1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 特殊三角形的存在性 知识模块：知识模块：存在全等三角形存在全等三角形 全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质，利用边的关系结合两点间的距离公式构造等量关 系，主要的题型是求点的坐标 【例 1】如图，在平面直角坐标系中，直线8yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，点 B，点 P(x，y)是 直线 AB 上一动点（点 P 不与点 A 重合） ，点 C 的坐标为(6，0)，O 是坐标原点，设PCO 的面积为 S 特殊三角形的存在性 （1）求 S 与 x 之间的函数关系式； （2）当点 P 运动到什么位置时，PCO 的面积为
2、15； （3）过点 P 作 AB 的垂线与 x 轴、y 轴分别交于点 E，点 F， 是否存在这样的点 P，使EOF BOA?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）直线8yx 与 x 轴交于点 A， (8 0)A， 点 P(x，y)是直线8yx 上一动点， 8yx 当8x时，24386 2 1 xxS， 当8x 时，24386 2 1 xxS； （2）令15S， 当8x时，15243xS，解得：3x，此时，P (3，5)， 当8x 时，15243 xS，解得：13x，此时，P (13，5)； （3）EOFBOA，8 BOEO，8 AOFO， 当 E(8，0)，F(0，
3、8)时，则直线 EF 的解析式为8 xy， 令 8 8 xy xy ， 解得： 0 8 y x ，8 0P，； 当 E(8，0)，F(0，8)时，则直线 EF 的解析式为 8 xy ， 令 8 8 xy xy ， 解得： 8 0 y x ，0 8P， 综上，当EOFBOA 时，点 P 的坐标为0 8，或8 0， 知识模块：存在等腰三角形知识模块：存在等腰三角形 等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点，本类题目均和图形运动有关，需要学生有较强的逻辑 思维能力，能够根据运动的性质，把最终的图形画出，利用分类讨论的思想，结合题目中的已知条件建 A B C O P x y 立等量关系 【例 2】在
4、边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，P 是对角线 AC 上一动点，过点 P 作 PFCD 于点 F，作 PEPB 交直线 CD 于点 E，设 PA=x， PCE Sy （1）求证：DF=EF； （2）当点 P 在线段 AO 上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （3）点 P 在运动过程中能否使PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出 PA 的长；如果不能，请 简单说明理由 【答案】（1）延长 FP 交 AB 于点 G 正方形 ABCD 中，PFCD 于点 F， 四边形 AGFD 是矩形， DF=AG，90AGF 正方形 ABCD， 45BAC 90
5、AGF，GPAG ，GPDF 同理可得：BGPFCF PEPB，90AGF，FPEGBP FPEGBP，BGPF ，PFEBGP GBPFPE，GP=EF GPDF ，EFDF ； （2）PA=x， xGPAG 2 2 ，xEFDF 2 2 ， 则xDE2，xCE24， xPF 2 2 4， 823 2 1 2 2 424 2 1 2 xxxxy（02 2x） （3）点 P 在运动过程中能使PEC 为等腰三角形 当点 E 在 CD 边上时， 90CEP，要使PEC 为等腰三角形，则45ECPCPE，则 PECE PEPB， BPCD， BPBA 于是点 P 在 AB 上，又点 P 在 AC 上
6、，A 与 P 重合，此时 AP=0 当点 E 在 DC 延长线上时，要使PEC 为等腰三角形，只能是 PC=CE， 易得 PA=4 A B C D E F P O G 【例 3】如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF/BC 交 CD 于点 F，AB4，BC6，B60 （1）求点 E 到 BC 的距离； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点 P 作 PMEF 交 BC 于点 M，过点 M 作 MN/AB 交折线 ADC 于点 N，联结 PN，设 EPx， 当点 N 在线段 AD 上时（如图 1） ，PMN 的形状是否发生变化?若不变，求出P
7、MN 的周长； 若改变，请说明理由； 当点 N 在线段 DC 上时（如图 2） ，是否存在点 P，使PMN 为等腰三角形?若存在，请求出所有 满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 备用图 【答案】（1）过点 E 作 EGBC 于点 G E 是 AB 的中点，AB4， 2BE， B60，1BG，3EG， 点 E 到 BC 的距离为3； （2）当点 N 在线段 AD 上时（如图 1） ，PMN 的形状不发生变化 EGBC，PMEF，四边形 EPMG 为矩形，GMEP ，3 EGPM 也可得：4 ABMN 过点 P 作 PHMN 于点 H MN/AB，30PMH， 2 3 2
