1、集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透 于中学数学内容的各个分支 有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、 推理 与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更 准确 关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的 111 1 集集 合合 【知识要点】【知识要点】 1集合中的元素具有确定性、互异性、无序性 2集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦 恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示 3两类不同的关系： (1)从属关系元素
2、与集合间的关系； (2)包含关系两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况) 4集合的三种运算：交集、并集、补集 【复习要求】【复习要求】 1对于给定的集合能认识它表示什么集合在中学常见的集合有两类：数集和点集 2能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系 3掌握集合的交、并、补运算能使用韦恩图表达集合的关系及运算 4把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 给出下列六个关系： (1)0N N * (2)01，1 (3)0 (4)0 (5)00，1 (6)00 其中正确的关系是_ 【答案】(2)(4)(6) 【评析】【评
3、析】1熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作；N 表示自 然数集；N 或 N*表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集 2明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：aA；如果a 不是集合A的元素，记作：aA 3 明确集合与集合的关系及符号表示： 如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素， 那么集合A叫做集合B的子集记作：AB或BA 如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合 B的真子集A B或BA 4子集的性质： 任何集合都是它本身的子集：AA； 空集是任何集合的子集：A； 提示：空集是任何非空集合的真子集
4、 传递性：如果AB，BC，则AC；如果A B，B C，则A C 例例 2 2 已知全集U小于 10 的正整数，其子集A，B满足条件(UA)(UB)1，9， AB2，B(UA)4，6，8求集合A，B 【答案】A2，3，5，7，B2，4，6，8 【解析】根据已知条件，得到如图 11 所示的韦恩图， 图 11 于是，韦恩图中的阴影部分应填数字 3，5，7 故A2，3，5，7，B2，4，6，8 【评析】【评析】1、明确集合之间的运算 对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交 集记作：AB 对于两个给定的集合A、B， 把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并
5、集 记 作：AB 如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集记作UA 2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运 算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具， 要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题 例例 3 3 设集合Mx1x2，Nxxa若MN，则实数a的取值范围 是_ 【答案】(，1 【评析】 本题可以通过数轴进行分析， 要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的 值象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具 例例 4 4 设a，bR R，集合, 0, 1
6、b a b aba，则ba_ 【答案】2 【解析】因为, 0, 1b a b aba，所以ab0 或a0(舍去，否则 a b 没有意义)， 所以，ab0， a b 1，所以11，ab，a，a1， 结合ab0，b1，所以ba2 练习练习 1 11 1 一、选择题一、选择题 1给出下列关系：R 2 1 ；2Q Q；3N N *； Q|3|其中正确命题的 个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2下列各式中，A与B表示同一集合的是( ) (A)A(1，2)，B(2，1) (B)A1，2，B2，1 (C)A0，B (D)Ayyx 21，Bxyx21 3已知M(x，y)x0 且y0，N(x
7、，y)xy0，则M，N的关系是( ) (A)M N (B)N M (C)MN (D)MN 4已知全集UN N，集合Axx2n，nN N，Bxx4n，nN N，则下式中正确的关 系是( ) (A)UAB (B)U(UA)B (C)UA(UB) (D)U(UA)(UB) 二、填空题二、填空题 5已知集合Axx1 或 2x3，Bx2x4，则AB_ 6设M1，2，N1，2，3，Pccab，aM，bN，则集合P中元素的个数 为_ 7设全集UR R，Axx3 或x2，Bx1x5，则(UA)B_. 8设集合Sa0，a1，a2，a3，在S上定义运算为：aiajak，其中k为ij被 4 除 的余数，i，j0，1
