1、教师姓名 彭高钢 学生姓名 年 级 初二 上课时间 2019/ / 学 科 数学 课题名称 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一知识点一 一、一、 矩形矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理： （1） 判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 （2） 判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形。 （3） 判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质： 特殊的平行四边形 （1） 具有平行四边形的一切性质。 （2） 矩形的四个角都是直角。 （3） 矩形的对角线相等。 （4） 矩形既是轴对称图形又
2、是中心对称图形。 4.矩形的面积：矩形的面积=长宽 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二知识点二 二、菱形二、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理： （1） 判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2） 判定定理（1） ：四边都相等的四边形是菱形。 （3） 判定定理（2） ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质： （1） 具有平行四边形的一切性质。 （2） 菱形的四条边都相等。 （3） 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 （4） 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.菱形的面积：菱形的面积=底高=对角线
3、乘积的一半 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点三知识点三 三、正方形三、正方形 1.正方形的定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。 2.正方形的判定定理： （1） 判定定义：四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形。 （2） 有一组邻边相等并且由一个角是直角的平行四边形是正方形。 （3） 有一组邻边相等的矩形是正方形。 （4） 有一个角是直角的菱形是正方形。 （5） 既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 3.正方形的性质： （1） 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 （2） 边四边相等，邻边垂直，对边平行且相等。 （3） 角四个角都是直角。 （4） 对角线相等，互
4、相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 （5） 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。 （6） 正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等。 （7） 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.正方形的面积：正方形的面积=边长的平方=两条对角线乘积的一半 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、矩形一、矩形 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 如图，已知矩形 ABCD 中，AB=3，BC=6，P 是 BC 是的一点，PEAC 交 BD 于点 E，PFBD 交 AC 于点 F，求四边形 PEOF 的周
5、长。 【答案】【答案】 3 5 例例 1-2 在矩形 ABCD 中，AE 平分BAD，交 BC 于点 E，ACB=30 ，求BEO 的度数 【答案】【答案】75 提示证明BOE 为等腰三角形即可得结论 例例 1-3 已知：如图，平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E，F，G，H，求证：四边形 EFGH 是矩形。 分析分析：利用三个内角等于 90的四边形是矩形，即可证明 考点：考点：矩形的判定，平行四边形的性质 （二）限时巩固，练一练（二）限时巩固，练一练 1已知矩形 ABCD 的周长是 24cm，M 点为 BC 中点，AMD=90 ，该矩形相邻的两条边长分别为 cm ， cm
6、 【答案】【答案】 4 8 2已知 E、F 分别为矩形 ABCD 的对边 BC 和 AD 上的点，且 3BE=BC，3AF=2AD， F E O P D C B A A B C D O E 联结 AC、EF，则（ ） A AC 平分 EF，但是 EF 不平分 AC BEF 平分 AC，但是 AC 不平分 EF CAC 与 EF 互相平分 D以上答案都不对 【答案】【答案】 C C 3.在下列命题中，正确的是（ ） A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D对角线互相平分且相等的四边形是矩形 4矩形 ABCD 中，若 AB=3，BC
7、=4，BE 垂直于对角线 AC，E 为垂足，则 BE= 【答案】【答案】 12 5 5.已知矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，P 是 BC 边上的一点，PEBD，PFAC，垂足分别 为 E、F，求证：PE+PF 为定值 【答案】【答案】 联结 OP，利用BOC 面积来解决问题，得 PE+PF 为定值等于点 C 到线段 BD 的距离 6.矩形 ABCD 中，BE 平分ABC 交 CD 于点 E，EFAE 交 BC 于点 F，求证：AE=EF 【答案】【答案】 易证ADEECF 得 AE=EF 二、菱形二、菱形 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 P F E O D C B A A
8、 B C D F E 例例 2-1 若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是 答案：120 例例 2-2 如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点，DEAC，CEBD （1）试判断四边形 OCED 的形状，并说明理由； （2）若 AB=6，BC=8，求四边形 OCED 的面积 分析：分析： （1）首先可根据 DEAC、CEBD 判定四边形 ODEC 是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩 形 的 对 角 线 相 等 且 互 相 平 分 ， 可 得 OC=OD ， 由 此 可 判 定 四 边 形OCED是 菱 形 （2）连接 OE，通过证四边形 BOEC 是平行四边形，得 OE=
