1、M N D A C B 教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 平行四边形的判定 知识模块：知识模块：平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理 1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 4、对角线互相平分的四边形是平行四边形 【例 1】如图所示：在ABCD 中，BAD 和BCD 的平分线分别与 BD 交于点 N、M，连结 AM、CN 平行四边形的判定 H E F A B C D G D A B C 求证:四边形 ANCM 是平行四边形. 【答案】法 1：易证BANDCM. 根据一组
2、对边平行且相等的四边形是平行四边形可证. 法 2：联结 AC 与 BD 交于点 O， 根据角平分线互相平分的四边形是平行四边形可证. 【例 2】如图所示：点 D、E、F 分别是ABC 三边上的点，DF/AE,且 DF=AE，延长 ED 到点 G,使 DG=ED.联结 AG，与 DF 相交于点 H.求证：AG、DF 互相平分. 【答案】通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 易证 AFGD 为平行四边形，根据平行线的性质得出 AG、DF 互相平分 【例 3】如图所示：AD 是ABC 的边 BC 上的中线，ABAC.求证：2ABACADABAC 【答案】延长 AD 至点 E，使 ED=AD.联
3、结 BE、EC. 根据三角形边的关系可证. 【例 4】如图所示，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，AEBD 于 E， BFAC 于 F，CGBD 于 G，DHAC 于 H求证：四边形 EFGH 是平行四边形 P D A C B Q 【答案】 平行四边形 ABCD， AD=BC，OA=OC，OB=OD，DAC=BCA DHAC，BFAC， ADHCBF AH=CF，OH=OF，同理可证 OE=OG 四边形 EHGF 是平行四边形 【例 5】如图所示：四边形 ABCD 为平行四边形，以 AC 为边在两侧各作一个等边三角形 ACP 与等边三 角形 ACQ.求证：BPD=DQB
4、 【答案】联结 BD、PQ. 易证四边形 AQCP 为平行四边形. 根据对角新互相平分的四边形为平行四边形 可证四边形 BQDP 为平行四边形 再根据平行四边形的性质可知对角相等即可. 【例 6】如图，已知四边形 ABCD 中， 点 E，F，G，H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点， 并且点 E、F、G、H 有在同一条直线上 求证：EF 和 GH 互相平分 【答案】连接 EG、GF、FH、HE，点 E、F、G、H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点 在ABC 中，EG= BC；在DBC 中，HF= BC， EG=HF 同理 EH=GF 四边形 EGFH 为平行四边形 EF 与 GH
5、互相平分 知识模块：知识模块：平行四边形的存在性问题平行四边形的存在性问题 【例 7】平面直角坐标系中有三点 A（2，1），B（3，1），C（4，3），求平面内第四点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形 【答案】（1，-1）或（3，3）或（5，3） 【例 8】已知平面内有两点 A（1，0）、B（3，0），P 点在 y 轴上，M 点在直线1yx 上，若以 A、B、P、M 为顶点的四边形是平行四边形，求 M 点的坐标 【答案】（2，1）或（-4，-5）或（4，3） 知识模块：知识模块：动点问题，判定边角关系动点问题，判定边角关系 【例 9】如图，ABCD 中，DEAB 于 E，
6、BC=2AB，M 是 BC 的中点 试求EMC 与BEM 的数量关系 【答案】EMC=3BEM 延长 EM 与 DC 的延长线交于点 N，连接 DM 则易得BEMNCM，所以 EM=MN 又 AB/CD，DEAB，则EDN=90， BEM=N， ME=MN=DM EMD=2N=2BEM 由 MC=CD，得MDC=CMD=N， EMC=3BEM 【例 10】直线 3 -6 3 yx与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发， 同时到达 A 点， 运动停止 点 Q 沿线段 OA 运动， 速度为每秒 1 个单位长度， 点 P 沿路线 OBA 运动 （1）直接写出 A、B 两点的
7、坐标； （2）设点 Q 的运动时间为 t 秒，APQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式； A B C D E M N P B y （3）当6 3S 时，求出点 Q 的坐标 【答案】（1）由题可得：A（6 3，0） ，B（0，6） ； （2）A（6 3，0） ，B（0，6） ， AB=12，OB=6，OB+AB=18 Q 从 O 到 A 的时间是6 3秒，P 的运动速度为： 612 3 6 3 （单位长度/秒） 当 P 在 OB 上，即02 3t 时，OQ t ，OP=3t， 6 3AQt， S= 2 113 (6 3)39 222 OPAQtttt ； 当点 P 在 AB 上，