8、1 PMPH， 2 3 3 2 3 2 3 PMMH， 2 5 2 3 4MHMNNH， 7 2 3 2 5 2 2 22 PHNHPN A B C D E F P N M A B C D E F F E P M N A B C D G H PMN 的周长为473； 当点 N 在线段 DC 上时（如图 2） ，PMN 的形状发生改变，但CMN 恒为等边三角形 当 PM=PN 时，作 PRMN 于 R，则 MR=NR 30PMH，3PM， 2 3 2 3 PMMR， 32 MRMN CMN 恒为等边三角形， 3 MNMC， 此时，2316MCBGBCGMEPx； 当 NM=PN 时，30PMNN
9、PM，则120PNM 60MNC， 180MNCPNM 点 P 与点 F 重合，PMC 为直角三角形 1 3 3 PMMC， 此时，4116GMEPx； 当 NM=PM 时， 3EG， 3MNMP， 60CB MNC 为等边三角形 3MPMNMC， 此时，35316GMEPx 综上所述：2x或4x或35x 【例 4】如图，在平面直角坐标系内，四边形 AOBC 是菱形，点 B 的坐标是（4，0） ， AOB=60，点 P 从点 A 开始沿 AC 以每秒 1 个单位长度向点 C 移动，同时点 Q 从点 O 以每秒a 个单位长度的速度沿 OB 向右移动，设t秒后，PQ 交 OC 于点 R （1）设
10、a=2，求t为何值时，四边形 APQO 的面积是菱形 AOBC 面积的 1 4 ； （2）设 a=2，OR=2 3，求 t 的值及此时经过 P、Q 两点的直线解析式； （3）当 a 为何值时，以 O、Q、R 为顶点的三角形是以 OR 为底的等腰三角形? 【答案】（1）由题意有：tAP ，tOQ2 四边形 APQO 的面积是菱形 AOBC 面积的 1 4 ， 4 1 4 2 2 1 h htt ，解得： 3 2 t； （2）过点 C 作 CHx 轴，交 x 轴于点 H 四边形 AOBC 是菱形，4OB，AOB=60， 22 3BHCH， 4 3OC OR=2 3， OR=CR=2 3， OQRC
11、PR， OQCP，即24tt， 解得： 4 3 t ， 8 (0) 3 Q， 10 (2 3) 3 P， 利用待定系数法可得，经过 P、Q 两点的直线解析式为：3 38 3yx； （3）由题意有：tAP ，atOQ ， 以 O、Q、R 为顶点的三角形是以 OR 为底的等腰三角形， RQOQ ， 30COB，30ORQROQAOR， PQOA， OQAP， 1a 知识模块：存在直角三角形知识模块：存在直角三角形 直角三角形的特征非常明显，在平面直角坐标系内，直角三角形中一般有两个顶点是确定的，另一个顶 点在某个函数图像上，通常用两点间的距离公式表示出第三条边后再讨论三角形的哪个角有可能是直 角，
12、根据这个直角的条件结合题目条件进行计算，此类综合题需要用到的知识较多，需要考察学生的思 维、分析能力 【例 5】如图所示，直线 L 与x轴、y轴分别交于 A（6，0） 、B（0，3）两点，点 C（4，0） 为x轴上一点，点 P 在线段 AB（包括端点 A、B）上运动 （1）求直线 L 的解析式 A B C Q P R x y O H （2）当点 P 的纵坐标为 1 时，按角的大小进行分类，请你确定PAC 是哪一类三角形，并说明理 由 （3）是否存在这样的点 P，使得POC 为直角三角形?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由 【答案】（1）直线 L 与x轴、y轴分别交于 A（6，0
13、） 、B（0，3）两点， 直线 L 的解析式为3 2 1 xy； （2）当点 P 的纵坐标为 1 时，4 1P， xPC 轴， PAC 是直角三角形； （3）当90OCP时，4 1P，； 当90POC时，0 3P，； 当90OPC时，设 3 2 1 mmP， 222 OCPCOP， 2 2 2 2 2 43 2 1 43 2 1 mmmm， 解得：2m或 5 18 m， 2 2P，或 186 55 P ， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为：4 1P，或0 3P，或2 2P，或 186 55 P ， 【例 6】如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点 A（2，-3） ，与 x 轴交于点 B
14、，且与直 线 y= 8 3 3 x 平行 （1）求直线 l 的函数解析式及点 B 的坐标； （2）如直线 l 上有一点 M（a，-6） ，过点 M 作 x 轴的垂线，交直线于点 N，在线段 MN 上求一点 P，使PAB 是直角三角形，请求出点 P 的坐标 【答案】（1）直线 l 经过点 A（2，-3） ， 且与直线 y= 8 3 3 x 平行， A 3 B C 4 P L x y O （2，-3） A B N x y O 直线 l 的函数解析式为93 xy，3 0B，； （2）直线 l 上有一点 M（a，-6） ，1a 可设1Py， 1 1 3 N ， 3 1 6y 当 222 ABPBPA时
