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    著名机构七年级数学暑假班讲义05-七年级基础版-幂的乘方与积的乘方-教师版

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    著名机构七年级数学暑假班讲义05-七年级基础版-幂的乘方与积的乘方-教师版

    1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 幂的乘方和积的乘方 幂的乘方和积的乘方 知识模块:知识模块:同底数幂的乘法同底数幂的乘法 1、同底数幂:同底数幂是指底数相同的底数相同的的幂(注:底数可以是具体的数、单项式、多项式) 2、读法: n a表示n个a的积,读作a的n次方,或a的n次幂,其中a表示底数底数,正整数n表示次数次数 计算结果叫做幂幂. 3、同底数的幂相乘法则:同底数的幂相乘,底数底数不变,指数指数相加。 mn aa m n a , mnp aaa m np a 【例 1】指出下列各幂的底数和指数: 3 4 (2 ) 4 3 ()a 3 5 ()a 【答案

    2、】在上列各式中我们若把 3 2看成一个整体,那么: 3 4 (2 )的底数是 3 2,指数是 4,它就是 2 的 3 次幂的 4 次方; 4 3 ()a的底数是 ,指数是 ,它就是 . 3 5 ()a的底数是 ,指数是 ,它就是 . 归纳总结:归纳总结: 3 4 (2 ); ; 4 3 ()a ; 3 5 ()a 称之为幂的乘方。称之为幂的乘方。 【例 2】请计算: 3 4 (2 ); 4 3 ()a ; 3 5 ()a 【答案】提醒学生可以根据乘方的意义和同底数的幂的乘法性质。得 (1) 3 4 (2 )= = 2 (2) 4 3 ()a= = a (3) 3 5 ()a= = a 让学生观

    3、察(1) 3 4 (2 )= 12 2; (2) 4 3 ()a= 12 a; (3) 3 5 ()a= 15 a三小题左右两边的变化规律 猜想:如果猜想:如果 m、n 都是正整数,那么都是正整数,那么 () m n a = = 知识模块知识模块:幂的乘方:幂的乘方 1.幂的乘方法则 (1)幂的乘方是指几个相同的幂相乘,如 2 3 ()a 是 3 个 2 a相乘,读作a的 2 次幂的三次方. (2)幂的乘方,底数不变,指数相乘.即() m nmn aa (mn、为正整数)幂的乘方是以幂为底数的乘 方运算. 2.幂的乘方法则与同底数幂的乘方法则的区别: 幂的乘方运算,是转化为指数的乘法运算(底数

    4、不变) ; 同底数幂的乘法,是转化为指数的加法运算(底数不变). 如 3 43 412 (2 )22 ,而 347 222 . 3.逆用此法则,即()() mnm nn m aaa,可帮助我们根据问题的需要将式子灵活变形. 【例 3】计算下列各题 (1) 7 2 (10 ); (2) 1 2 () m a ; (3) 3 4 () xy; (4) 21 ()n n cc . 【答案】 (1) 14 10(2) 22m a (3) 7 xy(4) 31n c 【例 4】已知: 3 5a ,求: (1) 2 3 ()a的值; (2) 9 a的值. 【答案】 (1)25(2)125 【例 5】计算下

    5、列各题 (1) 2352 3 ()()xxxx (2) 2 32534 () ()xxxxxx 【答案】 (1) 6 x; (2) 7 x 知识模块:积的乘方知识模块:积的乘方 1.积的乘方法则 (1)积的乘方是指底数是乘积的形式的乘方,如 2 ()ab, 3 ()xyz等. (2)积的乘方等于等于把积的每一个因数分别乘方,再把所得的幂相乘. 即为正整数)nbaab nn n ( .这个法则适用于三个或三个以上因式的积的乘方运算. 2.在运用积的乘方的性质进行计算时,易出现漏掉部分因式乘方的错误,如: 2 224 ( 3)3xyx y . 3.逆用此性质,即() nnn abab,在计算中若有

    6、指数相同的幂相乘,可先把底数相乘,再去求积的同 次幂.有时候,性质的逆向使用,会使一些数的计算简化.如: 200520052005 11 2( )(2)1 22 . 4.关于幂的三种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方)法则的异同归纳如下: 比较 共同点 不同点 幂的三种运算法则 运算中的底数不变,只对指数进行运算. 法则中的底数和指数具有普遍性,既可以是 数,也可以是式,指数均为正整数. 对于含有三个或三个以上的同底数幂相乘, 或幂(或积)的乘方等运算,法则仍然成立. 同底数幂相乘是指数相加. 幂的乘方是指数相乘. 积的乘方是每个因式分别乘 方. 【例 6】 计算 (1) 33 ( 3)m

    7、 n; (2) 32 4 ( 2)a b; (3) 24 3 ( 2)a b . 【答案】 (1) 93 27m n(2) 128 16a b(3) 612 8a b 【例 7】计算: (1) 2 43 34 44 232 3 3() ()() ()( 2) () ()aaaaaaa ; (2) 268 21.25. 【答案】 (1) 17 6a(2) 8 4 10 【例 8】以下各题的错解都是具有代表性的,仔细思考错在何处,并把错解改正过来. (1) 333 2aaa ( ) (2) 448 xxx ( ) (3) 55 ()xyxy ( ) (4) 3 412 ( 2)16aa( ) (5

