1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 一次函数压轴题 知识模块：知识模块：动点产生的面积问题动点产生的面积问题 在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形 进行求解 【例 1】如图，已知直线 l：22yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，将直线 y=x 向上平移 1 个单位 一次函数压轴题 x y 1 2 Q P AO C B 长度得到直线 PA，点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点，求四边形 PQOB 的面积 【答案】由题意可得：直线 PA 的解析式为1 xy 令 22 1 xy xy ，解得： 3 4 3
2、 1 y x ，则 3 4 3 1， P 点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点， 0 1Q， 直线 l：22yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C， B（1，0） ，C（0，2） 6 5 3 1 1 2 1 12 2 1 CPQCOBPQOB SSS 四边形 【例 2】如图 1，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3,0） ， （0,1） ，点 D 是线段 BC 上的动 点（与端点 B、C 不重合） ，过点 D 作直线 1 2 yxm 交折线 OAB 于点 E （1）当点 E 恰为 AB 中点时，求 m 的值； （2）当点 E 在线段 OA 上，记ODE 的面积为 y，求
3、 y 与 m 的函数关系式并写出定义域； （3）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1，试判断 四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积； 若改变，写出重叠部分面积 S 关于 m 的函数关系式 【答案】四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标 分别为（3,0） ， （0,1） ，B（3,1） （1）当点 E 恰为 AB 中点时，则 E（3， 2 1 ） 点 E 在直线 1 2 yxm 上， 代入 E 点坐标，可得：2m； （2）当点 E 在线段 OA 上， 直线 1 2
4、 yxm 交折线 OAB 于点 E， E（m2，0） ， mmy12 2 1 （ 3 1 2 m） ； （3）设 O1A1与 CB 相交于点 M，OA 与 B1C1相交于点 N，则四边形 O1A1B1C1与 矩形 OABC 的重叠部分的面积为四边形 DNEM 的面积 DMNE，DNME，四边形 DNEM 是平行四边形 NEDMED，NEDMDE，NEDMED， MEMD，四边形 DNEM 是菱形 过 D 作 DHOA，垂足为 H，设菱形 DNEM 的边长为a D（22m，1） ，E（m2，0） ， DH=1，HE=2222mm， 2NHENEHa， 在直角DHN 中， 222 12aa，解得：
5、 4 5 a 菱形 DNEM 的面积为： 55 1 44 知识模块：知识模块：特殊三角形的存在性特殊三角形的存在性 【例 3】直线ykxb与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 A 坐标为（3-，0） ，30OAB A B C D E O x y 将x轴所在的直线沿直线AB翻折交y轴于点C，点 F 是直线 AB 上一动点 （1）求直线AB的解析式； （2）若CFAB，求OF的长； （3）若AOF是等腰三角形，直接写出点F的坐标 【答案】（1）点 A 坐标为（3-，0） ，30OAB， B（0，3） ， 直线AB的解析式为：3 3 3 xy； （2）延长 CF 交x轴与点 D x轴所在的直线沿直线A
6、B翻折交y轴于点C， 602 BAOCAO，30ACO A（3-，0） ， 03 3C， 6AC DAFCAF，AFAF ，90AFCAFD， CAFDAF， CD=AC=6 60CAO， CAD 为等边三角形， CF=DF 90COD， 36 2 1 2 1 CDOF； （3）点FAB是直线上一动点，设 3 3 3 F mm ， 当 AO = OF 时， 2 2 3 3 3 3 mm ，解得： 2 3 m或3m， 此时 3 3 3 23 F ， 或3 0F ，（舍去） ； 当 AO=AF 时， 2 2 3 3 3 33 mm ，解得：33 2 3 m或33 2 3 m， 此时 33 33 2
