1、 教师姓名 学生姓名 年 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢级 初二 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢科 数学 课题名称 二次根式的运算强化提高 待提升的知 识点/题型 1、掌握二次根式的加减运算 2、掌握二次根式的乘除运算 3、掌握二次根式混合运算的顺序和步骤 知识梳理知识梳理 知识点一：知识点一：二次根式的加法和减法二次根式的加法和减法 想一想：想一想：怎样计算 23 2 8502 2 a aaaa a ？ 答案： 2 1 (25) 22 2 aaaa 1、二次根式的加法和减法 合并同类项：整式的加减 合并同类二次根式：二次根式的加减
2、 2、二次根式相加减的一般过程： （1）_ （2）_ 总结：总结：答案：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并. 知识点二：知识点二：二次根式的二次根式的乘乘法和法和除除法法 二次根式的乘法和除法二次根式的乘法和除法 问题问题 1 将一个正方形分割成面积分别为s（平方单位）和2s（平方单位）的两个小正方形和两 个长方形，求每个长方形的面积。来源:学科网 ZXXK来源:学。科。网 答案：2s 问题问题 2 探索：如果圆的面积与正方形的面积相等，那么圆的周长与正方形的周长之比的比值是多 少？ 答案： 2 1、二次根式乘法法则：_ 2、二次根式除法法则：_ 两个二次根式相乘，被开
3、方数相乘，根指数不变 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变 注意：注意：abab， aa bb ，_。 二次根式相乘除相乘除的结果的结果必须化为最简二次根式最简二次根式。 分母有理化：分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的方法，一般是把分子和分母都 乘以一个适当的代数式，使分母不含根号。通用技巧：加减连接（根号）用平方差，根号盖帽（加 减）用完全平方。 知识精析知识精析 一、一、二次根式的加法和减法二次根式的加法和减法 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 计算 （1） 48 3 75 2 ； （2） 11 ( 0.52)(75) 38 ； 答
4、案：17 3； 113 23 43 例例 1-2（1） 23 916 34 mm； （2） 8 50()pq pq ； 答案： 2 5;(5) 2()mpq pq 例例 1-3（1） 55 24 49 xx （2）2181798x 答案： 5 5 12 x ； 17 10 2 2 x （二）限时巩固，练一练（二）限时巩固，练一练 1、计算： （1）6 30.1248 （2） 2 822 29 x xx x 来源:Zxxk.Com （3） x x x xx 50 2 232 2 1 23 （4） 32 134 273108 333 a aaaa a （5） 332 44()(0)ababaa b
5、 a （6） 22 3 46(75) 49 yy xx 2、计算： （1）已知23x ，23y ，求 22 xxyy的值。 来源:学|科|网 Z|X|X|K （2）已知12x ，求 2 1 1 x x x 的值。 答案： 115 3;2 ; 22 ; 7 3 ;(2);4| (75 ) 53 xxxababyxx；15； 2 2 二、二、二次根式的二次根式的乘乘法和法和除除法法 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 计算 （1）1232； （2）4abb； （3） 2 2abcabc； 答案：8 6;2;2b aabc c 例例 2-2 计算 （1）23ab； （2） 2
6、3 610uu v； （3） 22 (0)aba cb c ab； （4）aab； （5） 22 22 (0)abab ab； 答案： ()615 ; 35() c ababuv buvc ab ； 2 ; 2 a ab ab ab 例例 2-3 在面积为a3的正方形ABCD中，截得直角三角形ABE的面积为a22，求BE的长。 答案： 6 3 a BE 例例 2-4 解方程和不等式来源:Zxxk.Com （1）3 56 35xx； （2）32 62 2x ； （3）62 20x； 答案： 3 153 24 32 3 ; 5123 xxx 例例 2-5 计算： 22 ababa b，并当3ab时
7、它的值。 答案： 3 3 ab ab E D C B A （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 1、计算： （1）0.10.07； （2） 104 13 4 ； （3） 54 35 27 ； （4） 2 54(0) 5 y xyx x ； （5） 22 sts t； （6） 612 xyxy ； （7） 332 44()(0)ababaa b a （8） )57( 9 64 2 22 xx y x y 答案： 22 2()702 353 ;2;30 ; 1002452() xyyst y sxy ； 4| (2);(7)2| 5 y babxyx x 2、设x、y为实数， 1 1 44
