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    著名机构初中数学培优讲义直线与圆的位置关系.第07讲(B级).教师版

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    著名机构初中数学培优讲义直线与圆的位置关系.第07讲(B级).教师版

    1、 内容 基本要求 略高要求 较高要求 直线与圆的位置 关系 了解直线与圆的位置关系;了解 切线的概念,理解切线与过切点 的半径之间关系;会过圆上一点 画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切 线;能利用直线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 切线长 了解切线长的概念 会根据切线长知识解决简单问题 1理解直线与圆的位置关系; 2能够证明切线及利用切线解决相关问题 模版一 直线与圆位置关系的确定 设O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表: 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 dr直线l与O相离 相切 l O d

    2、r 直线与圆有唯一公共点,直线叫做 圆的切线,唯一公共点叫做切点 dr直线l与O相切 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点,直线叫做 圆的割线 dr直线l与O相交 二、切线的性质及判定 例题精讲 中考要求 重难点 直线与圆的位置关系 1. 切线的性质 (1) 定理:圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 (2) 注意:这个定理共有三个条件,即一条直线满足:垂直于切线过切点过圆心 过圆心,过切点垂直于切线AB过圆心,AB过切点M,则ABl 过圆心,垂直于切线过切点AB过圆心,ABl,则AB过切点M 过切点,

    3、垂直于切线过圆心ABl,AB过切点M,则AB过圆心 M B O l A 2. 切线的判定 (1) 定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (2) 距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线; (3) 定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注意:定理的题设是“经过半径外端”,“垂直于半径”,两个条件缺一不可;定理的结论是“直 线是圆的切线”因此,证明一条直线是圆的切线有两个思路:连接半径,证直线与此半径垂 直;作垂直,证垂直在圆上 OOO AAAl l l 3. 切线长和切线长定理 (1) 切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长

    4、 (2) 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角 三、三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形 2. 多边形的内切圆: 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆, 这个多边形叫做圆的外切多边形 3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系 c b a cb a O F E D CB A C B A CB A 设a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边,面积为S,则内切圆半径为 s r p ,其中 1 2 pabc若90C,则 1 2 rabc

    5、 【例1】 如图,已知O是以数轴的原点O为圆心,半径为 1 的圆,45AOB,点P在数轴上运动, 若过点P且与OA平行的直线与O有公共点,设OPx,则x的取值范围是 A0x2 B2x2 C1x1 Dx2 P BO A 【难度】3 【解析】 考察根据直线与圆的交点状况判断圆与直线的位置关系 有公共点, 说明是相切或相交两种状态, 所以 P 运动到直线与圆相切的状态便可 但还要考虑 OP 是线段长度且非负, 而 p 在数轴上运动, 所以答案是 A 【答案】A 【例2】 Rt ABC中,90C,3cmAC ,4cmBC ,给出下列三个结论: 以点C为圆心,3 cm 长为半径的圆与AB相离;以点C为圆

    6、心,4cm 长为半径的圆与AB相切;以点C为圆心, 5cm 长为半径的圆与AB相交上述结论中正确的个数是( ) A0 个 Bl 个 C2 个 D3 个 【难度】3 星 【解析】考察根据圆心到直线距离结合半径判断直线与圆的位置关系,同时还用到了直角三角形利用面积 法求斜边上高,所以选 B 【答案】B 【巩固】在Rt ABC中,90C,12cmAC ,16cmBC ,以点C为圆心,r为半径的圆和AB有怎 样的位置关系?为什么? (1)9cmr ; (2)10cmr ; (3)9.6cmr D C B A 【难度】3 星 【解析】过C作CDAB于D, 则 11 22 ABC SAC BCAB CD

    7、12cmAC ,16cmBC ,90C, 22 20(cm)ABACBC, 11 12 1620 22 CD 9.6(cm)CD (1)当9cmr 时,CDr,AB与O相离; (2)当10cmr 时,CDr,AB与O相交; (3)当9.6cmr 时,CDr,AB与O相切 【答案】 (1)当9cmr 时,AB与O相离; (2)当10cmr 时,AB与O相交; (3)当9.6cmr 时, AB与O相切 【例3】 如下左图,在直角梯形ABCD中,ADBC,90C ,且ABADBC,AB是O的直径, 则直线CD与O的位置关系为( ) A相离 B相切 C相交 D无法确定 O BC DA 【难度】3 星

    8、【解析】过O作OMCD于M, 可知,OM为直角梯形ABCD的中位线, 1 () 2 OMADBC, ABADBC, 11 () 22 ABADBC, 1 2 OMAB, 直线CD与O的位置关系为相交,故选C 【答案】C 【巩固】 如图,BC是半圆O的直径, 点D是半圆上的一点, 过点D作O的切线AD,BADA,10BC , 4AD ,那么直线CE与以点O为圆心, 5 2 为半径的圆的位置关系是 O E D CB A 【难度】4 星 【解析】连结OD交CE于F F A BC D E O AD是切线,ODAD BADA,ODAB BC是直径,BECE,即90BEC ODCE,F是CE中点,四边形A