9、BC；根据菱形的面积是对角线乘积的一半， 可求得四边形 ODEC 的面积 例例 2-3 如图，矩形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，过 O 点的直线 EF 与 AB、CD 的延长线分别交于 E、F （1）求证：DOEBOF； （2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形 AECF 是菱形，并证明你的结论 【答案】【答案】 （1）四边形 ABCD 是矩形， ODOB，ABCD , EF， DOEBOF DOEBOF (2)当 EFAC 时，四边形 AECF 是菱形， 利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理即可证明 （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 1.菱形的
10、周长为 20cm，一条对角线长为 8cm，则菱形的面积为 O E D F C B A 【答案】【答案】24 2.如图，在ABC 中，AB=AC，M 点是 BC 的中点，MGAB 于点 G，MDAC 于点 D，GFAC 于点 F,DEAB 于点 E， GF 与 DE 相交于点 H，求证：四边形 GMDH 是菱形 【答案】【答案】证明：先证明四边形 GMDH 是平行四边形，利用等 腰三角形底边中点到两腰的距离相等得出四边形 GMDH 是菱 形 3.在菱形 ABCD 中，A=60 ，E、F 分别是 AD、DC 边上的点，EBF=60 （1）判定BEF 的形状； （2）证明你的结论 【答案】【答案】
11、联结 BD， 易证ABEDBF， 故BEF 是等边三角形 4.如图，在 ABC 中，ACD=90 ，CDAB，AE 平分BAC 交 CB 于点 E，EFAB，交 AB 于点 F 求证：四边形 OGFE 是菱形 【答案】【答案】 易证ACEAFE得 CE=EF， 同时可证CGE为等腰 三角形，故CE=CG，CEEF， 所以四边形 OGFE 是菱形 三、正方形三、正方形 （一）典例分析，学一学（一）典例分析，学一学 例例 3-1以正方形 ABCD 的边 BC 为边做等边BCE，则AED 的度数为 H D M F E G C B A E D F G C B A D F E C B A 【答案】【答案
12、】150 或 15 例例 3-2 在正方形 ABCD 中，AB=12 cm，对角线 AC、BD 相交于 O， 则ABO 的周长是（ ） A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+62 【答案】【答案】A 例例 3-3 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE （1）求证：CE=CF； （2）若点 G 在 AD 上，且GCE=45，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？ 分析：分析： （1）由 DF=BE，四边形 ABCD 为正方形可证CEBCFD，从而 证出 CE=CF； （2）由CEBCFD 可知 BC 与 DC 为对应边
13、，从而可确定 出旋转方向和旋转角； （3）由（1）得 CE=CF，BCE+ECD=DCF+ ECD，即ECF=BCD=90，又GCE=45，所以可得GCE=GCF，故 可证得ECGFCG，即 EG=FG=GD+DF又因为 DF=BE，所以可证出 GE=BE+GD 成立 例例 3-4 如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转 30 ，至 正 方形 ABCD，则旋转前后正方形重叠部分的面积是_ 【答案】【答案】 3 3 例例 3-5 在正方形 ABCD 中，M、N 分别为 AD、CD 的中点，且 CM 和 BN 相交于点 P 求证：PA=AB 【答案】【答案】分别延长 B
14、A，CM 交于 Q 点，由正方形 ABCD 中，M，N 分别为 AD，DC 的中点，易证得 BCNCDM，可得 BNCM，又可证得AQMDCM，即可得 AQ=AB，然后由直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半，证得 PA=AB （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 1已知如下图，正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上的一点， F 为 BC 延长线上一点，CE=CF (1)求证：BECDFC； (2)若BEC=60，求EFD 的度数 P N D M C B A 【答案】【答案】(1)四边形 ABCD 是正方形 BC=DC，BCD=90 在 直 角 BCE 和 直 角 DCF 中， B
15、C= DC， CE=CF ， BCE DCF (2)CE =CF， CEF= CFE， CFE= 2 1 (180 90 )=45 BCE DCF， CFD=BEC=60 EFD=DFCEFC=15 2.如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，EF 垂直平分 AM，分别交 AB、CD 于点 E、F，若正方 形的边长是 8，则AEM 的面积是 【答案】【答案】根据勾股定理可以求出 AE=ME=5，故AEM 面积 是 10 3.如图， E 为正方形 ABCD 的边 AB 上的一点， AE=3， BE=1， P 为 AC 上的动点，则 PB+PE 的最小值为 矩形矩形 菱形菱形 正方形正
16、方形 性性 质质 边边 对边平行且相等对边平行且相等 对边平行，四边相等对边平行，四边相等 对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角角 四个角都是直角四个角都是直角 对角相等对角相等 四个角都是直角四个角都是直角 对对 角角 线线 互相平分且相等互相平分且相等 互相垂直平分，且每条互相垂直平分，且每条 对角线平分一组对角对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等互相垂直平分且相等, ,每条对角线平每条对角线平 分一组对角分一组对角 判定判定 有三个角是直角 有三个角是直角; ; 是平行四边形且是平行四边形且 有一个角是直角有一个角是直角; ; 是平行四边形且是平行四边形且 两条对角线相等两条对角线相等. . 四边相等的四边形；四边相等的四边形； 是平行四边形且有一是平行四边形且有一 组邻边相等；组邻边相等； 是平行四边形且两条是平行四边形且两条 对角线互相垂直。对角线互相垂直。 是矩形，且有一组邻边相等；是矩形，且有一组邻边相等； 是菱形，且有一个角是直角。是菱形，且有一个角是直角。 对称性对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形 E D M F C B A E D F C B A P D E C B A
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