1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 四边形的存在性 知识模块：知识模块：平行四边形的存在性平行四边形的存在性 平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想常见的题型是在平面直角坐标 系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构 成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系 【例 1】如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，4） ，点 B 的坐标为（0，2） （1）求直线 AB 的解析式； 四边形的存在性 （2）以点 A 为直角顶点作CAD=90，射线 AC
2、 交 x 轴的负半轴于点 C，射线 AD 交 y 轴的负半 轴于点 D当CAD 绕着点 A 旋转时，OCOD 的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化， 求出它的变化范围； （3）如图 2，点 M（4，0）是 x 轴上的一个点，点 P 是坐标平面内一点若 A、B、M、P 四点 能构成平行四边形，请写出满足条件的所有点 P 的坐标（不要解题过程） 【答案】 （1）设直线 AB 的解析式为：y=kx+b（k0） 点 A（4，4） ，点 B（0，2）在直线 AB 上， 44 2 kb b ，解得 1 2 2 k b ， 直线 AB 的解析式为： 1 2 2 yx ； （2）不变理由如下： 过点
3、A 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F，如图 1 则AEC=AFD=90，又BOC=90，AEF=90，DAE+DAF=90， CAD=90，DAE+CAE=90，CAE=DAF A（4，4） ，OE=AF=AE=OF=4 在AEC 和AFD 中 AECAFD AEAF CAEDAF AECAFD（ASA） ，EC=FD OCOD=（OE+EC）（FDOF）=OE+OF=8 故 OCOD 的值不发生变化，值为 8； （3）A（4，4） ，B（0，2） ，M（4，0） ， AM=4，BM= 22 422 5，AB= 22 4422 5， x A 图 4 C B O y 当 AM 为
4、对角线时，连接 BP 交 AM 于点 H，连接 PA、PM，如图 2， 四边形 ABMP 为平行四边形，且 AB=BM， 四边形 ABMP 为菱形， PBAM，且 AH=HM，PH=HB， P 点坐标为（8，2） ； 当 BM 为对角线时， AMx 轴，BC 在 y 轴的负半轴上， 四边形 ABPM 为平行四边形， BP=AM=4，P 点坐标为（0，2） ； 当 AB 为对角线时，同可求得 P 点坐标为（0，6） ； 综上可知满足条件的所有点 P 的坐标为（0，6） 、 （0，2）和（8，2） 【例 2】如图 4，在平面直角坐标系xOy中，直线2 xy与x轴、y轴分别相交于点 A 和点 B，
5、点 C 在y轴的正半轴上，且 OC=2OB （1）求线段 BC 的长度； （2）如果点 D 在直线 AB 上，且以 B、C、D、E 为顶点的四边形 为菱形，请直接写出点 E 的坐标 【答案】（1）直线2 xy与x轴、y轴分别相 交于点A和点B， 点A（2,0） ，点B（0，-2） OB=2 OC=2OB，OC=4，点C（0，4） BC的长度是6 （2）根据题意，当以 B、C、D、E 为顶点的四边形为菱形时，点 E 的坐标可以是： （-3，1） ， （6，-2） ， （23，423） ， （23-，423-） 【例3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，B是锐角，AFBC于点F， CHAD于点H，
6、 在AB边上 取点E，使得AEAH，在CD边上取点G，使得CGCF联结EF、FG、GH、HE （1）求证：四边形 EFGH 是矩形； （2）当B 为多少度时，四边形 EFGH 是正方形并证明 A B C D E F G H O 【答案】（1）,BD FH如图，连结 , , , , (), , , ABCD ADBCBADBCDABCADC AFBC CHADAFAD CHBC AFCHAHCFAECG AEHFCG SASEHFG EFHGEFGH BEBF AEAHAEHAHEBEFBFE AEHAHEBEFBFEABC 四边形是菱形 四边形为矩形， 同理可证：四边形是平行四边形 360 ,
7、BAD ,180 , 90 ,90 , ADBCABCBAD BEFAEHFEH EFGH 四边形是平行四边形. （2）45,;BEFGH当等于度时四边形是正方形 , , 180 ,180 , , ,45, , 18045135 2 AC ABCDABBCBACACB AECFBEBFBEFBFE BACACBABCBEFBFEABC BACBEFEFACEFHFOC EFGHEFHFOC AFCHOFOC OFCOCF 连接与FH相交于点 菱形 正方形 四边形是矩形 2 135 ,135 , 2 ,180 ,45 , 45 ABCDABCDOCFOCDBCD ABCDABCBCDABC BE