8、即2 36 3t 时，OQ=t，AP=18-3 t 过点 P 做 PHAQ 于点 H，则 PH= 13 9 22 APt， 则 113 (6 3)(9) 222 SAQPHtt= 2 3 927 3 4 tt， 综上： 2 2 3 9 (02 3) 2 3 927 3(2 36 3) 4 ttt S ttt ； （3）当 P 在 OB 上时，由 2 3 96 3 2 tt，得：3 315t ，Q（3 315，0） ； 当 P 在 AB 上时，由 2 3 927 3 4 tt6 3，得：6 3-2 6t ，Q（6 3-2 6，0） ， 综上 Q 点的坐标为（3 315，0）或（6 3-2 6，0
9、） 【习题 1】判断题： （1）夹在两平行线间的平行线段长度相等 （ ） （2）对角线互相平分的四边形的对边一定相等 （ ） （3）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ ） （4）一组对角相等，另一组对角互补的四边形是平行四边形 （ ） 【答案】（1）正确； （2）正确； （3）错误； （4）错误 【习题 2】四边形的四条边长分别是 a，b，c，d，其中 a，c 为对边，且满足 2222 22abcdabcd，则这个四边形一定是（ ） A两组角分别相等的四边形 B平行四边形 C对角线互相垂直的四边形 D对角线相等的四边形 【答案】C 【习题 3】已知四边形 ABCD
10、的对角线相交于 O，给出下列 5 个条件ABCD，ADBC， AB=CD，BAD=DCB，从这四个条件中任选 2 个一组，能推出四边形 ABCD 为平行四边形 的有（ ） A6 组 B5 组 C4 组 D3 组 【答案】C 【习题 4】若 AD 是ABC 的中线，延长 AD 到 E 使 DE=AD，联结 BE、CE，那么四边形 ABEC 是_ 四边形 【答案】平行四边形 【习题 5】如图，直线l与双曲线交于 A、C 两点， 将直线l绕点 O 顺时针旋转（045） ， 与双曲线交于 D、B 两点，则四边形 ABCD 的形状一定是_， 理由是_ 【答案】平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边
11、形 【习题 6】如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 是对角线 BD 的三等分点 求证：四边形 AECF 是平行四边形（请用两种方法证明） 【答案】（方法一）四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC，AD/BC， ADF=EBC E、F 三等分 BD， BE=EF=FD 易证AFD 与BEC 全等，ABE 与CDF 全等 AE=CF，AF=CE， 四边形 AECF 是平行四边形； （方法二）连接 AC，与 BD 交于点 O， A B C D E F O A B C D x y l O BC A E F D Q N MD C A B P 平行四边形 ABCD， AO=OC，BO=DO E、
12、F 三等分 BD， BE=EF=FD OB-BE=OD-DF， OE=OF， BO=DO， 四边形 AECF 是平行四边形 【习题 7】已知：如图，ABCD 中，平行于对角线 AC 的直线 MN 分别交 DA DC 的延长线于点 M N，交 BABC 于点 P、Q，求证：MPNQ 【答案】可证四边形 ACQM 和四边形 ACNP 为平行四边形， 可得 MQACNP 【习题 8】如图，ACD、ABE、BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形 求证：四边形 ADFE 为平行四边形； 【答案】可证EBFABC 和DFCABC， 可得 EFACAD 和 DFABAE， 根据两种对边分别相等的四边形是平
13、行四边形 F E O D A C B 【习题 9】如图所示：在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上两点，且 AE=CF. 求证：EBF=FDE. 【答案】联结 BD 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形 易证 BFDE 是平行四边形， 再根据平行四边形对角相等得出结论. 【习题 10】在 RtABC 中，C=90，AC=6，BC=63，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，顶点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速 度运动，过点 P 作 PDBC，交 AB 于点 D，联结 PQ，点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中 一点到达端点时，另一点随之停止移动，设运动的时间是 t 秒 （t0） （1） 直接用含 t 的代数式分别表示：BQ=_，PD=_； （2） 是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 是平行四边形?若存在，求出 t 的值，若不存在， 试说明理由 【答案】（1）BQ=6 32t，PD=3t； （2）t=12 318 A B C D P Q
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