7、2 F ， 或 33 33 22 F ， ； 当 FO=AF 时， 2 2 2 2 3 3 3 33 3 3 mmmm ，解得： 2 3 m， 此时 33 22 F ， A B O C F D 综上所述：点F的坐标为： 3 3 3 23 ， 或 33 33 22 ， 或 33 33 22 ， 或 33 22 ， 【例 4】如图，函数 3 1 3 yx 的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以线段 AB 为边 在第一象限内作等边ABC （1）求点 C 的坐标； （2）将ABC 沿着直线 AB 翻折，点 C 落在点 D 处，求直线 AD 的解析式； （3）在 x 轴上是否存在 E，使AD
8、E 为等腰三角形?若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】（1）函数 3 1 3 yx 的图像与 x 轴、y 轴分别 交于 A、B 两点， 3 0A，0 1B， 312OAOBBA， 30BAO 等边ABC，60CAB，2CA 30BAO， 90CAO， 3 2C，； （2）OBACBA，CDAB ，D 在 y 轴上， BDBC ，01D， 直线 AD 的解析式为：1 3 3 xy； （3）设 E（m，0） ，则2AD， 2 3mAE，1 2 mDE 当AEAD时， 2 32m，解得：23 m， 此时 E（23 ，0） ，或 E（23 ，0） ； 当DEAD时，12
9、2 m，解得：3m ， 此时 E（3，0） ，或 E（3，0） （舍去） ； 当DEAE 时，13 2 2 mm，解得： 3 3 m，此时 E（ 3 3 ，0） ， 综上所述，满足条件的 E 点坐标为： （23 ，0）或（23 ，0）或（3，0）或（ 3 3 ，0） A B C O x y 知识模块：四边形的存在性知识模块：四边形的存在性 【例 5】如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线 ykx2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴 交于点 B，将此直线向下平移 3 个单位，所得到的直线 l 与 x 轴交于点 C （1）求直线 l 的表达式； （2）点 D 为该平面直角坐标系内的点，如果
10、以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 D 的坐标 【答案】（1） 1 (2,3)2, 2 ykxk将代入得 1 2, 2 ( 4,0), (0,2), 1 31, 2 1 1; 2 yx AB yx lyx 向下平移 个单位，得 直线 的表达式为 （2） 1 1, 2 yx (2,0), , ( 6,2), , ( 2, 2), , (6,2). C AB D AC D BC D 点坐标为 当为对角线时 点坐标为 当为对角线时 点坐标为 当为对角线时 点坐标为 【例 6】如图，在平面直角坐标系中，直线 l1经过 O、A(1，2)两点，将直线 l1向下平移 6 个单位得到直线
11、 l2，交 x 轴于点 C，B 是直线 l2上一点，且四边形 ABCO 是平行四边形 （1）求直线 l2的表达式及点 B 的坐标； （2）若 D 是平面直角坐标系内的一点，且以 O、A、C、D 四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求 点 D 的坐标 【答案】（1） 1 ,lykx设直线 解析式为 x A B O y C A O C x y 2 (12), 2, 2 , 2 -6, (3,0), , 2, 22 -6, 4, (4,2). A k yx lyx C ABCO B x x B 过点， 解析式为 点坐标为 四边形是平行四边形 点纵坐标为 点坐标 （2）ADOC当时， 11 1 22 2
12、2, 2, (2,2), -3, , (,), , 1, (1, 1), (,26), , 14 , 5 142 (,), 55 142 (2,2)(1, 1)(,). 55 DAAOCD D yyxxxx x D ODAC ACyx ODyx Daa AOCD a D ODAC Daa ACOD a D D 点坐标为 当时， 解析为 解析式为 设 点坐标为 点坐标为 当时， 设 点坐标为 点坐标为 综上所述 点坐标为或或 【习题 1】如图，在平面直角坐标系中，两个函数 1 6 2 yx yx ，的图像交于点 A， 动点 P 从点 O 开始在线段 O 向点 A 方向以每秒 1 个单位的速度运动