8、FGH ， 菱形， 等于度时，四边形是正方形 【例 4】如图，在平面直角坐标系中，直线 1 6 2 yx 与 y 轴交于点 A，与直线 1 2 yx相 交于点 B，点 C 是线段 OB 上的点，且AOC 的面积为 12 （1）求直线 AC 的表达式； （2）设点 P 为直线 AC 上的一点，在平面内是否存在点 Q，使四边形 OAPQ 为菱形， 若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】（1）,ACykxb设解析式为 A B x y C 1 6,(0,6), 2 1 6 6 2 13 2 1 (6,3), 2 1 12,612,4, 2 4,2,(4,2), 61 246 6; A
9、OCcc yxA yx x y yx BOByx Sxx xyC bk kbb yx 点坐标为 ， 点坐标为解析式为 当时点坐标为 ， （2）存在； 6, , 6,(6,0), ,45 ,6 2, 2,6 26,(3 2,63 2), (3 2, 3 2), OAPQOAAPPQQO PA ACyxE AOOEAEOOAEAE OAAPPEP Q 当四边形为菱形时， 若 在 点右侧 为 , ,45 , 6,( 3 2,3 2). PA OQAPAOQOAP OQQ 若 在 点左侧 当 AO 时对角线时，P（3,3）Q（-3,3） ， 综上当四边形 OAPQ 是菱形时， (3 2, 3 2)(
10、3 2,3 2)3,3)Q点坐标为或或（ 知识模块知识模块：梯形的存在性：梯形的存在性 梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中， 由于这类题目都与图形的运动有关， 需要学生有一定的想象力、 分析力和运算力梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类常见题 型为在直角坐标平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的 k 相 等而 b 不相等若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直 角三角形若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形 E 【例 5】在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=
11、x+b 的图像与 x 轴交于点 A、与反比例函数 x k y （k 是常数，k0）的图像交于点 B（a，3） ，且这个反比例函数的图像经过点 C（6，1） （1）求出点 A 的坐标； （2）设点 D 为 x 轴上的一点，当四边形 ABCD 是梯形时，求出点 D 的坐标和四边形 ABCD 的面积 【答案】解： （1）方法一： 反比例函数 x k y 经过点 C（6，1） ， 6 1 k ，6k，反比例函数解析式为 x y 6 B（a，3）在该反比例的图像上， a 6 3 ，2a，即 B（2，3） bxy经过点 B（2，3） ，1 xy， 令01 xy，得1x，A （-1，0） 方法二：点 C（6
12、，1）与点 B（a，3）都在反比例函数 x k y 的图像上， ka316， 2a，B（2，3） bxy经过点 B（2，3） ，1 xy， 令01 xy，得1x，A（-1，0） （2）四边形 ABCD 是梯形，且点 D 为 x 轴上的一点， 不可能出现 AD/BC 的情形，只有可能 AB/CD， 直线 AB 的解析式为1 xy，可设直线 CD 的解析式为mxy， mxy经过点 C（6，1） ，5 xy， 令05 xy，得5x，D（5，0） ， 分别过点 B、C 作 BEx 轴、CFx 轴，垂足分别为 E、F， 则 DCFBEFCABEABCD SSSS 梯形梯形 =CFDFEFCFBEBEAE
13、 2 1 )( 2 1 2 1 =11 2 1 4) 13( 2 1 33 2 1 =12 【例 6】已知，如图，平面直角坐标系中，线段 ABy 轴，点 B 在 x 轴正半轴上，点 A 在第一象 xOy （第26题图） y x O 1 1 限，AB=10.点 P 是线段 AB 上的一动点，当点 P 在线段 AB 上从点 A 向点 B 开始运动时，点 B 同 时在 x 轴上从点 C（4，0）向点 O 运动，点 P、点 B 运动的速度都是每秒 1 个单位，设运动的时间 为 t（0t4）. （1）用含有 t 的式子表示点 P 的坐标； （2）当点 P 恰好在直线 y=3x 上时，求线段 AP 的长；
