1、教师姓名 彭高钢 学生姓名 年 级 初二 上课时间 2019/ / 学 科 数学 课题名称 平面向量的加减运算 （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识梳理知识梳理（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点一：知识点一：向量的加法向量的加法 1 1：向量的加法：向量的加法 （1）求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 （2）已知向量ba , ，在平面内任取一点 A，作bBCaAB ,，则向量AC叫做向量ba , 的和。 记作：ba ，即ACBCABba 2 2：向量的加法法则：向量的加法法则 （1 1）三角形法则三角形法则: :两个向量“首尾”相接
2、 平面向量的加减运算 注意：1三角形法则对于两个向量平行时也适用； 2两个向量的和向量仍是一个向量 （2 2）平行四边形法则：）平行四边形法则： 由同一点 A 为起点的两个已知向量ba , 为邻边作平行四边形 ABCD，则以 A 为起点的向量AC就是向 量ba , 的和。这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则 注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用 小结：三角形法则 （普遍性） 平行四边形法则 （局限性） （首尾相接首尾连） （首首相接，始终相连） 3 3：向量和的特点：向量和的特点 （1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a与b不平行时，a +b与a,b的方向不同向，且|a+b
3、|a|+|b|； （3）当向量ba , 同向时，ba 的方向与ba , 同向，且|baba 当向量ba , 反向时，若|ba ，则ba 的方向与ba , 同向，且|baba ； 若|ba ，则ba 的方向与ba , 反向，且|abba ； 4 4：向量的运算律：向量的运算律 （1）交换律：abba ； （2）结合律：)()(cbacba 说明：由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的 组合来进行了如：)()()()(cadbdcba ； )()(ebcadedcba （3）实数的运算律与向量运算律比较 实数的加法 向量的加法 性性 质质 0aa ()
4、0aa abba ()()a bcab c 0aa ()0aa abba ()()abcabc （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢知识点二：知识点二：向量的减法向量的减法 1 1：向量的减法：向量的减法 （1）用“相反向量”定义向量的减法 与a长度相同、方向相反的向量. 叫做a的相反向量，记作a。 规定：零向量的相反向量仍是零向量. 性质：()aa ；()()0aaaa 如果a、b互为相反向量，则a= b，b= a，a+b= 0 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：()abab 求两个向量差的运算叫做向量的减法. （2）用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向
5、量加法的逆运算：若b+ x = a，则 x 叫做a与b的差，记作a b 2 2：向量的减法法则：向量的减法法则 已知如图有a，b，求作ab （1 1）三角形法则：）三角形法则：在平面内任取一点O，作OAa，OBb，则BAab 说明：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a，b有共同起点） （2 2）平行四边形：）平行四边形：在平面内任取一点O，作OAa ，BOb， 则BABOOAab （尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢）知识精析知识精析（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 一、向量的加法一、向量的加法 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 1-1 下列各式中正确的有
6、 ( ) （1）如果ABCD，则ABCD; （2）()()abcabc （3）ACCDDEAE （4）0ACCDDA A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：C 例例 1 1- -2 2 已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB =a,AC=c, BC=b,则a+b+c为( ) A.0 B.3 C. 2 D.22 解题分析：AB+BC+AC=2AC，因为AC=22，a+b+c=2c=22，故选 D 答案：D. 例例 1-3 如图所示，已知正六边形 ABCDEF，O 为它的中心，若BAa，BCb，试用a，b来表示 向量.,BDBFOE 解题分析： OEBO BOBABC BOab 2 BF
7、BCCF BFba 2 2 BDBAADBABC BDab （二）限时巩固，练一练（二）限时巩固，练一练 1 （1）在四边形 ABCD 中，向量AB、BC、CD的和向量是 . （2）向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM化简后等于 （3）a“向东走 4km” ，b“向南走 3km”,则a+b= . （4）已知AB=a,BC=b, CD=c,DE=d,AE=e,则a+b+c+d= . 2. 已知 60, 3, 3AOBbOBaOA，则ba 3. 如图， B、 D 在AECF 的对角线上， 且有 EB=DF 中， 设,ECa EAb ADc， 则：ab_； bc_ 答案：1.AD、AC、5km、