    9、DFE是矩形 228CECFAD 在Rt BCE中,90BEC, 22 6BEBCCE 1 3 2 OFBE, 以点O为圆心, 5 2 为半径的圆与直线CE相离 点评:看切线连半径是我们处理切线问题的“通法”,这一点需要反复强调,使学生牢记于心 【答案】相离 模版二 切线的性质及判定 作垂直证半径 【例4】 已知:O为BAC平分线上一点,ODAB于D, 以O为圆心 以OD为半径作圆O 求证:O 与AC相切 O D C B A 【难度】3 星 【解析】证明与切线有关的问题的辅助线一般有如下两种: E O D C B A 已知直线过圆上某点,那么连接该点与圆心,如第题; 如果不知直线与圆有无公共点

    10、,则过圆心作已知直线的垂线 【答案】如图所示,过O作OEAC,垂足为E O为BAC平分线上一点,ODAB于D OEOD, O与AC相切 【巩固】 如图,ABC为等腰三角形,ABAC,O是底边BC的中点,O与腰AB相切于点D, 求证AC 与O相切 O D CB A 【难度】3 星 【解析】略 【答案】解法一:连结OD,过O点作OEAC于E E A BC D O ABAC,BC , O是BC中点,OBOC O与AB相切于D,ODAB BODCOE, OEOD, OEAC, AC与O相切 解法二:连结ODOA、,过O点作OEAC于E ABAC,O是BC中点, AO平分BAC, O与AB相切于D,OD

    11、AB OEAC,ODOE, AC与O相切 连半径证垂直 证明直线是圆的切线是中考的一种常见问题,证明的基本方法有: (1)利用定义,证明直线与圆只有一个交点; (2)当所证直线与圆有一个公共点时,连接圆心和这个公共点,证明这条半径与所证直线垂直; (3)当所证直线与圆没有确定的公共点时,过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径。 总结: 连接圆心与切点是一条常用辅助线, 由此可构造出直角三角形, 在圆的证明与计算中有广泛的应用。 求值:圆的证明大题第二问通常是考到了求线段的长度,求值的基本方法有: (1)设出要求的线段,然后找出直角三角形,利用勾股定理列出方程求出线段的长 (2)找出相

    12、似三角形,利用边的比例求出线段的长,这种方法的应用在一二模和中考中用的非常多。必 须要熟练掌握。 (3)牵涉到了锐角三角函数时,需要利用相等的角转换,然后利用三角函数去求解。 (4)利用射影定理,或切线长定理求解 【例5】 (10 年海淀二模)已知:如图,点C在以AB为直径的O上,点D在AB的延长线上, BCDA . (1)求证:CD为O的切线; (2) 过点C作CEAB于E.若 4 2,cos 5 CED,求O的半径. O B D C A 【难度】3 星 【解析】 (1)证明:连接CO. AB是O 直径, 190OCB . AOCO, 1A 5 4 3 2 1 E O B D C A 5A

    13、, 590OCB . 即90OCD. OCCD. 又 OC是O 半径, CD为O的切线 (2) OCCD于C, 390D . CEAB于E, 3290 . 2D . cos2cosD . 在OCD中,90OCD, c o s2 CE CO , 4 c o s 5 D ,2CE , 24 5CO 5 2 CO O的半径为 5 2 【答案】见解析 【巩固】 (10 年朝阳二模)已知:如图, AB 是O 的直径, AB=AC,BC 交O 于点 D,延长 CA 交O 于 点 F,连接 DF,DECF 于点 E (1)求证:DE 是O 的切线; (2)若 AB=10, 4 cos 5 C,求 EF 的长

    14、 O F E D C BA 【难度】3 星 【解析】 (1)连接 OD, OBOD,B1 AB=AC, B=C1=C ODAC DECF 于点 E,CED90 1 O F E D C BA ODECED90 DE 是O 的切线 (2) 连接 AD,AB 是O 的直径, ADB90 cosC=cosB= 5 4 AB=10,BD=AB cosB=8 F=B =C DF=DC=8且 cosF=cosC= 5 4 在 RtDEF 中,EF=DF cosF= 5 32 【答案】见解析 【拓展】 (10 西城一模)如图,ABC内接于O,ABAC,点D在O上,ADAB于点A,AD与 BC交于点E,点F在D