14、 （3）在（2）的条件下，直角坐标平面内是否存在点 D，使以 O、P、A、D 为顶点的四边形是等腰 梯形. 如果存在，请直接写出点 D 的坐标；如果不存在，请简单说明理由. 【答案】 （1）解：BP=AB-AP=10-t，OB=OC-BC=4-t,P(4-t,10-t) （2）将 P(4-t,10-t)代入 y=3x，得 t=1 AP=1 （3） 1(0,19) D, 2 34 (,) 55 D , 3 6091 () 109 109 D， 【习题 1】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线4 3 32 xy交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，以线 段 AB 为边作菱形 ABCD（点 C
15、、D 在第一象限） ，且点 D 的纵坐标为 9 （1）求点 A、点 B 的坐标； 第25题图 25题备用图 （2）求直线 DC 的解析式； （3）除点 C 外，在平面直角坐标系 xoy 中是否还存在点 P，使点 A、B、D、P 组成的四边形是平行四 边形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）A（0，4） ，B（32，0） （2）过点 D 作 DEy 轴，垂足为 E 点 D 的纵坐标为 9，OA=4 AE=5 四边形是 ABCD 是菱形 AD=AB=72)32(4 2222 OBOA DE=3D（3，9） 四边形是 ABCD 是菱形，DCAB 设直线 DC 的
16、解析式为bxy 3 32 直线 DC 过点 D（3，9） ，11b 直线 DC 的解析式为11 3 32 xy （3）存在 P1（3，13） ，P2（3，5） 【习题 2】如图，已知直线 l1经过点 A(5，6)且与直线 l2： 3 6 2 yx 平行，直线 l2与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C （1）求直线 l1的表达式及其与 x 轴的交点 D 的坐标； （2）判断四边形 ABCD 是什么四边形并证明你的结论； （3）若点 E 是直线 AB 上一点，平面内存在一点 F，使得四 边形 CBEF 是正方形，求点 E 的坐标，请直接写出答案 【答案】（1） 1 ,lykxb设直线 解析式为 （
17、2） 2 3 6, 2 lyx 为 （第24题图） D C B A O y x G E B A D x O y C F 2222222 222 0,6, (0,6), 0,4, (4,0), 22 , 33 , , , 69117,6452,169, , 90 , ; DCAB xy C yx B kk ABDC ADBC ABCD DCBCBD BDDCBC BCD ABCD 当时 点坐标为 当时 点坐标为 四边形为平行四边形 四边形是矩形 （3）,EEGxxG过点 作轴交 轴于点 90 , ,90 , 90 ,90 , , ,90 , (), , (10,4), ( 2, 4). BGE
18、CBEFCBECBBE OCBOBCOBCEBG OCBEBG CBBECOBBGE COBBGE AAS OBEG COBG EBE EBE 正方形 当 点在 点右侧时， 点坐标为 当 点在 点左侧时， 点坐标为 【习题 3】如图，已知 ( 1)Am ， 与(23 3)Bm，是反比例函数 k y x 图像上的两个点 （1）求k的值； （2）若点( 10)C ，则在反比例函数 k y x 图像上是否存在点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是梯形若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）,A B在反比例函数上, 3 3 2 2 3 2 3 mk k m m
19、k A B C O x y （2） 3 (6,)(1,2 3)(-2,- 3). 3 D点坐标为或或 【习题 4】如图所示，正比例函数 y=k1x 和一次函数 y=k2x+b 的图像相交于点 A（-3，4） ， 且 OB= 3 5 OA （1） 求正比例函数和一次函数的解析式； （2） 求AOB 的面积和周长； （3） 在平面直角坐标系中是否存在点 P、O、A、B 成为直角梯形的四个顶点若存在， 请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） 1 ( 3,4)Ayk x把代入， 1 2 2 2 2 4 , 3 4 3 ( 3,4), 5, 3 , 5 3,(3,0), ( 3,4), (3,0), 03 43 2 2 3 2 2; 3 k yx A OA OBOA OBB AByk xb kb kb b k yx 得 ， 把代入 得 （2） 1 436, 2 AOB S 2 13,5,3, 82 13. AOB ABAOOB C （3） 271851 3427 136 131313 1325 25 P点坐标为（3,4）或（,-）或（-,）或（-,）.
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