8、1 2 yxx ，求22 xyxy yxyx 的值。 答案： 11 , 42 xy，原式=2 3、计算： 1111 (2 51)() 12233499100 答案：18 59 4、化简： 2aabbaba abaabbabbab 答案： 211 22 222 1 aabbbab ababbaa aabba bab ababa aabbbab abab ab ab 三、综合提升类型三、综合提升类型 （一）典例分析，学一学（一）典例分析，学一学 例例 3-1（1）有这样一个问题： 2与下列哪些数相乘，结果是有理数？ A. 3 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 2 E. 0 问题的答案是（只
9、需填字母） ：_。 （2）如果一个数与 2相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么？（用代数式表示） 。 分析：这五个选项中，3 2、 3 2、0 与 2相乘的结果是有理数，这些数的特征有两种描述方法：一、 这些数都是 2的倍数（倍数是有理数） ；二、这些数都可以化成 a 2（其中 a 是有理数）的形式。 答案： （1）A、D、E； （2）2a（a 为有理数） 。 例例 3-2 计算下列式子： （1） （3 2 48） （ 184 3） ； （2） （5 6） （5 22 3） ； （3） （x2 xyy） （ x y） ； （4） )23)(36( 23346 分析： （1） 将 3 2
10、， 4 3根号外的因式移到根号内， 然后运用平方差公式计算比较简便， 或先把 48、 18化简，然后运用平方差公式计算； （2）2（ 2）2，5 22 3中有公因式 2。提出公因式 2后，可用平方差公式计算； （3） x、 y都有意义，x0，y0，x（ x）2，y（ y）2， x2 xyy（ x）22 xy（ y）2（ x y）2。 （4）将分子拆成( 63)3( 32)，分式可拆成 633( 32) ( 63)( 32)( 63)( 32) ，最后约分、分母有理化化简计算。 答案： （1）原式（ 32 2 48） （ 18 42 3） （ 18 48） （ 18 48） （ 18）2（ 48
11、）2 184830； （2）原式（5 6）5 2（ 2）2 3 （5 6） 2（5 6） 2（5 6） （5 6） 2（256）19 2； （3）原式（ x） 22 xy（ y）2 x y x y。 （4）原式 633( 32) ( 63)( 32) 633( 32) ( 63)( 32)( 63)( 32) 13 3263 326362 备注：备注：二次根式的运算主要的技巧有下列几种方法： （1）巧移因式，避繁就简； （2）巧提公因数， 化难为易； （3）巧配方； （4）分式拆分。 例例 3-3 当 x12时，求 2222 axxax x 222 22 2 axxx axx 22 1 ax
12、的值 分析：注意：x2a2 222 )(ax ， x2a2x 22 ax 22 ax （ 22 ax x） ，x2x 22 ax x（ 22 ax x） 解：原式 )( 2222 xaxax x )( 2 22 22 xaxx axx 22 1 ax 2222 2222 () () xaxax xaxax 22 22 () () xxax xxax 22 1 ax ) 11 ( 2222 axxax ) 11 ( 22 x xax 22 1 ax x 1 当 x12时，原式 1 12 12 例例 3-4 已知 x 23 23 ，y 23 23 ，求 32234 23 2yxyxyx xyx 的
13、值 分析：先将 x、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“xy”、“xy”、“xy”从而使求值的过程 更简捷 解： x 23 23 2 )23(526， y 23 23 2 )23(526 xy10，xy46，xy52(26)21 32234 23 2yxyxyx xyx 22 )( )( yxyx yxyxx )(yxxy yx 101 64 6 5 2 例例 3-5 比较下列各组数的大小： 3352与； 63132与； 1 2 15 与 ； 106115与； 13141213与 分析：1和2用平方法比较，要注意符号；3用作差法；4用平方法；5用倒数法比较，提问：什么 时候用平方法，什么时
14、候用倒数法，什么时候用作差法呢？ 技巧：当出现单独的一项，或出现两项且两项的的被开方数之和相同时用平方法； 当出现两项且两项被开方数之和不同时用倒数法； 当比较的两个数作差可以消除一些项时用作差法。 答案：12 53 322 133 6 3 51 1 2 45116105 13121413 备注：比较二次根式大小常用方法的有：平方法、作差法、倒数法。 （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 1.yx 的有理化因式的一般形式是 答案：()axy（a 是一切有理数） 2.计算： （1）(752)2000(752)2001 （2） （235） （235） （3） 32 57 3557 答案：
15、（1）752（2）6215（3） 73 2 3.已知32, 32yx，化简并求值 x yx yxyx yxyx1 ) 12 ( 答案： 1 ) 1 ( 1 ) 12 ( yx x yx yx x yx yxyx yxyx 1 1)( yx x yx yxyx yx yxx yx x yx x yx yx )( 1 1 yx xyx 将32, 32yx代上式 原式= 23(23)(23)23131 2(23)(23)2 3 4.已知 x1 2 （ 7 5） ，y 1 2 （ 7 5） ，求 x 2xyy2的值。 答案：11 2 5.比较下列各组数的大小（填大于、小于或等于号） ： （1）7 66
