1、 内容内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 相似相似 了解比例的基本性质，了解线段 的比、成比例线段，会判断四条 线段是否成比例，会利用线段的 比例关系求未知线段；了解黄金 分割； 知道相似多边形及其性质； 认识现实生活中物体的相似；了 解图形的位似关系 会用比例的基本性质解决有关 问题；会用相似多边形的性质解 决简单的问题；能利用位似变换 将一个图形放大或缩小 相似三角形相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判 定进行简单的推理和计算；会利 用三角形的相似解决实际问题 相似多边形相似多边形 知道相似多边形及其性质；认识 现实生活中物体的相似 会用
2、相似多边形的性质解决简 单问题 一、比例的性质 1, ac adbc bd 这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2 acbd bdac (反比定理); 3 acab bdcd (或 dc ba )(更比定理); 4 acabcd bdbd (合比定理); 5 acabcd bdbd (分比定理); 6 acabcd bdabcd (合分比定理); 7 (等比定理). 二、相似多边形 知识点睛 中考要求 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的多边形，叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比 三、三角形相似的判定（除相似三角形的定义外） 1平行于三角形一边的直线和其他两边（
3、或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说 成：两角对应相等，两个三角形相似 3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 似 4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说 成：三边对应成比例，两个三角形相似 5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似 6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7如果一个等腰三角形和另一个等腰三
4、角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相 似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似 四、相似三角形的性质 1相似三角形的对应角相等 2相似三角形的对应边成比例 3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 4相似三角形周长的比等于相似比 5相似三角形面积的比等于相似比的平方 五、相似多边形的性质 1相似多边形的对应角相等 2相似多边形的对应边成比例 3相似多边形周长的比等于相似比 4相似多边形面积的比等于相似比的平方 【例1】在ABCD 中， E 为 BC 延长线上一点， AE 交 CD 于点 F， 若 AB=7， CF=3， 则 CE
5、AD = 【解析】略 【答案】 3 4 【例2】已知：如图，点P是边长为 4 的正方形ABCD内一点，3PB ,BFBP于点B，试在射线BF上 找一点M，使得以点,B M C为顶点的三角形与ABP相似，作图并指出相似比k的值 例题精讲例题精讲 F A BC D P 【解析】已知，ABPCBF 欲使以点,B M C为顶点的三角形与ABP相似，只要使ABP及CBF 的两边对应成比例 F M2 M1 P D CB A 【答案】 16 3 3 k 或 【点评】对于探究三角形相似的条件这类问题，可从“角的关系在先，边的关系在后”的思维顺序入手， 由于题目条件中只有一组对应角相等，因此就考虑这组对应角的四
6、条线段何时对应成比例，由于点C可以 与点A对应， 点M与点P对应， 点C也可以与点P对应， 点M与点A对应， 因此有两种情形 其中当1k 时，两个相似图形全等，因此，全等图形是相似的一个特例 【例3】已知： 如图四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， 点R为DE的中点，BR分别交,AC CD 于点,P Q RQ P D CB A (1)写出图中各对相似的三角形相似比为 1 的除外 (2)求:BP PQ QR的值 【解析】略 【答案】(1),BCPBERPCQRDQPCQPABPABRDQ； (2):3:1:2BP PQ QR 【例4】在平面直角坐标系中， 矩形 OACB 的顶点 O 在
7、坐标原点， 顶点 A、 B 分别在 x 轴、y轴的正半轴上， OA3，OB4，D 为边 OB 的中点 （）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； （）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标 【解析】略 【答案】 （）如图 1，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD 与 x 轴交于点 E，连接 DE 若在边 OA 上任取点 E（与点 E 不重合） ，连接 CE、DE、DE 由 DECEDECECDDECEDECE 可知CDE 的周长最小 在矩形 OACB 中，OA3，OB4，D 为边