8、e 2. 3 3 3.EF、ED. 二、二、向量的减法向量的减法 （一）典例分析、学一学（一）典例分析、学一学 例例 2-1 如图，已知,ABa BCb CDc DEd，在图中标出已知的 4 个向量，并用向量, , ,a b c d 表示下列向量 （1）AD （2）ABAE 解题分析： （1）根据三角加法法则得：AD=abc ； （2）AEabcd ， ()ABAEaabcdbcd . 答案： （1）AD=abc ； （2）ABAEbcd 例例 2-2 已知平行四边形 ABCD，对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，下列等式成立的是（ C ） A.AB CDACBD B.AB CDACBD
9、C.AB CDACBD D.AB CDACBD 例例 2-3 化简下列各式：ABBCCA； ABACBDCD； OAODAD； NQQPMNMP结果为零向量的个数是（ D ） A、1 B、2 C、3 D、4 （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 如图，已知向量ABa、BCb、CDc、DEd；试用a、b、c、d表示下列向量： （1）ABAC； （2）ABAE 参考参考答案：答案： （1）b； （2）bcd A B C D E a b c 三、三、向量的画法向量的画法 （一）典例分析，学一学（一）典例分析，学一学 例例 3-1 已知向量, ,a b c； 求作： （1）a bc （2）ab
10、c 答案：略 （课堂上教师教学生画图及其必要步骤） 例例 3-2 如图，已知向量a、b、c、d，分别画出下列向量： （1）ac bd （2） acbd 参考参考答案：答案：图略。 （二）限时巩固、练一练（二）限时巩固、练一练 如图，已知向量a、b、c； 求作： （1） ba， （2） abc 参考参考答案：答案：图略。 第一部分第一部分 a b c d c b a 1. 在平行四边形 ABCD 中，若ADa，ABb，则DB （用a和b表示） 2. 已知向量a、b的模分别为 3，4，则ab的取值范围为 . 3. 已知OA=4,OB=8,AOB=60 ,则AB= . 4. 已知OA a，OB b，
11、若12OA ，5OB ，且90AOB，则ab 5如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AC、BD 交于点 O，,ABa ADb 则AO _DO_。 6. 平行四边形ABCD中，M为DC中点，N为BC的中点设AB a，AD b， 则MN （用a，b表示） 7下列等式中，正确的个数是（ ） abba abba aaO aa )( 0)(aa A5 B4 C3 D2 8. 下列四式不能化简为AD的是( ) A. (AB+CD)+ BC B. (AD+MB)+( BC+CM) C. AD+AD-BM D.OC-OA+CD 9. 已知 AD 是ABC 的中线，试用,AB AD AC表示向量,BD DC
12、 答案：答案：1.1.ba 2.2.17ab 3. 3. 4 3 4.13 5.4.13 5. 11 (),() 22 abab 6.6. 1 () 2 ab 7.C 8.C 7.C 8.C 9.9. 1 () 2 DCBDACABDCBDACAD或 第二部分第二部分 1已知正方形 ABCD 的边长为 1，ABa , BCb，则ab为 2在ABCD 中，ACa，ABb，则BC= 3在四边形 ABCD 中，若ACABAD，且ABAD，那么四边形 ABCD 为（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、不是矩形、菱形的四边形 D A B C O D C B A 4已知平行四边形 ABCD，O 为平
13、面上任意一点.设OAa，OBb，OCc，ODd，则（ ） A、0abcd B、0a bcd C、0ab cd D、0a b cd 5化简： （1） ABCDBEDE ； （2） BCDAMBCM 6如图，已知在梯形 ABCD 中，AD / BC，点 E 在边 BC 上，联结 DE，AC （1）填空：CDDE_；BCBA_； （2） 如果把图中线段都画成有向线段 ， 那么在这些有向线段所表示的向量中， 试写出四个与向量BE平 行的向量是 ； （3）求作：ABAD （请说明哪个向量是所求作的向量） 7如图，点 E、F 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，且 EB = DF （1）填空：BC
14、BA=_；BAAF=_；BCAF （2）求作：BCAF 8已知ABCD，点 E 是 BC 边的中点，请回答下列问题： （1）在图中求作 AD 与DC的和向量：ADDC = ； （2）在图中求作 AD 与DC的差向量：ADDC = ； A C E B D A E C F B D （3）如果把图中线段都画成有向线段 ，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与BE互为相反向 量的向量是 ； （4）ABBEEA 参考参考答案：答案： 12； 2ab； 3B； 4A； 5AC，AD 6 （1）CE；AC； （2）BC、CB、CE、EC、AD、DA； （3）略； 7 （1）BDBF FD； （2）略； 8
15、 （1）AC； （2）BD； （3）EB、CE； （4）0； 回顾总结回顾总结（尚孔教研院彭高钢）（尚孔教研院彭高钢） 1 （1）既有 、又有 的量，叫做向量向量 （2）向量的 也叫向量的模向量的模（或向量的长度）它是一个 （3）零向量零向量：大小为 ，方向 的向量；记作_ _ 2 （1）方向 且大小 的两个向量叫做相等向量相等向量 （2）方向 且大小 的两个向量叫做相反向量相反向量 （3）方向 的两个向量叫做平行向量平行向量 3向量的运算向量的运算： （1）向量加法、减法的三角形法则： ABBC_；ACBC_ _ （2）向量加法、减法的平行四边形法则： A B C D E C BA D ABAD_；ABAD_ _ （3）向量的加法运算律： 向量加法满足交换律，即： ； 向量加法满足结合律，即： 参考参考答案：答案：1 （1）大小，方向； （2）大小，数； （3）零，任意，0； 2 （1）相同，相等； （2）相反，相等； （3）相同或相反； 3 （1）AC，AB； （2）AC，DB； （3） ；abba ， ()()abcabc。
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