8、，2，3则a2a3_；满足关系式(xx)a2a0的x(x S)的个数为_ 三、解答题三、解答题 9设集合A1，2，B1，2，3，C2，3，4，求(AB)C 10 设全集U小于10的自然数， 集合A，B满足AB2， (UA)B4， 6， 8， (UA)(UB) 1，9，求集合A和B 11已知集合Ax2x4，Bxxa， AB，求实数a的取值范围； ABA，求实数a的取值范围； AB，且ABA，求实数a的取值范围 1 12 2 常用逻常用逻辑用语辑用语 【知识要点】【知识要点】 1命题是可以判断真假的语句 2逻辑联结词有“或”“且”“非”不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命 题和逻辑联结词构成的
9、命题叫做复合命题 可以利用真值表判断复合命题的真假 3命题的四种形式 原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p，则q逆否命题：若q， 则p注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念原命题与逆否命题、逆 命题与否命题是等价关系 4充要条件 如果pq，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件 如果pq且qp，即qp则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件 5全称量词与存在量词 【复习要求】【复习要求】 1理解命题的概念了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会 分析四种命题的相互关系理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 2了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的
10、含义 3理解全称量词与存在量词的意义能正确地对含有一个量词的命题进行否定 【例题分析】【例题分析】 例例 1 1 分别写出由下列命题构成的“pq”“pq”“p”形式的复合命题，并判断 它们的真假 (1)p：0N N，q：1N N； (2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分 【解析】(1)pq：0N N，或 1N N； pq：0N N，且 1N N；p：0N N 因为p真，q假，所以pq为真，pq为假，p为假 (2)pq：平行四边形的对角线相等或相互平分 pq：平行四边形的对角线相等且相互平分 p：存在平行四边形对角线不相等 因为p假，q真，所以pq为真，pq为假，p为真
11、 【评析】【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表 例例 2 2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假 (1)若a 2b20，则 ab0； (2)若ABA，则A B 【解析】(1)逆命题：若ab0，则a 2b20；是假命题 否命题：若a 2b20，则 ab0；是假命题 逆否命题：若ab0，则a 2b20；是真命题 (2)逆命题：若A B，则ABA；是真命题 否命题：若ABA，则A不是B的真子集；是真命题 逆否命题：若A不是B的真子集，则ABA是假命题 【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否 命题 例例 3 3 指出下列语句中，p是q的什
12、么条件，q是p的什么条件 (1)p：(x2)(x3)0；q：x2； (2)p：a2；q：a0 【解析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件； 若pq且qp，则p是q的必要不充分条件； 若pq且qp，p与q互为充要条件 于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件 (2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件 【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题 就是判断p与q之间谁能推出谁了 例例 4 4 设集合Mxx2，Nxx3，那么“xM或xN”是“xMN”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件
13、 (D)非充分条件也非必要条件 【答案】B 【解析】条件p：xM或xN，即为xR；条件q：xMN，即为xR2x3 又 R xR2x3， 且xR2x3R， 所以p是q的必要非充分条件， 选 B 【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设 满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且BA，则p是q的必要非充分条件；若AB，则p与q互为 充要条件 例例 5 5 命题“对任意的xR R，x 3x210”的否定是( ) (A)不存在xR R，x 3x210， (B)存在xR R，x 3x210 (C)存在
14、xR R，x 3x210 (D)对任意的xR R，x 3x210 【答案】C 【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题其否定为“存在xR，x 3x2 10” 答：选 C 【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称 量词)，并把结论否定 练习练习 1 12 2 一、选择题一、选择题 1下列四个命题中的真命题为( ) (A)xZ Z，14x3 (B)xZ Z，3x10 (C)xR R，x 210 (D)xR R，x 22x20 2如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( ) (A)q一定是真命题 (B)q不一定是真命题 (C)p不一定是假命题 (D)p
