1、教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 正反比例函数综合复习正反比例函数综合复习 待提升的知 识点/题型 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：知识点一：核心知识点-正反比例函数的图像与性质 正比例函数正比例函数 反比例函数反比例函数 定义定义 形如(0)ykx k的函数 形如(0) k yk x 的函数 图像图像 经过原点的一条直线 双曲线 经经 过过
2、象象 限限 k0 经过第 一 、第 三 象限 k0 y 随 x 的增大而 增大 在每一象限内，y 随 x 的增大而 减小 k0 y 随 x 的增大而 减小 在每一象限内，y 随 x 的增大而 增大 （尚孔教研（尚孔教研院彭高钢院彭高钢知识点二：知识点二：其他相关概念 1.如果变量 y 是自变量 x 的函数，对于 x 在定义域内取定的一个值 a ,变量 y 的对应值叫做当 x=a 时的函数值。 （为了深入研究函数，我们把“y 是 x 的函数”用记号 y=f(x)表示，这里括号里的 x 表示 自变量，括号外的字母 f 表示 y 随 x 变化而变化的规律。f(a)表示当 x=a 时的函数值） 2.函
3、数的定义域与函数值 （1）函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域 自变量的取值范围：使含自变量的代数式有意义，使函数在实际情况下有意义 函数自变量的范围一般从三个方面考虑： 表达式是整式，自变量可取全体实数； 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数 （2）函数值：如果变量 y 是变量 x 的函数，那么对于 x 在定义域内取定的一个值 a，变量 y 的对 应值叫做当 x=a 时的函数值 3.函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点三：知识点三：函数和方程的区别和联系 1、函数研究的是某变化
4、过程中的两个变量之间的关系；方程研究的是解的情况 2、y=f(x)形式的函数解析式是方程；但是方程不一定是函数解析式；f(x)形式的函数是代数式形式 表示的函数，但不是方程。例如：x-2 是 x 的函数，x-2 是代数式；x=2 是方程，但不是函数解析式 3、函数解析式和方程 都是由代数式组成的，没有代数式就没有函数解析式和方程 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、基础概念应用一、基础概念应用 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 1.在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做 保持数值不变的量叫 做_。表达两个变量之间依
5、赖关系的数学式子称为_. 2.写出下列函数的定义域： （1）1yx （2） 2 1 y x （3）3yx (4) 5 4 y x 3.已知： 2 ( )1f xx ，(0)f_,( 1)f _,(2)f_. 4.解析式形如(0)ykx k的函数叫做_. 5.函数3yx的图像是经过（1，3）和_的一条_.当自变量x的值从小到大 逐渐变化时，函数值y相应地从_到_逐渐变化. 6.反比例函数的解析式是_，反比例函数的图像叫_. 7.已知：反比例函数 8 y x ，点 A（-2，-4）_它的图像上（填“在”或“不在”）. 8.反比例函数 2 y x 的图像的两支在第_象限。 在其各自的象限内，y随x的
6、增大而_. 9.函数有三种表示法，分别为_,_,_. 10已知函数12)(xxf，则) 1 (f_ 11在公式 C=2r 中，C 与 r 成 比例.（填“正”或“反”） 12函数1xy的定义域为_ 13如果 1 3 )( x x xf，那么)3(f_ 14已知点 P（2，1）在正比例函数kxy 的图象上，则k_ 15函数 y=2 x 的图象是一条过原点及（2，a）的直线，则 a= 16若正比例函数 15 2 ) 3( m xmy的图像经过二、四象限，则 m 的值为 17已知反比例函数 2k y x ，其图象在第一、第三象限内，则 k 的取值范围是 18已知函数 x k y 的图象不经过第一、三
7、象限， 则kxy 的图象经过第 象限 19.若正比例函数 135 2 ) 1( mm xmy的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式 是 。xy3 20.已知点 P（1，a）在反比例函数 x k y （k0） 的图像上， 其中32 2 mma（m为实数） ， 则这个函数的图像在第 象限。一、三 二、待定系数法求函数解析式二、待定系数法求函数解析式 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 1若正比例函数经过（2，6） ，则函数解析式是 2若反比例函数经过（2，1） ，则函数解析式是 3y 与 3x 成正比例，当 x=8 时，y=12，则 y 与 x 的函数解析式为_ 4
8、如果一个等腰三角形的周长为 12，那么它的腰长 y 与底边 x 的函数关系式是 ，自 变量 x 的取值范围为 5已知反比例函数图像上有一点 A，过点 A 做 x 轴的垂线，垂足为 B， AOB 的面积为 6，则这 个反比例函数的解析式为 6已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点 A（3，4）和（3，a）两点， （1）求这两个函数 解析式； （2）求 a 的值 7、已知 21 yyy， 1 y与 2 x成正比例， 2 y与1x成反比例，当x1 时，y3； 当x2 时，y3， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当2x时，求y的值。 8已知y与x1 成正比例，且当x=3 时，y=4， （1）