13、，作 PQx 轴交直线 BC 于点 Q，以 PQ 为一边向下作正方形 PAMN，设它与ABO 重叠部分的面积为 S （1） 求点 A 的坐标； （2） 试求出点 P 在线段 OA 上运动时，S 与运动的时间 t（秒）的关系式 【答案】（1）令 6 2 1 xy xy ， 解得： 4 4 y x ， A（4，4） ； （2）动点 P 从点 O 开始在线段 O 向点 A 方向以每秒 1 个单位的速度运动， tOP ， 则 P（t 2 2 ，t 2 2 ） PQx 轴，Q（t 212，t 2 2 ） ， tPQ 2 23 12 当tt 2 2 2 23 12时， 23t 当230 t时，ttttS2
14、6 2 3 2 23 12 2 2 2 ； 当 P 到达 A 点时，24t， 当2423 t时， 144236 2 9 2 23 12 2 2 tttS， 综上所述， 2 2 3 6 2 (03 2) 2 9 36 2144 (3 24 2) 2 ttt S ttt 【习题 2】如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 A(0， 1)和点 D 在 y 轴正半轴上，点 B、 C 在第一象限，一次函数 ykx2 的图像 l 交 AD、CD 分别于 E、F （1）若DEF 与BCF 的面积比为 12，求 k 的值； （2）联结 BE，当 BE 平分FBA 时，求 k 的值 【答案】（1）正方形
15、ABCD 的边长为 2，点 A(0， 1)和点 D 在 y 轴正半轴上，点 B、C 在第一象限， B(2， 1)，C(2， 3)，D(0， 3) 一次函数 ykx2 的图像 l 交 AD、CD 分别于 E、F， E(0， 2) 设 F(m， 3)， A B C P Q O y x A B C D E F x y O H DEF 与BCF 的面积比为 12， 2 1 22 2 1 1 2 1 m m ，解得：1m，F(1， 3) F(1， 3)在直线 ykx2 上，1k； （2）延长 BE 交 CD 的延长线于 H ， BE 平分FBA，ABEFBE CDAB，ABEH，FBEH，FB=HF A
16、E=1，DE=1，AE=DE AE=DE，BAEHDE，BEAHED HEDBEA HD=AB=2，H(2， 3) 设 F(n， 3) FB=HF，222 22 nn，解得： 2 1 n， F( 2 1 ， 3) F( 2 1 ， 3)在直线 ykx2 上， 2k 【习题 3】如图，平面直角坐标系中，函数 y=2x+12 的图像分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点， 过点 A 的直线交 y 轴的正半轴于点 M，且点 M 为线段 OB 的中点 （1）求直线 AM 的解析式 （2）P 为直线 AM 上的一个动点，是否存在这样的点 P，使得以 P、B、M 为顶点的三角形为等腰 三角形，若存在，求出
17、点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）函数 y=2x+12 的图像分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点， B（0，12） ，A（6，0） ， 点 M 为线段 OB 的中点， M（0，6） ， 直线 AM 的解析式为6 xy； A B M O x y （2）P 为直线 AM 上的一个动点， P（m，6m） ， 当MPBM 时， 22 6mm ，解得：23m， 此时 P（23，623） ，或 P（23，623） ； 当BPBM 时，2 2 66mm，解得：0m或6m， 此时 P（0，6） （舍去）或 P（6，12） ； 当BPMP时，2 222 6mmmm，解得：3m， 此时 P（
18、3，9） ； 综上所述：P（23，623）或 P（23，623）或 P（6，12）或 P（3，9） 【习题 4】如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 A(3， 0)，点 B 的坐标为 A(0， 4) （1）求直线 AB 的解析式； （2）点 C 是线段 AB 上一点，点 O 为坐标原点，点 D 在第二象限，且四边形 BCOD 为菱形，求点 D 坐标； （3）在（2）的条件下，点 E 在 x 轴上，点 P 在直线 AB 上，且以 B、D、E、P 为顶点 的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点 P 的坐标 【答案】（1）,ABykxb设直线的解析式为 30 4 4 3 4 4 -4. 3 kb b k b AByx 直线的解析式为 A B O x y （2）,BCOD四边形是菱形 , (0,2), 2, 43 24, 32 3 ( ,2), 2 3 (-,2). 2 OBCDOBCD OB C yyxx C D 且与互相平分 的中点坐标为 点 的纵坐标是 把代入得 点坐标为 点坐标为 （3） 339 (6)( ,2)( , 2). 222 P点的坐标为，或或
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