    8、) 5515 101010 ( ) (6) 4416 x xxx ( ) 【答案】 (1)错, 6 a(2)错, 4 2x(3)错, 55 x y(4)错, 12 16a(5)错, 10 10(6)错, 17 x 【例 9】计算: (1) 1111 ( 0.25)4 (2) 20132014 ( 0.125)8 【答案】 (1) 11111111 ( 0.25)4( 0.25 4)( 1)1 ; (2) 20132014201320132013 ( 0.125)8( 0.125)88( 0.125 8)88 知识模块知识模块:混合运算:混合运算 整式的混合运算法则:对于整式的加(减) 、乘混合

    9、运算,需根据先乘除乘除再加减加减的运算顺序进行计算。 【例 10】计算 3 2 23 2 -. 3 3 x yxy 【分析】同时有积的乘方和幂的乘方的运算,先通过幂的乘方分配括号外面的乘法,之后再进行幂乘方 运算,最后再进行同底数的乘法运算即可得到正确答案 【答案】 811 8 3 x y 【例 11】.已知105,106 ab ,求(1) 23 1010 ab 的值; (2) 23 10 ab 的值 【分析】利用整体思想将 3 22233 10(10 )525,10106216 aabb 再带入题目中进行解答,考 虑整体带入的思想 【答案】 (1) 2323 (10 )(10 )56241

    10、ab (2) 232323 101010(10 ) (10 )5400 ababab 【例 12】阅读下列解题过程:试比较 100 2 与 75 3的大小 解: 1004 2525 2(2 )16 753 2525 3(3 )27 而1627, 所以 2525 1627 10075 23 请根据上述解答过程解答:比较 55 2 、 44 3、 33 4 的大小 【答案】 555 1111 444 1111 333 1111 111111 443355 2(2 )32 3(3 )91 4(4 )64 916432 342 【习题 1】下列等式成立的是( ) (A) 224 aaa (B) 248

    11、 aaa (C) 33 ()n n aa (D) 33 (2 )2aa 【答案】C 【习题 2】如果 x 和 y 互为倒数,那么 20142013 ()xy 的值为 ( ) Ax Bx Cy D y 【答案】B 【习题 3】计算: 612 45_(结果用幂的形式表示) 【答案】 12 10 【习题 4】计算: 3 22 3 ()()aa = 【答案】 12 a 【习题 5】计算: 33 () () nn aa 【答案】 6n a 【习题 6】 322 3927= (结果用幂的形式表示) 【答案】 12 3 【习题 7】若 35 ( 2)2x ,则 x= 【答案】4 【习题 8】 (1) 23

    12、10 101010; (2) 35 x xx ; (3) 23 11 1010 6 1 10 ; (填“”,或“=”,或“”号) (4)如果 342 1111 2222 n ,那么n ; 【答案】 (1)6(2) 9 x(3)(4)5 【习题 9】 3 52615m nm n xyx y ,则m ,n= . 【答案】1,-3 【习题 10】用简便方法计算: (1) 20062006 0.25 ; (2) 111112 733 1 982 . 【答案】 (1)1(2) 3 2 【习题 11】计算: (1) 23 aaa; (2) 35 2 xxx; (3) 3 baab; (4) 23 abba

    13、; (5) 45 22abba; (6) 43 mnnmmn; (7) 43 nmmnmn; (8) 234 ababbaab 【答案】 (1) 6 a(2) 10 x(3) 4 ab(4) 5 ba(5) 9 2ba(6) 8 mn(7) 8 mn (8) 55 abba 【习题 12】 计算: (1) 4 4 ( 2 10 ) ; (2) 4 22 442 232 2 (2)2 ()()() () ()xxxxxxx ; (3) 20062006 (0.2)( 5) ; (4) 111112 733 ( 1 )( )() 982 . 【答案】 (1) 17 1.6 10(2)0(3)1(4

    14、) 3 2 【习题 13】试比较 555 3, 444 4 , 333 5的大小. 【答案】 111 5555111 33243; 111 4444111 44256; 111 3333111 55125 444555333 435 【习题 14】计算: (1) 62 0.25( 32) (2) 2014201420132013 11 ( 8)( 7)()() 87 【答案】 (1) 621210102 1111 0.25( 32)( )( 2)( 2)( ) 2224 (2) 20132013 11 ( 8) ()( 7) ()( 8) ( 7)56 87 【习题 15】计算: (1) 23

    15、 22 42 52 2 2 ( ) ()() ()xxxx; (2) 231 232 ()()() () mnmn aaaaa . 【答案】 (1) 14 5x(2)0 【习题 16】已知2 m a,3 n a ,求 23mn a 的值. 【答案】108 【习题 17】 (1) 4 510 22 4 ()()3() xxx (2) 2 22 45 22 2 3()()()()xxxx 【答案】 (1) 8 3x(2) 1214 3xx 【习题 18】 (1). 2352 231 () 343 a bccab c (2). 22 2 2222 11 6 32 xy zxyzx y 【答案】 (1

    16、) 339 1 6 a b c (2) 9118 1 2 x y z 【习题 19】已知2ma,2nb,求(1)8m n , (2) 32 22 m nmn 的值 【答案】 (1) 33333 3 888(2 )(2 )(2 ) (2 ) m nmnmnmn a b (2) 32323232 22222222(2 ) (2 ) m nmnmnmnmnmn ab a b 【习题 20】试问 20052006 25的积有多少个 0?是几位数? 【分析】 20052006200520052005 252555 10 【答案】 20052006 25的积有 2005 个 0; 20052006 25的积是 2006 位数


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