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    著名机构初中数学培优讲义中考复习.二次函数.第06讲(通用讲).学生版

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    著名机构初中数学培优讲义中考复习.二次函数.第06讲(通用讲).学生版

    1、 考试内容考试内容 基本要求基本要求 略高要求略高要求 较高要求较高要求 二次二次函数函数 了解二次函数的意义;会利用描 点法画出二次函数的图像 能通过分析实际问题中的情境 确定二次函数的表达式;能从图 像上认识二次函数的性质;会根 据二次函数的解析式求其图象 与坐标轴的交点坐标,会确定图 像的顶点、对称轴和开口方向; 会利用二次函数的图像求出一 元二次方程的近似解 能用二次函数解决 简单的实际问题;能 解决二次函数与其 他知识结合的有关 问题 一、二次函数的定义 黑体小四 一般地,形如 2 yaxbxc(a b c ,为常数,0a )的函数称为x的二次函数,其中x为自变量, y为因变量,a、

    2、b、c分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 注意:和一元二次方程类似,二次项系数0a ,而b、c可以为零二次函数的自变量的取值范围是 全体实数 黑体小四 二、二次函数的图象 黑体小四 1二次函数图象与系数的关系 (1)a决定抛物线的开口方向 当0a 时,抛物线开口向上;当0a 时,抛物线开口向下反之亦然 a决定抛物线的开口大小:a越大,抛物线开口越小;a越小,抛物线开口越大 温馨提示:几条抛物线的解析式中,若a相等,则其形状相同,即若a相等,则开口及形状相同,若 a互为相反数,则形状相同、开口相反 (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置(抛物线的对称轴: 2 b x a ) 当0b 时,

    3、抛物线的对称轴为y轴; 当a、b同号时,对称轴在y轴的左侧; 当a、b异号时,对称轴在y轴的右侧 (3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置(抛物线与y轴的交点坐标为0 c,) 当0c 时,抛物线与y轴的交点为原点; 例题精讲 中考要求 二次函数(一) 当0c 时,交点在y轴的正半轴; 当0c 时,交点在y轴的负半轴 2.二次函数图象的画法 五点绘图法: 利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk,确定其开口方向、对 称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图一般我们选取的五点为:顶点、与y轴 的交点0c,、以及0c,关于对称轴对称的点2hc,、与x轴的交点

    4、 1 0x , 2 0x ,(若与x轴没有 交点,则取两组关于对称轴对称的点) 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点 3.点的坐标设法 一次函数yaxb(0a )图像上的任意点可设为 11 x axb,.其中 1 0x 时,该点为直线与y轴 交点. 二次函数 2 yaxbxc(0a )图像上的任意一点可设为 2 111 x axbxc,. 1 0x 时,该点为抛 物线与y轴交点,当 1 2 b x a 时,该点为抛物线顶点 点 11 xy,关于 22 xx,的对称点为 2121 22xxyy, 4.二次函数的图象信息 根据抛物线的开口方向判断a的正负性 根

    5、据抛物线的对称轴判断 2 b a 的大小 根据抛物线与y轴的交点,判断c的大小 根据抛物线与x轴有无交点,判断 2 4bac的正负性 根据抛物线所经过的已知坐标的点,可得到关于a b c,的等式 根据抛物线的顶点,判断 2 4 4 acb a 的大小 三、二次函数的图象及性质 1 二次函数 2 yax0a ()的性质: 抛物线 2 yax的顶点是坐标原点(0,0) ,对称轴是0x (y 轴) 函数 2 yax的图像与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点; 当0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点; 2二次函数 2 (0)yaxc a的性质 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性

    6、质 0a 向上 00, y轴 0x 时,y随x的增大而增大;0x 时,y随 x的增大而减小;0x 时,y有最小值0 0a 向下 00, y轴 0x 时,y随x的增大而减小;0x 时,y随 x的增大而增大;0x 时,y有最大值0 3 二次函数 2 yaxbxc0a ()或 2 ()ya xhk(0a )的性质 开口方向: 0 0 a a 向上 向下 对称轴: 2 b x a (或xh) 顶点坐标: 2 4 (,) 24 bacb aa (或( , )h k) 最值: 图1 图2 O y x 0a 时有最小值 2 4 4 acb a (或k) (如图 1) ; 0a 时有最大值 2 4 4 acb