    15、A的延长线上,AFAE (1)求证:BF是O的切线; (2)若4AD , 4 cos 5 ABF,求BC的长 E F C A D B O 【难度】3 星 【解析】 (1)如图,连结BD ADAB, DB是O的直径 1290D 又AEAF, BEBF,23 ABAC, 23DC 12390 即OBBF于B 直线BF是O的切线 32 1 G E O F B A C D (2)作AGBC于点G 23D 4 coscos3 5 D 在RtABD中,90DAB,4AD , 4 cos 5 D, 5 cos AD BD D , 22 3ABBDAD 在RtABG中,90AGB,3AB , 4 cos2 5

    16、 , 12 cos2 5 BGAB ABAC , 24 2 5 BCBG 【答案】见解析 【例6】 (10 年西城二模)如图,在ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的O 分别交 BC、AC 于点 D、E, 连结 EB 交 OD 于点 F (1)求证:ODBE; (2)若 DE= 2 5 ,AB= 2 5 ,求 AE 的长 F D E C B O A 【难度】3 星 【解析】 (1)连结 AD AB 是O 的直径,ADB=AEB=90 AB=AC, DC=DB 2 1 F D E C B O A OA=OB,ODACOFB=AEB=90 ODBE (2)设 AE=x,由(1)可得12, BD

    17、 = ED= 2 5 ODEB ,FE=FB OF= AE 2 1 = x 2 1 ,DF=ODOF= x 2 1 4 5 在 RtDFB 中, 22222 ) 2 1 4 5 () 2 5 (xDFDBBF 在 RtOFB 中, 22222 51 ( )() 42 BFOBOFx 22 ) 2 1 4 5 () 2 5 (x 22 ) 2 1 () 4 5 (x 解得 2 3 x,即 2 3 AE 【答案】见解析 【巩固】 (10 年密云一模)如图,等腰三角形ABC中,6ACBC,8AB 以BC为直径作O交AB 于点D,交AC于点G,DFAC,垂足为F,交CB的延长线于点E (1)求证:直线

    18、EF是O的切线; (2)求sinE的值 D F G COBE A 【难度】3 星 【解析】 (1)证明:如图,连结CD,则90BDC D F G COBE A CDAB ACBC, ABBD D是AB的中点 O是BC的中点, DOACEFAC于 F EFDO EF是O的切线 ( 2 ) 连结BG,BC是直径, 90BGCCFE BGEF sin FCCG E ECBC 设CGx,则6AGx 在RtBGA中, 222 BGBCCG 在RtBGC中, 222 BGABAG 2 222 686xx 解得 2 3 x 即 2 3 CG 在RtBGC中 2 1 3 sin 69 CG E BC 【答案】

    19、见解析 【例7】 (10 年昌平一模)已知:如图,点D是O的直径CA延长线上一点,点B 在O上,且 .OAABAD (1)求证:BD是O的切线; (2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交 于点F,且8BE , 5 tan 2 BFA,求 O的半径长. F E C O A B D 【难度】3 星 【解析】 (1)证明:连接OB. ,OAAB OAOB, OAABOB. ABO是等边三角形. 1 2 3 4 F E C O A B D 160BAO . ABAD,230D . 1290 . DBBO . 又点B在O上,DB是O的切线 . (2)解:CA是O的直径, 90ABC.在RtABF中,

    20、 5 tan 2 AB BFA BF , 设5 ,ABx则2BFx, 22 3AFABBFx . 2 3 BF AF . ,34CE , BFE AFC. 2 3 BEBF ACAF . 8BE ,12AC .6AO . 【答案】见解析 【巩固】 (10 年石景山一模)已知:如图,AB为O的直径,弦ACOD, BD切O于B,联结CD (1)判断CD是否为O的切线,若是请证明;若不是请说明理由 (2)若2AC ,6OD ,求O的半径 O D C A B 【难度】3 星 【解析】 (1)判断:CD是O的切线 证明:联结OC ACOD ABOD ,ACOCOD OAOC AACO BODCOD OB

    21、OC, OD为公共边BODCOD BOCD BD是O的切线,AB 为直径 90ABD 90OCD CD是O的切线 E O D C A B (2) 联结BC交OD于E CD和BD都是O的切线 CD=BD,CDOBDO BCOD,BECE,90OBDOBEODB OBOE ODOB 由BECE, OAOB得OE为ABC的中位线 即 1 1 2 OEAC 1 6 OB OB 得6OB (舍负) O的半径为6 【答案】见解析 【巩固】 (10 年顺义二模)如图,AB 是O 的直径,BD 交O 于点 C,AE 平分BAC,EFAB,垂 足为 F,DCAB (1)求证:AD 为O 的切线; (2)若 4