15、，即10431 22 yy， 解得：1y或2y，11P，或12P，； 当 222 PBABPA时，即 22 41031yy， 解得： 3 8 y， 8 1 3 P ，； 当 222 PAABPB时，即2 2 31104yy， 解得： 3 2 y， 2 1 3 P ，（舍去） 综上所述，11P，或12P，或 8 1 3 P ， 【习题 1】如图，在平面直角坐标系中，点 P 在直线 1 2 yx上（点 P 在第一象限） ，过点 P 作 PAx 轴， 垂足为 A，且 OP2 5 （1）求点 P 的坐标； （2）如果点 M 和点 P 都在反比例函数 k y x （k0）的图像上，过点 M 作 MNx
16、轴， 垂足为 N如果MNA 和OAP 全等（点 M、N、A 分别和点 O、A、P 对应） ，求点 M 的坐标 【答案】（1）点 P 在直线 1 2 yx上， A O P x y 设 1 2 P mm ， OP2 5，52 2 1 2 2 mm，解得：4m， 4 2P，； （2）点 P 都在反比例函数 k y x （k0）的图像上， x y 8 如果MNA 和OAP 全等（点 M、N、A 分别和点 O、A、P 对应） ， 当 N 在点 A 的左侧时，4 AOMN，2AN， 2ANOAON，2 4M，在反比例函数图像上； 当 N 在点 A 的右侧时，4 AOMN，2AN， 6ANOAON，6 4M
17、，不在反比例函数图像上， 2 4M， 【习题 2】如图，矩形 AOBC 在直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为 (6，0)，直线 y= 3 4 x 与 AC 交于点 D有一动点 P 从 O 出发，沿线段 OB 以每秒 2 个单位长度的速 度运动，当点 P 运动到点 B 时，点 P 停止运动，设运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，OEP为直角三角形? （2）当 t 为何值时，OEP为等腰三角形? 【答案】（1）点 A 的坐标为(0，3)，点 B 的坐标为(6，0)， 直线 AB 的解析式为3 2 1 xy 令 xy xy 4 3 3 2 1 ， 则 8 . 1
18、4 . 2 y x ，2.4 1.8E， 当90OPE时，tOP2，20Pt， 222 POPEOE， 2 2222 28 . 14 . 228 . 14 . 2tt，解得：875. 1t； 当90OPE时，4 . 2OP，4 . 22 t，解得：2 . 1t； （2）当PEOE 时，有三线合一可得：8 . 42 tOP，解得：4 . 2t； 当OPOE 时，3OEOP，5 . 1t； 当PEOP 时， 22 8 . 124 . 2tt，解得：9375. 0t 【习题 3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1yx与 3 3 4 yx 交于点 A，分别交x轴于点 B 和点 C，点 D 是直线
19、AC 上的一个动点 （1）求点 A、B、C 的坐标 （2）当CBD 为等腰三角形时，求点 D 的坐标 【答案】（1）令 3 4 3 1 xy xy ，解得： 7 15 7 8 y x ， 则 8 15 77 A ，1 0B ，4 0C，； （2）点 D 是直线 AC 上的一个动点，设 3 4 3 xxD， 当DCDB 时，由三线合一性质可得： 2 3 x，则 8 15 3 4 3 x， 3 15 28 D ，； 当BCDC 时，543 4 3 4 2 2 xx，解得：0x或8x， 0 3D，或83D，； A B C D O x y B A C O D y x 当BCDB 时，53 4 3 1
20、2 2 xx，解得： 5 12 x或4x（舍去） ， 1224 55 D ，； 综上所述： 3 15 28 D ，或0 3D，或83D，或 1224 55 D ， 【习题 4】如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l： 1 2 yxm 与x轴、y轴 的正半轴分别相交于点 A、B，过点 C(4，4)作平行于y轴的直线交 AB 于点 D，CD=10 （1）求直线l的解析式； （2）求证：ABC 是等腰直角三角形； （3）将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点 A、B， 在直线 CD 上存在点 P，使得ABP 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐 标 【答案】（1）过点 C(4，4)作平行于y轴的直线 交 AB 于点 D，4 2Dm， CD=10，1042 m，解得：4m， 直线l的解析式为： 1 4 2 yx ； （2）直线l： 1 4 2 yx 与x轴、y轴的正半轴分别相交于点 A、B， A(8，0)，B(0，4)， 54BC，54BA，104AC， 222 ACABBC，BCAB ， ABC 是等腰直角三角形； （3） 1 8 4 3 P ， 2 4 8P ， 3 412P ， 3 4 4P ， （通过ABP 是等腰直角三角形构造全等三角形 ）
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