9、求 y 与 x 的函数关系式； （2）当 x=1时，求y的值 N M Q 0x y 4 6 (a,-3) Q 0 y x P l 9、如图，直线l交x轴、y轴于点 A、B，与反比例函数的图像交于 C、D 两点，如果 A（2，0） ， 点 C、D 分别在一、三象限，且 OAOBACBD，求反比例函数的解析式。 三、数形结合，综合运用三、数形结合，综合运用 （一）典例分析，学一学（一）典例分析，学一学 1.看图填空： P 的坐标是_ 直线l的解析式是 若点 Q( , 3)a 在直线l上，则a 2.已知：反比例函数图像上一点 M（-1，3） 求出这个函数的解析式 求直线 MO 的解析式 作 MNx轴
10、于 N，求 MON S 求图中 Q 的坐标 第 1 题图 x y D C B AO 3如图，在 AOB 中，AB=OB，点 B 在双曲线上，点 A 的坐标为（2，0） ， ABO S=4，求点 B 所 在双曲线的函数解析式. 4已知 21 yyy， 1 y与x成正比例， 2 y与3x成反比例，当 x=4 时，y 的值为 3；当 x=1 时，y 的值为 2 5 ，求当 x=9 时，y 的值 5在同一直角坐标平面内，已知正比例函数 y= 2x 和反比例函数 x y 6 的图像交于 P、Q 两点 （点 P 在点 Q 的右边） ，点 A 在 x 轴的负半轴上，且与原点的距离为 4 （1）求 P、Q 两
11、点的坐标； （2）求 APQ 的面积 C y X 0DB A 6在同一平面内,如果函数xky 1 与 x k y 2 的图象没有交点,那么 1 k和 2 k的关系是( ) (A) 1 k0, 2 k0 (B) 1 k0, 2 k0 (C) 1 k 2 k0 (D) 1 k 2 k0 7下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（ ） （A）y=2x （B）y= x 1 （C）y= x 1 （D）y= x 2 （x0） 8如果点 A（ 1 x， 1 y） 、B（ 2 x， 2 y）在反比例函数y= x k （k0）的图象上，如果 1 x 2 x0， 则 1 y与 2 y的大小关系是( ) （A） 1
12、 y 2 y （B） 1 y 2 y （C） 1 y= 2 y （D）不能确定 9甲、乙两地相距 100 千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度 v（千米/小时）与时间 t（时） 之间的函数关系用图象表示大致为（ ） (A) (B) (C) (D) 10.已知双曲线上两点 A （2， 4） ， C （4， 2） ， 且 ABOB，CDOD， 求（1）双曲线的函数解析式； （2）OAB 的面积； （3）OAC 的面积。 11.如图，直线bxy（b0）与双曲线 x k y （k0）在第一象限的一支相交于 A、B两点， 与坐标轴交于 C、D 两点，P 是双曲线上一点，且PDPO 。 （1）试用k、
13、b表示 C、P 两点的坐标； （2）若POD 的面积等于 1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若OAB 的面积等于34，试求COA 与BOD 的面积之和。 解析： （1）C（0，b） ，D（b，0）POPD 22 bOD xP， b k yP 2 P（ 2 b ， b k2 ） t v o t v o t v o t v o （2）1 POD S，有1 2 2 1 b k b，化简得：k1 x y 1 （x0） （3）设 A（ 1 x， 1 y） ，B（ 2 x， 2 y） ，由 AOBCODBODCOA SSSS 得： 34 2 1 2 1 2 1 2 21 bbybx，又b
14、xy 22 得38)( 2 21 bbxbbx，即 38)( 12 xxb得1924)( 21 2 21 2 xxxxb，再由 x y bxy 1 得01 2 bxx，从而 bxx 21 ，1 21 xx，从而推出0)12)(4)(4( 2 bbb，所以4b。 故348 BODCOA SS评注：利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法。求两函 数图像的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组。 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）课堂测评课堂测评（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、选择题： 1、下列命题中，正确的个数有（ ）个 函数xy3（2x5）的图像是一条直线； 若y与
15、z3成反比例，z与x成正比例，则y与x成反比例； 如果一条双曲线经过点（a，b） ，那么它一定同时经过点（b，a） ； 点 P1（ 1 x， 1 y）和 P2（ 2 x， 2 y） ，是 x y 4 同一分支上的两点，当 1 x 2 x时， 1 y 2 y。 A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知 M 是反比例函数 x k y （k0）图像上一点，MAx轴于 A，若4 AOM S，则这个反 比例函数的解析式是（ ） A、 x y 8 B、 x y 8 C、 x y 8 或 x y 8 D、 x y 4 或 x y 4 3、在同一坐标系中函数kxy 和 x k y 1 的大致图像必是（ ） x
16、 y x y x y x y A B C D 4、在反比例函数 x m y 2 1 的图像上有三点（ 1 x， 1 y） ， （ 2 x， 2 y） ， （ 3 x， 3 y）若 1 x 2 x 0 3 x，则下列各式正确的是（ ） A、 3 y 1 y 2 y B、 3 y 2 y 1 y C、 1 y 2 y 3 y D、 1 y 3 y 2 y 5、在同一坐标系内，两个反比例函数 x k y 1 的图像与反比例函数 x k y 3 的图像（k 为常 数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（ ） A、3 B、2 C、1 D、0 二、填空题： 1、 若反比例函数 7