    22、sin 5 D ,6AD,求 CE 的长 O F E C D B A 【难度】3 星 【解析】 (1)证明:AB 是O 的直径, 90ACB 90CABB DCAB,90DB 90DABAD 为O 的切线 (2)解: 4 sin 5 D ,6AD, 在 RtACD中, 24 sin 5 ACADD, 18 5 CD 在 RtDAB中, sinD 4 5 AB DB 8AB,10DB AE 平分BAC, EFAB,90ACB, CEEF 设CEEFx, 则 18 10 5 BEx, 90EFBDAB,BB , BEFBDA EFBE DABD , 即 18 10 5 610 x x 12 5 x

    23、 即 CE 的长为12 5 【答案】见解析 【例8】 (09 年中考)已知:如图,在ABC 中,AB=AC,AE 是角平分线,BM 平分ABC 交 AE 于点 M,经过 B,M 两点的O 交 BC 于点 G,交 AB 于点 F,FB 恰为O 的直径. (1)求证:AE 与O 相切; (2)当 BC=4,cosC= 1 3 时,求O 的半径. O F B G E M C A 【难度】3 星 【解析】 (1)证明:连接OM ,则OMOB 12BM ,平分ABC 3 2 1 O F B G E M C A 13 ,23 OMBC AMOAEB 在ABC中,ABACAE,是角平分线 9090AEBCA

    24、EBAMOOMAE,, AE与O相切 (2)在ABC中, ABACAE,是角平分线 1 2 BEBCABCC , 1 4cos 3 BCC,在ABE中, 90AEB ,6 cos BE AB ABC (2)在ABC中,ABACAE,是角平分线 1 2 BEBCABCC , 1 4cos 3 BCC,在ABE中, 90AEB ,6 cos BE AB ABC 设O的半径为r,则6AOr OMBCAOMABE, , OMAO BEAB 6 26 rr 解得 3 2 r O的半径为 3 2 【答案】见解析 【巩固】已知:如图,在RtABC中,90C,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与 AC

    25、AB,分别交于点DE,且CBDA (1)判断直线BD与O的位置关系,并证明你的结论; (2)若:8:5AD AO ,2BC ,求BD的长 【难度】3 星 【解析】 (1)直线BD与O相切 如图 1,连结OD OAOD,AADO 90C, 90CBDCDB 又CBDA, 90ADOCDB 90ODB 直线BD与O相切 (2)解法一:如图 1,连结DE AE是O的直径, 90ADE :8:5AD AO, 4 cos 5 AD A AE 90C,CBDA, 4 cos 5 BC CBD BD 2BC , 5 2 BD 【答案】见解析 课堂检测 D C O A B E 图 1 D C O A B E

    26、1 已知60ABC,点O在ABC的平分线上,5cmOB ,以O为圆心 3cm 为半径作圆,则O 与BC的位置关系是_ 【难度】2 星 【解析】结合直角三角形 30 所对直角边是斜边一半求出 O 到直线 BC 的距离,从而根据圆半径判断直线 与圆的位置关系,答案是相交 【答案】相交 2 如图,以等腰ABC中的腰AB为直径作O,交BC于点D过点D作DEAC,垂足为E (1)求证:DE为O的切线; (2)若O的半径为 5,60BAC,求DE的长 O E D C B AA B C D E O 【难度】3 星 【解析】 (1)证明:连接AD,OD AB是直径,90ADB,即ADBC 又ABAC,CDBD

    27、,ODAC 又DEAC,ODDE DE是O的切线 (2)易知 33 105 3 22 ADAB 15 3 22 DEAD 【答案】见解析 1通过本堂课你学会了 2掌握的不太好的部分 3老师点评: 1 如图所示在Rt ABC中,90B,A的平分线交BC于D,E为AB上一点,DEDC, 以D 课后作业 总结复习 为圆心,以DB的长为半径画圆求证: (1)AC是D的切线; (2)ABEBAC E DC B A F E DC B A 【难度】3 星 【解析】略 【答案】 (1)如图所示,过点D作DFAC于F AB为D的切线,AD平分BAC, BDDF AC是D的切线; (2)在Rt BDE和RtDCF

    28、中, BDDF,DEDC, BDEFDC EBFC 又ABAF ABEBAC 2 已知:如图,C为O上一点,DA交O于B,连结ACBC、,且DCBCAB求证: (1) DC为O的切线; (2) 2 CDAD BD O D C B A E A B C D O 【难度】3 星 【解析】略 【答案】 (1)连结OC并延长交O于E,连结BE 可知CE是O的直径,90CBE,90EBCE CABEDCBCAB,DCBE , 90DCBBCE CE是直径,CD是O的切线 (2)DCBCABD,是公共角, BDCCDA, CDBD ADDC ,即 2 CDAD BD 【点评】不是所有证明切线的问题只要连半径就都能解决,例如此题,遇到圆周角的关系,只连半径就不 太好用了,就要变半径为直径“弦切角”已经从初中课本中删除,作为预习课我们这里也不作介 绍,如果学生水平较高,这里老师也可以稍微提一下


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