8、OB 的中点 BC3，DODO2，DB6 OEBC，RtDOERtDBC， BC OE BD OD OE BD OD BC 6 2 31 点 E 的坐标为（1，0） （）如图 2，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，在 CB 边上截取 CG2，连接 DG 与 x 轴交于点 E， 在 EA 上截取 EF2，则四边形 GEFC 为平行四边形，得 GECF 又 DC、EF 的长为定值，此时得到的点 E、F 使四边形 CDEF 的周长最小 OEBC，RtDOERtDBG， BG OE BD OD OE BD OD BG BD OD (BCCG) 6 2 1 3 1 OFOEEF 3 1 2 3 7 点
9、 E 的坐标为（ 3 1 ，0） ，点 F 的坐标为（ 3 7 ，0） 【例5】如图 1， 在R t A B C中，90ACB， 半径为 1 的圆A与边AB相交于点D， 与边AC相交于点E， 连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P O A B x y C D E D 图 1 E O A B x y C D E D 图 2 F G O A B x y C D O A B x y C D E D （备用图） （1）当30B时，连结AP，若AEP与BDP相似，求CE的长； （2）若2CE ，BDBC，求BPD的正切值； （3）若 1 tan 3 BPD，设CEx，ABC的周长为y，求y关于x的函
10、数关系式 【解析】略 【答案】 （1）B30 ，ACB90 ，BAC60 ADAE，AED60 CEP EPC30 BDP 为等腰三角形 AEPBDP，EAPEPADBPDPB30 AEEP1 在 RTECP 中，EC 2 1 EP 2 1 （2）如图 2，过点 D 作 DQAC 于点 Q，且设 AQa，BDx AE1，EC2，QC3a ACB90 ，ADQABC AB AD AC AQ ，即 1x 1 3 a ，a 1x 3 在 RTADQ 中，DQ 22 AQAD 2 1x 3 1)( 1x 8x2x2 BC DQ AB AD ， x 1x 8x2x 2 1x 1 解得 x4，即 BD4
11、过点 C 作 CF/DP，则ADEAFC AC AE AF AD ，AFAC，即 DFEC2 BFDF2 BFCBDP， BD BF BP BC 4 2 2 1 即 BCCP4 tanBPD CP EC 4 2 2 1 B P E C D A Q A E C B P D 图 2 Q F B P E C D A 图 3（备用） A E C B P D 图 2（备用） A B C P E D 图 1 （3）如图 3，过 D 点作 DQAC 于点 Q，则DQEPCE 设 AQa，则 QE1a EC QE CP DQ 且 tanBPD 3 1 ，DQ3(1a) 在 RtADQ 中，由勾股定理得：AD
12、2AQ 2DQ 2 即 1 2a 23(1a)2，解得 a1（舍去）或 a 5 4 ，DQ 5 3 ADQABC， AB AD BC DQ AC AQ x1 5 4 x55 4 AB 4 x55 ，BC 4 x33 三角形 ABC 的周长 yABBCAC 4 x55 4 x33 1x33x 即 y33（x0） 【例6】如图，抛物线y ax 2bx1 与 x 轴交于两点 A（1，0） ，B（1，0） ，与y轴交于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）过点 B 作 BDCA 与抛物线交于点 D，求四边形 ACBD 的面积； （3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M，过 M 作 MNx 轴于点
13、 N，使以 A、M、N 为顶点的三角形与 BCD 相似？若存在，则求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】略 【答案】 （1）把 A（1，0） ，B（1，0）代入y ax 2bx1 得： ab10 ab10 解得 a1 b0 抛物线的解析式为yx 21 （2）令 x0，得y1，C（0，1） OAOBOC1，BACACOBCOABC45 BDCA，ABDBAC45 如图 1，过点 D 作 DEx 轴于 E，则EDB 为等腰直角三角形 设 EOx，则 EDx1，D（x，x1） 点 D 在抛物线yx 21 上，x1(x )21 解得 x12，x21（不合题意，舍去） C A B D y x