15、与q的真假相同 3已知a为正数，则“ab”是“b为负数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4 “A是B的子集”可以用下列数学语言表达： “若对任意的xAxB， 则称AB” 那 么“A不是B的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若xA但xB，则称A不是B的子集 (B)若xA但xB，则称A不是B的子集 (C)若xA但xB，则称A不是B的子集 (D)若xA但xB，则称A不是B的子集 二、填空题二、填空题 5“p是真命题”是“pq是假命题的”_条件 6命题“若x1，则x1”的逆否命题为_ 7已知集合A，B是全集U的子集，则“AB”是“U
16、BUA”的_条件 8设A、B为两个集合，下列四个命题： AB对任意xA，有xB ABAB ABAB AB存在xA，使得xB 其中真命题的序号是_(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题三、解答题 9判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被 2 整除又能被 5 整除； (3)xxxZ Z，log2x0； (4). 0 4 1 , 2 xxxR 10已知实数a，bR R试写出命题：“a 2b20，则 ab0”的逆命题，否命题，逆否命 题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由 习题习题 1 1 一、选择题一、选择题 1命题“若x
17、是正数，则xx”的否命题是( ) (A)若x是正数，则xx (B)若x不是正数，则xx (C)若x是负数，则xx (D)若x不是正数，则xx 2若集合M、N、P是全集U的子集，则图中阴影部分表示的集合是( ) (A)(MN)P (B)(MN)P (C)(MN)(UP) (D)(MN)(UP) 3“ 8 1 a”是“对任意的正数12 , x a xx”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4已知集合P1，4，9，16，25，若定义运算“&”满足：“若aP，bP，则a&b P”，则运算“&”可以是( ) (A)加法 (B)减法 (C)乘法
18、 (D)除法 5已知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定 成立的是( ) (A)abac (B)c(ba)0 (C)cb 2ab2 (D)ac(ac)0 二、填空题 6若全集U0，1，2，3且UA2，则集合A_ 7命题“xA，但xAB”的否定是_ 8已知A2，1，0，1，Byyx，xA，则B_ 9已知集合Axx 23x20，Bxxa，若 AB，则实数a的取值范围是 _ 10设a，b是两个实数，给出下列条件： ab1；ab2；ab2； a 2b22；ab1， 其中能推出“a，b中至少有一个大于 1”的条件是_ (写出所有正确条件的序号) 三、解答题三、解答题 11解不等式. 2
19、1 x 12若 0ab且ab1 (1)求b的取值范围； (2)试判断b与a 2b2的大小 13设ab，解关于x的不等式：a 2xb2(1x)axb(1x)2 14设数集A满足条件：AR R；0A且 1A；若aA，则. 1 1 A a (1)若 2A，则A中至少有多少个元素； (2)证明：A中不可能只有一个元素 参考答案参考答案 练习练习 1 11 1 一、选择题一、选择题 1B 2B 3A 4C 提示： 4集合A表示非负偶数集，集合B表示能被 4 整除的自然数集，所以正奇数 (UB)，从 而UA(UB) 二、填空题二、填空题 5xx4 64 个 7x1x2 8a1；2 个(x为a1或a3) 三
20、、解答题三、解答题 9(AB)C1，2，3，4 10分析：画如图所示的韦恩图：得A0，2，3，5，7，B2，4，6，8 11答：a4；a2；2a4 提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值” 练习练习 1 12 2 一、选择题一、选择题 1D 2A 3B 4B 二、填空题二、填空题 5必要不充分条件 6若x1，则x1 7充要条件 8 提示： 8因为AB，即对任意xA，有xB根据逻辑知识知，AB，即为 另外，也可以通过文氏图来判断 三、解答题三、解答题 9答：(1)全称命题，真命题(2)特称命题，真命题 (3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题 10略解：答：逆命题：若ab0，则a 2b2
21、0；是假命题；例如 a0，b1 否命题：若a 2b20，则 ab0；是假命题；例如a0，b1 逆否命题：若ab0，则a 2b20；是真命题；因为若 a 2b20，则 ab0，所以 ab0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题 习题习题 1 1 一、选择题一、选择题 1D 2D 3A 4C 5C 提示： 5A 正确B 不正确D正确 当b0 时，C 正确；当b0 时，C 不正确，C 不一定成立 二、填空题二、填空题 60，1，3 7xA，xAB 80，1，2 9aa2 10 提示： 10、均可用举反例的方式说明不正确 对于：若a、b均小于等于 1即，a1，b1，则ab2，与ab2 矛盾，所以
22、正确 三、解答题三、解答题 11解：不等式2 1 x 即, 0 21 , 02 1 x x x 所以0 12 x x ，此不等式等价于x(2x1)0，解得x0 或 2 1 x， 所以，原不等式的解集为xx0 或 2 1 x 12解：(1)由ab1 得a1b，因为 0ab， 所以 1b0 且 1bb，所以. 1 2 1 b (2)a 2b2b(1b)2b2b2b23b1 8 1 ) 4 3 (2 2 b 因为1 2 1 b，所以, 0 8 1 ) 4 3 (2 2 b 即a 2b2b 13解：原不等式化为(a 2b2)xb2(ab)2x22b(ab)xb2， 移项整理，得(ab) 2(x2x)0 因为ab，故(ab) 20，所以 x 2x0 故不等式的解集为x0x1 14解：(1)若 2A，则.2 2 1 1 1 , 2 1 ) 1(1 1 ,1 21 1 AAA A中至少有1， 2 1 ，2 三个元素 (2)假设A中只有一个元素，设这个元素为a，由已知A a 1 1 ，则 a a 1 1 即a 2 a10，此方程无解，这与A中有一个元素a矛盾，所以A中不可能只有一个元素
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