    7、 a (或k) (如图 2) ; 单调性:二次函数 2 yaxbxc(0a )的变化情况(增减性) 如图 1 所示, 当0a 时, 对称轴左侧 2 b x a ,y随着x的增大而减小, 在对称轴的右侧 2 b x a , y随x的增大而增大; 如图 2 所示, 当0a 时, 对称轴左侧 2 b x a , y 随着 x 的增大而增大, 在对称轴的右侧 2 b x a , y随x的增大而减小; 与坐标轴的交点:与y轴的交点: (0,C) ;与x轴的交点:使方程 2 0axbxc(或 2 ()0a xhk) 成立的x值 四、二次函数与一次函数的联系 一次函数0ykxn k的图像l与二次函数 2 0

    8、yaxbxc a的图像G的交点,由方程组 2 ykxn yaxbxc 的解的数目来确定: 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点; 方程组无解时l与G没有交点. 五、二次函数与三角形 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c, y轴 0x 时,y随x的增大而增大;0x 时,y随 x的增大而减小;0x 时,y有最小值c 0a 向下 0c, y轴 0x 时,y随x的增大而减小;0x 时,y随 x的增大而增大;0x 时,y有最大值c 在直角坐标系中,已知三角形三个顶点的坐标,如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行,可以 直接运用三角形面积

    9、公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行,则通常有以下方法: E D C B A F E D A B C D FED C B A h 45 D C B A 1.如图,过三角形的某个顶点作与x轴或y轴的平行线,将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴 平行的三角形,分别求出面积后相加 11 22 ABCACDADBCBACECEBAB SSSADyySSCExx 其中D,E两点坐标可以通过BC或AB的直线方程以及A或C点坐标得到 2.如图,首先计算三角形的外接矩形的面积,然后再减去矩形内其他各块面积 ABCDEBFDACAEBCBF SSSSS . 所涉及的各块面积都可以通过已知点之

    10、间的坐标差直接求得 3.如图,通过三个梯形的组合,可求出三角形的面积.该方法不常用 111 222 ABCADEBCFEBADFCABABBCBcCACA SSSSxxyyxxyyxxyy 4.如图,作三角形的高,运用三角形的面积公式求解四边形的面积该方法不常用,如果三角形的一 条边与0xy平行,则可以快速求解 1 2 ABC Sh BC 【例1】函数 2 2 13 a yaxaxa 当 a 取什么值时,它为二次函数 当 a 取什么值时,它为一次函数 【例2】已知二次函数 2 223ymxmxm的图象的开口向上,顶点在第三象限,且交于y轴的 负半轴,则m的取值范围是_ 【例3】设设 2 3yx

    11、axa , 当x取任意实数时,y恒为非负数,求a的取值范围; 当22x 时,y的值恒为非负数,求实数a的取值范围 例题精讲例题精讲 【例4】已知函数 2 222 ()(32)2 mm ymm xmmxmm ,当m是什么数时,函数是二次函数? 【例5】如下右图所示, 二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象经过点12 , 且与x轴交点的横坐标分别 为 1 x, 2 x,其中 1 21x , 2 01x,下列结论: 2 1 -1-2 y x O 420abc;20ab;1b ; 2 84baac其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C . 3个 D . 4个 【例6】已知二次函数 2 yaxb

    12、xc(其中a是正整数)的图象经过点1 4A ,和2 1B,且与x轴有两 个不同的交点,求bc的最大值 【例7】 2 yaxbxc的图象如图所示并设|2|2|Mabcabcabab,则( ) O y x 1 -1 A0M B0M C0M D不能确定M为正,为负或为0 【例8】已知二次函数 2 yaxbxc符合下列条件,求它的解析式: 图象经过三点(1,4) , (-1,-1) , (2,-1) ; 顶点是(2,1) ,并且经过点(3, 2 3 ) ; 顶点在y轴上,最大值是 4,并且经过点(1,3) ; 顶点在x轴上,对称轴1x ,并且经过点(2,2) ; 对称轴是2x ,并且经过点(0,-3)