14、 O ED3 （说明：先求出直线 BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点 D 的坐标也可） S四边形ACBD 2 1 ABOC 2 1 ABED 2 1 21 2 1 23 4 （说明：也可直接求直角梯形 ACBD 的面积为 4） （3）存在 ABCABD45 ，DBC90 MNx 轴，MNADBC90 BC 22 OCOB 2，BD 22 EBED 23 设 M 点的横坐标为 m，则 M（m，m 21） 当点 M 在y轴左侧时，如图 2，则 m1 )若NMABCD，则 NA MN BD BC 即 1 1 2 m m 23 2 ，整理得 3m 2m20 解得 m11（舍去） ，m2 3
15、2 （舍去） )若NAMBCD，则 NA MN BC BD 即 1 1 2 m m 2 23 ，整理得 m 23m20 解得 m11（舍去） ，m22 m 21(2) 213 M1（2，3） 当点 M 在y轴右侧时，如图 2，则 m1 )若NMABCD，则 AN MN BD BC 即 1 1 2 m m 23 2 ，整理得 3m 2m40 解得 m11（舍去） ，m2 3 4 m 21( 3 4 ) 21 9 7 M2（ 3 4 ， 9 7 ） )若 NAMBCD，则 AN MN BC BD 即 1 1 2 m m 2 23 ，整理得 m 23m40 解得 m11（舍去） ，m24 m 214
16、2 115 C A B D y x O 图 2 (M1) N1 M2 N2 C A B D y x O E 图 1 M3（4，15） 存在点 M，使以 A、M、N 为顶点的三角形与BCD 相似，M 点的坐标分别为： M1（2，3） ，M2（ 3 4 ， 9 7 ） ，M3（4，15） 【例7】如图，已知 ABCA1B1C1，相似比为 k（k1） ，且 ABC 的三边长分别为 a、b、c（abc） ， A1B1C1的三边长分别为 a1、b1、c1 （1）若 ca1，求证：akc； （2）若 ca1，试给出符合条件的一对 ABC 和 A1B1C1，使得 a、b、c 和 a1、b1、c1都是正整数，
17、并加 以说明； （3）若 ba1，cb1，是否存在 ABC 和 A1B1C1，使得 k2？请说明理由 【解析】略 【答案】 （1）证：ABCA1B1C1，且相似比为 k（k1） ， 1 a a k，aka1 又ca1，akc （2）解：取 a8，b6，c4，同时取 a14，b13，c12 此时 1 a a 1 b b 1 c c 2，ABCA1B1C1且 ca1 注：本题也是开放型的，只要给出的ABC 和A1B1C1符合要求就相应赋分 （3）解：不存在这样的ABC 和A1B1C1理由如下： 若 k2，则 a2a1，b2b1，c2c1 又ba1，cb1，a2a12b4b14c b2c bc2cc
18、3c4ca，而 bca 故不存在这样的ABC 和A1B1C1，使得 k2 注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下 k2 的情况不可能即 可 【例8】如图，在 RtABC 中，C90 ，AC3cm，BC4cm，点 P 以一定的速度沿 AC 边由 A 向 C 运 动，点 Q 以 1cm/s 的速度沿 CB 边由 C 向 B 运动，设 P、Q 同时运动，且当一点运动到终点时， 另一点也随之停止运动，设运动时间为 t（s） （1）若点 P 以 4 3 cm/s 的速度运动 当 PQAB 时，求 t 的值； B C A A1 a A b A c B1 C1 a1 b1 c1
19、 在的条件下，试判断以 PQ 为直径的圆与直线 AB 的位置关系，并说明理由 （2）若点 P 以 1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以 PQ 为直径的圆能否与直线 AB 相切？若能，请 求出运动时间 t；若不能，请说明理由 【解析】略 【答案】 （1）如图 1，当 PQAB 时，有 AC PC CB CQ 即 3 4 3 3t 4 t ，解得：t2 当 t2 秒时，PQAB 解法 1：如图 2，当 t2 秒时，PQAB，此时 PQ 为 ACB 的中位线，PQ 2 5 取 PQ 的中点 M，则以 PQ 为直径的圆的圆心为 M， 半径为 2 1 PQ 过点 M、C 向 AB 作垂线，垂足分
20、别为 N、H 则 CH 5 12 ，MN 2 1 CH 5 6 MN 2 1 PQ，直线 AB 与以 PQ 为直径的圆相交 解法 2：如图 3，当 t2 秒时，PQAB，此时 PQ 为 ACB 的中位线，取 PQ 的中点 M，分别过点 M、C 向 AB 作垂线，垂足分别为 N、H，CH 交 PQ 于点 G，连接 CM MN 2 1 CH，即 MNGHCG 在 RtCGM 中，GCMC，MNMC 直线 AB 与以 PQ 为直径的圆相交 解法 3：如图 4，当 t2 秒时，PQAB，此时 PQ 为ACB 的中位线，过点 Q 向 AB 作垂线，垂足为 N， 则 RtBNQRtBCA， AB BQ A
21、C NQ ，即 5 2 3 NQ ， NQ 5 6 由平行线间的距离处处相等可知，点 M 到 AB 的距离为 5 6 ，小于 2 1 PQ 直线 AB 与以 PQ 为直径的圆相交 （2）解法 1：如图 5，取 PQ 的中点 M，作 MNAB、PGAB、QHAB，垂足分别为 N、G、H A C B P Q 图 3 M H N A C B P Q 图 4 M N C B P Q 图 2 M H N A C B P Q A C B 备用图 则由 RtAPGRtABC，得 PG 5 4 t 由 RtBHQRtBCA，得 HQ 5 3 ( 4t ) 此时 MN 是梯形 PGHQ 的中位线，MN 5 6