17、2 2 )5( mm xmy在每一个象限内，y随x的增大而增大， 则m 。 2、 A、 B两点关于y轴对称， A在双曲线 x y 1 上， 点B在直线xy上， 则A点坐标是 。 3、已知双曲线 x k y 上有一点 A（m，n） ，且m、n是方程024 2 tt的两根，则k ，点 A 到原点的距离是 。 4、已知直线xnmy)2(与双曲线 x mn y 3 相交于点（ 2 1 ，2） ，那么它们 的另一个交点为 。 5、如图，RtAOB 的顶点 A 是一次函数3mxy的图像与反比例函数 x m y 的图像在第二象限的交点，且1 ABO S，则 A 点坐标是 。 三、解答题： 1、如图，直线l交
18、x轴、y轴于点 A、B，与反比例函数的图像交于 C、D 两点，如果 A（2，0） ， 点 C、D 分别在一、三象限，且 OAOBACBD，求反比例函数的解析式。 第 1 题图 x y D C B AO 2、已知 21 yyy， 1 y与 2 x成正比例， 2 y与1x成反比例，当x1 时，y3；当x2 时，y3， （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当2x时，求y的值。 选择第 5 题图 x y BO A 第 3 题图 x y N M B A O 3、如图，反比例函数 x y 8 与一次函数2xy的图像交于 A、B 两点。 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求AOB 的面积. 4、如图
19、，已知双曲线 x y 16 3 （x0）与经过点 A（1，0） ，B（0，1）的直线交于 P、Q 两点， 连结 OP、OQ。 （1）求证：OAQOBP； （2）若 C 是 OA 上不与 O、A 重合的任意一点，CAa) 10( a，CDAB 于 D，DEOB 于 E。a为何值时，CEAC？线段 OA上是否存在点 C，使 CEAB？若存在这样的点，则请写 出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案一、选择题：CCCAC 二、填空题： 1、2；2、 （1，1）或（1，1） ；3、2k，52；4、 （ 2 1 ，2）5、 （1，2） 三、解答题： 1、 x y 222 ；2、 （1） 1 5
20、 2 1 2 x xy； （2）2 2 9 5； 3、 （1）A（2，4） ，B（4，2） ； （2）6；4、 （1）略； （2）324a；存在，C（ 3 1 ，0） 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、总结正比例函数和反比例函数的性质和图像特征； 二、总结常考题型的常用解题方法和技巧； 三、总结易错点的套路以及解决方式。 课后巩固课后巩固（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1.如图，正比例函数kxy （k0）与反比例函数 x y 3 的图像交于 A、C 两点，ABx轴于 B， CDx轴于 D，则 ABCD S四边形 。6 2.如图，已知直角坐标系内有一条直线和
21、一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点 A 和点 B， 且 OAOB1。这条曲线是函数 x y 2 1 的图像在第一象限的一个分支，点 P 是这条曲线上任意 一点，它的坐标是（a、b） ，由点 P 向x轴、y轴所作的垂线 PM、PN，垂足是 M、N，直线 AB 分别交 PM、PN 于点 E、F。 （1）分别求出点 E、F 的坐标（用a的代数式表示点 E 的坐标，用b的代数式表示点 F 的坐 标，只须写出结果，不要求写出计算过程） ； （2）求OEF 的面积（结果用含a、b的代数式表示） ； （3）AOF 与BOE 是否一定相似，请予以证明。如果不一定相似或一定不相似，简要说 明理由。 （4）
22、当点 P 在曲线 x y 2 1 上移动时，OEF 随之变动，指出在OEF 的三个内角中，大小 始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论。 解析： （1）点 E（a，a1） ，点 F（b1，b） （2） EPFFNOEMOMONPEOF SSSSS 矩形 2 ) 1( 2 1 )1 ( 2 1 )1 ( 2 1 babbaaab ) 1( 2 1 ba （3）AOF 与BOE 一定相似，下面给出证明 OAOB1，FAOEBO BEaaa2)11 ( 22 ， AFbbb2)11 ( 22 点 P（a，b）是曲线 x y 2 1 上一点 12ab，即 AFBEOBOA1， BE OA OB AF AOFBOE （4） 当点 P 在曲线 x y 2 1 上移动时， OEF 中EOF 一定等于 450， 由 （3） 知， AFOBOE， 于是由AFOBBOF 及BOEBOFEOF EOFB450 评注：此题第（3） （4）问均为探索性问题， （4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后， （4） 的解决就不难了。在证明三角形相似时，EBOOAF 是较明显的，关键是证明两夹边对应成 比例，这里用到了点 P（a，b）在双曲线 x y 2 1 上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因 素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。
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