E D C B A B D N F A C E B N P E C DA NM D C B A 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图； 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B，得Rt AB E， 如图 第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图 利用展开图探究： AEF是什么三角形？证明你的结论 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由 课堂检测 1 已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DGBC交AC于点 GDEBC于点E
17、，过点G作GFBC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DGDEGF，按图 1 所示方式折叠，点ABC， ，分别落在点 A ， B ， C 处若点 A ， B ， C 在矩形DEFG内或其边上， 且互不重合，此时我们称A B C （即图中阴影部分）为“重叠三角形” 若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中 （图中每个小三角形都是边长为 1 的等边三角形） ， 点ABCD， ， ，恰好落在网格图中的格点上如图 2 所示，请直接写出此时重叠三角形A B C 的 面积； 实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A B C 存在试用含m的代数式表示重叠三角形 A B C 的面积，并写出m的取值范围（直接写出结
18、果，备用图供实验，探究使用） 重叠三角形A B C 的面积为 ； 用含m的代数式表示重叠三角形A B C 的面积为 ；m的取值范围为 课后作业 A G C F B C E B D A 图 1 A G C F B C E B D A 图 2 A C B 备用图 A C B 备用图 2 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边 形叫做等对边四边形. O E D C B A 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； 如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若60A， 1 2 DCBEBCA ，请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四 边形； 在ABC中 ， 如 果A是 不 等 于60的 锐 角 ， 点D、E分 别 在AB、AC上 ， 且 1 2 D C BE B CA ， 探究： 满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形， 并证明你的结论.
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