22、10 t 当 PQ 24MN 2 时，以 PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即( 3t ) 2t 24( 5 6 10 t ) 2 解得：t13，t2 49 27 解法 2：如图 6，取 PQ 的中点 M，作 MHAB、MGAC、MNBC，垂足分别为 H、G、N 连接 AM、BM、CM 由 SABC SACM SBCM SABM 可得： 2 1 3 2 t 2 1 4 2 1 ( 3t ) 2 1 5MH 2 1 34 解得：MH 5 6 10 t 当 PQ 24MN 2 时，以 PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即( 3t ) 2t 24( 5 6 10 t ) 2 解得：t13，t2
23、49 27 解法 3：如图 7，取 PQ 的中点 M，作 MHAB、MNBC，垂足分别为 H、N，延长 NM 交 AB 于点 G，则 MN 2 1 PC 2 1 ( 3t )，NQ 2 1 CQ 2 t ，NB4 2 t 由 RtBGNRtBAC，得 GN3 8 3 t，GM3 8 3 t 2 1 ( 3t ) 2 3 8 1 t 又RtGMHRtABC， BC MH AB GM ，即 4 MH 5 8 1 2 3 t 解得：MH 5 6 10 t 当 PQ 24MN 2 时，以 PQ 为直径的圆与直线 AB 相切 即( 3t ) 2t 24( 5 6 10 t ) 2 解得：t13，t2 4
24、9 27 【例9】如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC3，BC4，过点 B 作射线 BBlAC动点 D 从点 A 出 发沿射线 AC 方向以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C 出发沿射线 AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动过点 D 作 DHAB 于 H，过点 E 作 EF 上 AC 交射线 BB1于 F，G 是 EF 中 点，连结 DG设点 D 运动的时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，ADAB，并求出此时 DE 的长度； （2）当DEG 与ACB 相似时，求 t 的值； （3）以 DH 所在直线为对称轴，线段 AC 经轴对称变换后 A C B P Q 图 7
25、M N H G A C B P Q 图 5 M N H G A C B P Q 图 6 M N H G B H G F B1 的图形为 AC 当 t 5 3 时，连结 CC，设四边形 ACCA 的面积为 S， 求 S 关于 t 的函数关系式； 当线段 AC 与射线 BB1有公共点时，求 t 的取值范围 （写出答案即可） 【解析】略 【答案】 （1）ACB90 ，AC3，BC4 AB 22 43 5 AD5t，CE3t，当 ADAB 时，5t5 t1AEACCE33t6 DE651 （2）EFBC4，G 是 EF 中点，GE2 当 ADAE（即 t 2 3 ）时，DEAEAD33t5t32t 若
26、DEG 与ACB 相似，则 EG DE BC AC 或 EG DE AC BC 2 23t 4 3 或 2 23t 3 4 t 4 3 或 t 6 1 当 ADAE（即 t 2 3 ）时，DEADAE5t(33t)2t3 若DEG 与ACB 相似，则 EG DE BC AC 或 EG DE AC BC 2 32 t 4 3 或 2 32 t 3 4 t 4 9 或 t 6 17 综上所述，当 t 4 3 或 6 1 或 4 9 或 6 17 时，DEG 与ACB 相似 （3）由轴对称变换得 AADH，CCDH AACC 易知 OCAH，故 AACC 四边形 ACCA 是梯形 AA，AHDACB
27、90 AHDACB， AC AH BC DH AB AD AH3t，DH4t sinADHsinCDO， AD AH CD CO 即 5 3 35 t CO ，CO3t 5 9 AA2AH6t，CC2CO6t 5 18 D B H A E G F C B1 C O A D B H A E G F C B1 (A) （图甲） ODCDcosCDO(5t3) 5 4 4t 5 12 OHDHOD 5 12 S 2 1 ( AACC ) OH 2 1 (6t6t 5 18 ) 5 12 5 72 t 25 108 6 5 t 30 43 略解：当点 A 落在射线 BB1上时（如图甲） ，AAAB5