16、 7； （2） 13 717 3； （3） 1 3 7 1 7 5； （4）3 662； （5） 3 215 14。 答案： （1）（2）（3）（4） （5） 课堂测评课堂测评 1.已知 a、b、c 为正数，d 为负数，化简 22 22 dcab dcab _ 2.比较大小： 72 1 _ 34 1 3.计算： （1）)2332)(3223( （2） 22 )77()77( （3） 36 36 )6322()6322( 22 4.已知： 78 78 x， 78 78 y，求： yx xyyx 2 的值。 5.已知 32 1 a，求 aa aa a aa 2 22 12 1 21 的值； 6.化
17、简： （a ba abb ） （ bab a aab b ab ba ） （ab） 7比较下列各组数的大小： （1）19961995与19971996 （2） 60081 1997 32 与 60081 1997 32 答案：1.abcd ；2. ；3.（1） 6 （2）28 7（3）547382 2；4.4 2； 5.2 3 1 6.解：原式 ba abbaba )( )()()( babaab babababbbaaa ba ba )( 2222 babaab bababbabaa ba ba )( )( baab babaab ba 7.（1）1996199519971996（2） 60
18、08160081 19971997 3232 回顾总结回顾总结 1. 熟练熟练掌握掌握二次根式的性质和运算；二次根式的性质和运算；并会二次根式混合运算及技巧运算；并会二次根式混合运算及技巧运算； 2. 掌握二次根式在代数式化简求值中的应用；掌握二次根式在代数式化简求值中的应用； 3. 会比较二次根式的大小。会比较二次根式的大小。 课后巩固课后巩固 二次根式的加减二次根式的加减 基础巩固题基础巩固题 一、判断题一、判断题 1、ab 2 )2(2ab.（ ） 2、32 的倒数是32.（ ） 3、 2 ) 1( x 2 )1(x.（ ） 4、ab、 3 1 ba3、 b a x 2 是同类二次根式.
19、（ ） 5、x8， 3 1 ， 2 9x都不是最简二次根式.（ ） 二、填空二、填空题题 6、当 x_时，式子 3 1 x 有意义。 7、当14x时，化简 2 421_xxx 。 8、已知a、b、c为正数，0d ，化简 22 22 _ abc d abc d 。 9、若130xy ，则 22 (1)(3)_xy。 10、x、y分别是811的整数部分和小数部分，则 2 2_xyy。 三、选择题三、选择题 11、已知 32 33xxx x，则（ ） A、0x B、3x C、3x D、30x 12、若0xy，则 2222 22xxyyxxyy（ ） A、2x B、2y C、2x D、2y 13、若0
20、1x， 22 11 ()4()4xx xx （ ） A、 2 x B、2x C、 2 x D、2x 14、化简 3 (0) a a a ，得（ ） A、a B、a C、a D、a 答案：；9;3;40;5abcd；DCBB 能力提升题能力提升题 1、已知03x，化简 22 69xxx。 答案：3 2、已知： 1 23 a ， 1 23 b ，求 22 22 ab ab 的值。 答案：3来源:学科网 3、计算： 1111 .20051 21324320052004 答案：2004 4、先化简，再求值： 333 3 23272 64 b aaba babab，其中 1 ,3 9 ab。 答案： 2
21、 1 (3) 3 22 ab abab 5、已知m是2的小数部分，求 2 2 1 2m m 的值。 答案：2 1m，原式=2 6、当23x 时，求 2 (74 3)(23)3xx的值。 答案：23 7、已知 200620070 2 25522522a ，求 2 4aa的值。 答案：52a ，原式=1 8、已知yx,是实数，且 3 299 22 x xx y，求yx65 的值。 答案：3x ， 1 3 y ，原式=13 9、若42 yx与212 yx互为相反数，求代数式 323 4 1 yyxx的值。 答案：240,210xyxy ，解得3,2xy，原式=47 10、若abS、 、满足357,2
22、3abSab，求S的最大值和最小值。 答案： 21 5143 , 1919 SS ab ，由0,0ab得 2114 53 S 二次根式的乘除二次根式的乘除 1、已知：最简二次根式4ab与23 a b 的被开方数相同，则_ab 2、已知2009xy，且0xy，则满足上式的整数对, x y有_ 3、计算： 22 (1)816xxx 31 15206 53 3 )2733( 3 a aa 3 540,0aba bab 36 0,0a bab ab 212 121 335 4、已知： 1 110a a ，求 2 2 1 a a 的值。 答案：8;(41,1476),(164,1025),(369,656)； 3 或25x或3；9 2；3 27a； 2 20a b； 2 abb；1； 92 10
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