    13、 (3,0) ; 与x轴的交点坐标为(1,0) , (2,0) ,且经过点(3,6) ; 图象经过点(-1,8) ,对称轴是直线20x ,并且在x轴截得的线段长为 6. 【例9】如图,点G、D、C在直线a上,点E、F、A、B在直线b上,若ab,Rt GEF从如图所 示 的 位置出发,沿直线b向右匀速运动,直到EG与BC重合运动过程中GEF与矩形ABCD重合部 分 的面积 S随时间 t变化的图象大致是 ( ) FE G AB CD A t s O B t s O C t s O D t s O 【例10】某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得 高

    14、于 45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数ykxb,且65x 时,55y ;75x 时,45y (1)求一次函数ykxb的表达式; (2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元 时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元? (3)场获得利润不低于 500 元,试确定销售单价x的范围 【例11】二次函数 2 1 14 44 m yxxm m 的图象与x轴相交于A,B两点. 求A,B两点的坐标(可用含字母m的代数式表示) 如果这个二次函数的图象与反比例函数 9 x y 的图象相交于点 C,且BAC的正弦值为 3 5 ,求 这个二次函

    15、数的解析式. y x OD C B A 【例12】已知二次函数 2 (1)1yxmxm (1)求证:不论m为任何实数,这个函数的图象与x轴总有交点, (2)m为何实数时,这两个交点间的距离最小?这个最小距离是多少? 【例13】已知二次函数 2 1 2 yxbxc的图象经过点( 36)A ,并且与x轴相交于点( 10)B ,和点C, 顶点 为P (1)求二次函数的解析式; (2)设D为线段OC上一点,满足DPCBAC ,求点D的坐标 B D C P O A y x 【例14】如图, 已知抛物线 2 yxpxq与x轴交于点A、B, 交y轴负半轴于C点, 点B在点A的右 侧, 90ACB, 112

    16、OAOBOC (1)求抛物线的解析式; (2)求ABC的外接圆的面积; (3) 在抛物线 2 yxpxq上是否存在点P,使得PAB的面积为2 2 如果有,这样的点有 几个;如果没有,请说明理由 y x O B C A 【例15】一开口向上抛物线与 x 轴交于 A(2m ,0) ,B(m2,0)两点,记抛物线顶点为C,且 AC BC (1)若 m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若 m 为小于 0 的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点,问是否存在实数 m,使得BCD 为等腰三角形?若存在,求 出 m 的值;若不存在,请说明

    17、理由 【例16】已知一元二次方程 2 10xpxq 的一根为2 (1)求q关于p的解析式; (2)求证:抛物线 2 yxpxq与x轴有两个交点; (3) 设抛物线 2 yxpxq的顶点为M, 且与x轴相交于 12 00A xB x, 、,两点, 求使AMB 面积最小时的抛物线的解析式 【例17】如图,已知二次函数 2 yaxbxc的图像经过三点 A1,0,B3,0,C0,3,它的顶点为 M, 又正比例函数ykx的图像于二次函数相交于两点 D、E,且 P 是线段 DE 的中点。 (1)该二次函数的解析式,并求函数顶点 M 的坐标; (2)知点 E2,3,且二次函数的函数值大于正比例函数时,试根据

    18、函数图像求出符合条件的自变 量x的取值范围; (3)02k时,求四边形 PCMB 的面积s的最小值。 【参考公式:已知点 11 D xy, 22 E xy,则线段 DE 的中点坐标为 1212 22 xxyy ,】 M P E D C BA O y x 1. 分别求出在下列条件下,函数 2 231yxx的最值: x取任意实数;当20x 时;当13x时;当12x 时 课后作业 2. 如图,在矩形矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动 至点A停止设点P运动的路程为x,ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图 2 所示,则 ABC的面积是 ( ) A10 B16 C18 D20 C D BA P 94 Ox y 3. 已知函数 2 22yxx在1txt 范围内的最小值为s,写出函数s关于t的函数解析式,并 求出s的取值范围 4. 如图,已知平面直角坐标系中三点(20)(02)(0)ABP x, , ,(0)x ,连结BP,过P点作PCPB 交过点A的直线a于点(2)Cy, (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x取最大整数时,求BC与的交点Q的坐标。 C P a Q O B A y x


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