28、6t5，t 6 5 当点 C 落在射线 BB1上时（如图乙） ，易得 CCAB 故四边形 ACCB 是平行四边形 6t 5 18 5，t 30 43 故 6 5 t 30 43 【例10】如图，设抛物线 C1：ya(x1) 25，C 2：ya(x1) 25，C 1与 C2的交点为 A，B，点 A 的 坐标是（2，4） ，点 B 的横坐标是2 （1）求 a 的值及点 B 的坐标； （2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG记过C2顶点M的直 线为l，且l与x轴交于点N 若 l 过 DHG 的顶点 G，点 D 的坐标为（1，2） ，求点 N 的横坐标； 若l
29、与 DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围 【解析】略 【答案】 （1）点 A（2，4）在抛物线 C1上， 把点 A 坐标代入ya(x1) 25 得 a1 抛物线 C1的解析式为y x 22x4 设 B（2，b） ，则 b4 B（2，4） （2）如图 1 M（1，5） ，D（1，2） ，且 DHx 轴 点 M 在 DH 上，MH5 过点 G 作 GEDH，垂足为 E D B H A E G F C B1 （图乙） C O A O x y C1 G E M D H N B A O x y C1 C2 B A O x y C1 C2 备用图 1 B A O x y C1 C2 备用图 2 由
30、DHG 是正三角形得 EG3，EH1 ME4 设 N（x，0） ，则 NHx1 由MEGMHN，得 MH ME HN EG 5 4 1 3 x ， x 3 4 5 1 点 N 的横坐标为3 4 5 1 当点 D 移到与点 A 重合时，如图 2 直线 l 与 DG 交于点 G，此时点 N 的横坐标最大 过点 G，M 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 Q，F，设 N（x，0） A（2，4） ，G（232，2） NQx232，NFx1，GQ2，MF5 NGQNMF， NF NQ MF GQ 1 322 x x 5 2 ，x 3 8310 当点 D 移到与点 B 重合时，如图 3 直线 l 与 DG 交
31、于点 D，即点 B，此时点 N 的横坐标最小 B（2，4） ，H（2，0） ，D（2，4） ，设 N（x，0） BHNMFN， FN NH MF BH x x 1 2 5 4 ，x 3 2 又当点 D 与原点 O 重合时，DHG 不存在 点 N 横坐标的取值范围为： 3 2 x 3 8310 且 x0 1 如图在正方形ABCD中12AD ，点E是边CD上的动点（点E不与端点,C D重合） ，AE的垂直平分 线FP分别交,AD AE BC于点,F H G，交AB的延长线于点P 课后作业 B A O x y C1 C2 图 2 G M H N l F Q (D) B A O x y C1 C2 图
32、 3 G M D H N l (D) F P G H F ED C B A （1）设(012)DEmm ，试用含m的代数式表示 FH HG 的值； （2）在（1）的条件下，当 1 2 FH HG =时，求BP的长 【解析】 （1）过点H作AB的平行线交,AD BC于点,M N，根据条件易证：FMHGNH，再根据线 段长度可容易得到 24 FHm HGm ； （2）根据三角函数可求得：1BP N M A B C DE F H G P 【答案】 24 FHm HGm ；1BP 2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2)，点D在x轴的正半轴上，30ODB，OE为 BOD的中线，过B
33、、E两点的抛物线 2 3 6 yaxxc与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）. （1）求抛物线的解析式； （2）等边OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长； （3）点P为ABO内的一个动点，设mPAPBPO，请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时， 线段AP的长. 【解析】略 【答案】(1）过E作EGOD于G 90 ,BODEGDD=D， BODEGD 点(0,2)B，30ODB，可得 2OB ， 2 3OD E为BD中点， 1 2 EGDEGD BODBOD 1EG ，3GD 3OG 点E的坐标为( 3,1). 抛物线 2 3 6 yaxxc经过(0,2)B、( 3,1)E两点
34、， 2 3 1( 3)32 6 a. 可得 1 2 a . 抛物线的解析式为 2 13 2 26 yxx . （2） 抛物线与x轴相交于A、F，A在F的左侧， A点的坐标为(3,0). 2 3,1AGEG, 在AGE中，90AGE, 2 2 2 3113AE . 过点O作OKAE于K， 可得AOKAEG OKEG AOAE 1 313 OK 39 . 13 OK 22 6 13 13 AKAOOK. OMN是等边三角形, 60NMO 39 13 13 tan133 OK KM KMO 7 13 13 AMAKKM,或 5 13 13 AMAKKM （3）m可以取到的最小值为13 当m取得最小值时，线段AP的长为 5 13 13
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